【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART135【cos】
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0001１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 00:46:54質問者は、自分の書いた問題があっているか、投稿前に再度確認してください。
また、分数や累乗が出てくる場合は、ややこしい表記で誤読されるのを回避するため、
下記のページや>>2の書き方を参考にして書いてください。
参考：数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
夜､明日提出の宿題をやっているとき
(･∀･)やった!あと1問!
･･････!!?
(ﾟДﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?ﾅﾆｺﾉﾓﾝﾀﾞｲ?
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!!
･･･てな時に､頼りになる質問ｽﾚｯﾄﾞだお(ﾟﾛﾟ)
前スレ
【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART134【cos】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183895312/
過去ログ
http://makimo.to/cgi-bin/search/search.cgi?q=%8D%82%8DZ%90%B6%82%CC&andor=AND&sf=0&H=&view=table&link2ch=on&shw=2000&D=math
0153１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 02:34:122^1997は602桁で最高位は1
最高位が1のものの次のは最高位は2か3で、これは601個
最高位が1のものの一つ前のは最高位が5から9で、これも601個
だから1998-(602+601+601)=194個
015428
2007/07/19(木) 02:36:28なるほど、特殊なxを用いて必要条件を出して絞り込む手法なのですね。
これは周期関数の周期を求める代表的なやり方のひとつなんでしょうか？
どうもありがとうございます。参考になりました。
0155１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 02:41:45すげー
1つ前、を思いつくのが頭の柔らかさだな
0156１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 03:18:36どなたかよろしくお願いします･･･
0157１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 03:25:24すいませんそれだと正三角形のとき1/2になることは示せてもそれが最大になる証明にはならない気がするんですが…
どうしたらいいんでしょうか？
0158１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 03:26:59の最大値とはどう調べればいいですか？
0159１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 03:30:190160１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 03:37:46なんか学校では√の中だけ最大調べろといわれたがよくわからないです
なぜか２次関数がでてくるし‥
0161１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 03:55:13形的にはもとめられそうなんですけど、どうやったらいいのか分かりません。
0162１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 04:00:560163１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 04:05:300164１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 04:13:46２乗するのも中だけ調べるのも同じ。よく考えてみろ。
0165１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 04:24:310166161
2007/07/19(木) 04:28:14A=√(r^2-rdcosθ)から、
1/A=1/r+○cosθに変形できて○に入るものを求めろという問題です。
0167１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 04:30:03d<<r での近似
|x|<<1 のとき (1+x)^a≒1+ax を使う。
√(r^2-rdcosθ)=r√{1-(d/r)cosθ}≒r{1-(1/2)(d/r)cosθ}=r-(d/2)cosθ
0168１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 04:32:34A=√(r^2-rdcosθ)
＝ｒ√(１-(d/r)cosθ)
∴1/A=(1/r)(１-(d/r)cosθ)^(-1/2)
=(1/r)(1-(1/2)(-(d/r)cosθ)+...)
=...
0169161
2007/07/19(木) 04:33:26はい、クリアーに公式があったのでそれでやってみたら、同じ結果になりました。
それの逆数をとると1/A=1/r+○cosθに変形できるようなんですが。。
0171１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 04:36:040172161
2007/07/19(木) 04:40:070173１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 06:10:06cosθ=1/3かつ0<θ<π/2とする。数列a(k)をa(0)=1、a(1)=1、a(k+1)=2a(k)-9a(k-1)により定義する。このときすべての自然数kに対してa(k)=(3^k)･coskθであること、およびa(k)は整数であり3の倍数ではないことを示せ。
0174156
2007/07/19(木) 06:12:34cosθ=-2±√5という値が出てきたのですが
回答をみるとcosθ=-2+√5だけになっていました
何故こうなるのですか？
0175１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 06:14:30後半は前科式から当たり前
0176１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 06:15:21cosの値の範囲
0178１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 06:24:41使い所を教えてください
0179１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 06:26:08もっと単純にθに関係無く-1≦<cosθ≦1
0180１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 06:27:54なるほど
丁寧な回答ありがとうございました
0181１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 06:34:15まず
cos(k+1)θ+cos(k-1)θ=...
