f(a+b)→f(a)+f(b)と、定数倍が外に出れば線形写像なんでしょ？
ということは
微分と言うのは線形写像であってますよね？

(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)
(af(x))'=af'(x)

が成り立つので。