>>826

∫(1/(1+(sinx)^2))dx=(1/√2)arctan{√2tan(x)} の公式使わない場合は、

∫[0,π]( 1/(1+(sinx)^2) )dx=∫( 1/(2-(cosx)^2) )dx=(1/(2√2)∫[0,π](1/(√2-cosx) +1/(√2+cosx))dx
として、
定番のtan(x/2)=tの変数変換で(sinx=2t/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),dx=2dt/(1+t^2))
∫[0,∞]1/(√2-cosx)dx=2/(√2+1) ∫[0,∞]1/{(√2-1)^2+t^2} dt
t=(√2-1)tanθとして、
　→2/(√2+1) ∫[0,π/2] dθ/(√2-1)=2θ=π

∫[0,π]1/(√2+cosx)dx=2/(√2-1) ∫[0,∞]1/{(√2+1)^2+t^2} dt
t=(√2+1)tanθとおいて
　→2/(√2-1) ∫[0,π/2]dθ/(√2+1)=2θ=π

J=(π/2)(1/2√2)(2π)=(π^2)/(2√2)