を作っておくのがわかりやすいか
三角関数になれてればいきなり帰納法に入ってもいい
ちょっとたいへんなら
a(k+1)-3^(k+1)cos(k+1)θ=2a(k)-9a(k-1)-3^(k+1)cos(k+1)θ=...
なんて持ってき方もある
0182１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 06:59:23おかげさまで帰納法で片付きました。
かなりのヒントをありがとう。
しかし3の倍数ではないことはどうすればいいんですか
0183１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 07:23:13仮にa(k+1)が３のばいすうであるとすると？
0184１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 09:31:31①f(0)=0の証明②f(-x)=-f(x)の証明・・とここまではおｋで
③f '(0)=aならばf '(x)=aの証明
<模範解答> f '(x)=lim[h→0]f(x+h)-f(x)/h・・と微分の定義で
解いていってるのです、が、私が最初に考えていってしまったこと↓
条件よりf '(0)=aのときf '(0)=f '(x+(-x))={f(x)+f(-x)}'
={f(x)-f(x)}'=0？ありゃーナニコレ
という感じで・・自分のしてることが"f(0)=0だからf '(0)=0だ！"と
してるのと同程度のことという気がしてならないのですが何が違うのか
全然わかりません、何が違うのか教えてください～
0185１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 09:37:29x=0 でしか微分可能性が仮定されてないという条件の下で
すべてのxで微分可能であることを示し、f'(x)=a であることを示すという問題。
0186１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 10:02:23fの微分もf'(x_1+x_2)=f'(x_1)+f'(x_2)を満たすかはわからない。
0187１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 12:03:37って問題で解答がいきなりk≧nであるから、と始まるんですがk≧nってどこからわかるんですか
0188１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 12:06:370189１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 12:07:14k=n,n+1,.....,2n
0190１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:05:01(4x^3)+(x^2)-6x-3=0
解き方を教えてください。
宜しくお願いします。
0191１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:07:07そこからなんでk≧nになるのかわからないです
0192１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:15:37因数定理(x=-1)
>>191
>>189を見るべし
0193１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:22:170194１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:27:070195１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:27:16Σ[k=n,2n]はどういう意味だ？
0196１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:27:53ってかk≧nなんて>>187解くのになんの関係もないじゃん。
瑣末なところにあまり気を取られない方がいいんじゃない？
0197１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:29:48例えば (x+y+2)(2x+y+1) (2x+y+1)(x+y+2)
0198１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:30:28いい
0199190
2007/07/19(木) 13:32:46P(x)=(4x^3)+(x^2)-6x-3
P（-1）=(4x^3)+(x^2)-6x-3
という感じに解いていけという事ですよね？
なぜそこでx=-1が出せるのかを教えてください。
0200１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:33:32全く違う。
0201 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 13:36:01f(x)のｘ微分は
f'(x)
ですが
f(ｙ)のｘ微分は
(dy/dx)*(ｄf(ｙ)/dy)
となります。
従って
f(x+ｙ)=f(x)+f(ｙ)の両辺の微分は
>>186さんも言われているように
f'(x+ｙ)=f'(x)+f'(ｙ)のｘ微分は
(ｄf(x+ｙ)/dｘ)+(dy/dx)*(ｄf(ｘ+ｙ)/dy)=f'(x)＋(dy/dx)*(ｄf(ｙ)/dy)
が成立します。
今ｘ=-ｙという関係は成立していないから間違いとなります。
これでも分からなければ
