f(x)は連続で∫[a,b]|f(x)|dx=0
ならばf(x)=0 [a,b]という問題ですが

f(c)>0 (a<c<b)…(A)と仮定すると
|t-c|<δ |f(t)-f(c)|<ε
ε=f(c)/2 とおくと
f(c)/2<f(t)


∫[a,b]|f(t)|dt
>∫[c-δ,c+δ]{f(c)/2}dt…(B)
>f(c)δ
>0

となって矛盾

(A)と(B)訂正した方がいいですかね？