f '(0)=f '(x+(-x))・・・①
の所ですがf '(ｘ)にｘ=０を代入するのではなく
f '(x+(-x))⇔f '(0)
となっているのでｘの値によらずf '(0)となります。
つまり定数です。定数を微分しても０になります。
ですから①のように式変形してはいけませんｂ。
0202 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 13:37:51>>184の人です
0204１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:39:36「P（-1）=(4x^3)+(x^2)-6x-3」 ではない。
因数定理はちゃんと理解してるの？？
0205１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:41:58因数定理を書いてみ
0206 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 13:43:19あっ
ｘとｙが独立しているなら
(ｄf(x+ｙ)/dｘ)+(dy/dx)*(ｄf(ｘ+ｙ)/dy)=f'(x)＋(dy/dx)*(ｄf(ｙ)/dy)
で(dy/dx)=０より
(ｄf(x+ｙ)/dｘ)=f'(x)
が成立します
0207203
2007/07/19(木) 13:45:04きちんと理解してないかもしれません･･･
P（α)=0 となるαの値をまず求めるのではないのでしょうか？
そのαの値の出し方がわかりません。
P（-1）=(4x^3)+(x^2)-6x-3=0
と書けば良かったのですか？
0208１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:46:02ありがとうございます
何か見事に回答と逆の位置になるもんで心配になってしまいました
0209 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 13:48:57P（-1）=(4x^3)+(x^2)-6x-3=0ではなく
今ｘが-1なのですから
P（-1）=(4(-1)^3)+((-1)^2)-6(-1)-3=0
と書くべきです。
0210１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 13:50:36>P（α)=0 となるαの値をまず求めるのではないのでしょうか？
その通り。αの候補は±|定数項の約数|/|最高次の係数の約数|となる。
0211お願いします
2007/07/19(木) 14:08:50χの整式Ｐ(χ)を
χ^2－1で割った余りがχ－3
χ^2＋1で割った余りが－χ－5
であるとき、Ｐ(χ)をχ^4－1で割った余りは＿＿＿である．
0212 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 14:12:18順番違って申し訳ない。
すげー。まったくその考えはなかった。
>>121の断るのかよ、気がつきゃ一瞬なのにｗ
のお言葉が印象的でした。普通の人は気づかないって。
一応これでも大分昔に早稲田合格したけど(入学はしてない)、
大分数学の知識とか公式とか忘れてますね。
三角形の外接円の半径や点と直線の距離の求め方とかの公式と全然覚えてないですもん。
まっ、現役でもその問題は自分は解けないと自信をもって言えるわけですが・・・。
>>153の数学知識の片鱗を見た気がいたします。
ありがとうございました。
0213１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:13:15前スレにコメントした。
0214207
2007/07/19(木) 14:14:00ありがとうございます。
＞αの候補は±|定数項の約数|/|最高次の係数の約数|となる。
という事はαの値はいくつか候補があって、
ちょうど0になる値がわかるまで試しに計算しなければならないのですね。
＞±|定数項の約数|/|最高次の係数の約数|
↑の定数項の約数はわかるのですが、/|最高次の係数の約数|とはどういう事なのでしょうか？
(4x^3)+(x^2)-6x-3=0
でいうと定数項の約数は±|1,3|ですよね？
/|最高次の係数の約数|は何になりますか？
0215１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:17:14３か所に同じものを見た。
0216１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:17:49"/"は分数の割線。±|定数項の約数|/|最高次の係数の約数|は分数を表している。
0217１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:18:51すまん。割線ではなくて括線だった。
0218１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:27:57(4x^3)+(x^2)-6x-3=0
でいうと、最高次の係数の約数は1.2,4なので
±1/1, ±3/1, ±1/2, ±3/2, ±1/4, ±3/4
がαの候補という事でいいんですよね？
0219１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:30:460220１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:32:11(x^2 - 1)P(x) = (x^4 - 1)Q_{2}(x) - (x + 5)(x^2 - 1)
辺々引いて
Q(x) = (Q_{1}(x) - Q_{2}(x))/2 とおけば
P(x) = (x^4 - 1)Q(x) + (x + 3)(x^2 + 1)/2 + (x + 5)(x^2 - 1)/2
0221１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:32:26その通り。
0222１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:32:33どういう理屈でそういうことを考えているのかを自分で考えてみろよ。
結論だけ覚えようってのは無理あるぞ。
0223218
2007/07/19(木) 14:37:46わかりました、何度も解答していただきありがとうございました。
>>222
おっしゃるとおりです。
もう少し自分で考えてから質問するようにします。
申し訳ありません。
0224１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:58:26返信ありがとうございます。
Q(χ)がどうしてあのようになるか教えてくださいm(__)m
理解力なくてすみません。
0225１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 14:59:48994:１３２人目の素数さんsage2007/07/19(木) 14:12:21 (1)
>>993
P(x)=(x^2+1)Q(x)-x-5=(x^2+1){(x^2-1)R(x)+ax+b}-x-5=(x^4-1)R(x)+(x^2+1)(ax+b)-x-5で(x^2+1)(ax+b)-x-5が求める余り。あとは剰余の定理を用いてa,bを求める。
0226１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 15:06:55たとえば (ax+b)(cx+d)(ex+f) を展開して、先頭と最後がどうなるのかを見ると、
なぜそんなこと（>>218）が言えるのかわかると思う。
0227１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 15:20:03Q(x)はP(x)を(x^2+1)で割った時の商。
>>220にもレスがある。
0228１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 15:23:03P(x) = (x^4 - 1)Q(x) + (x - 3)(x^2 + 1)/2 + (x + 5)(x^2 - 1)/2
じゃね？
0229１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 15:40:47とりあえず、自分勝手な変な表記をやめろ。
0230１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:10:36問題文と解答は下のようになっています。
1から10までの数を1つずつ書いた10枚のカードから、
1枚のカードを取り出してはもとに戻すことを、
同じカードを取り出すまで繰り返す。
n回目に終わる確率A(n)を求めよ。
また、A(n)を最大にするnの値を求めよ。
A(n)=10Pn-1×(n-1)/10^n
=10・9・8……(12-n)(n-1)/10^n ……答
途中までは分かるんですが、
答えの(12-n)という部分がなぜそうなるのか分からないんです。
どなたか教えて下されば幸いです。
0231１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:25:42n-2回まで終わらなかった前提で、n-1回目でも終わらない確率は
n=2の時 0/10
n=3の時 9/10
n=4の時 8/10 以下略
これを式で表すと…
0232１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:27:18ある数を2:1の比で分けたとき、その2にあたる部分の数を確かめたいのですが、
これを求める方法は
x-x÷3
しかありませんか？
もしxを直接三分の二に出来れば計算が早いと思うのですが、
これは不可能なのでしょうか。
0233１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:27:2710-(n-1)+1=12-n
0234１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:28:48>もしxを直接三分の二に出来れば計算が早い
わかってんじゃん。2にあたる部分は2x/3だよ。
0236 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 16:43:42「平面上の点Ｏを中心とし、半径１の円周上の相異なる３点Ａ，Ｂ，Ｃがある。三角形ＡＢＣの内接円の半径ｒは1/2以下であることを示せ(京都大)」
>>13さんが素敵な解放言うと練習にならないから
と言われていますが、そんな閃きみたいな力は持ち合わせていないので参考程度にして下さい。
一意見です。ガリガリ計算していきます。
外接円の中心を(0,0)として
内接円の半径を1/2として、その中心を(0,a)
ただし0≦a＜1/2とする。
y＝a＋1/2かy＝a-1/2の交点をそれぞれBCとする。
そのときもちろん内円と接する。
二つのパターンが考えられるが、y＝a-1/2について考える。
ｘの－座標をBとしA(0,1)との直線を結ぶ。
0237 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 16:44:42その直線をy＝ｍｘ＋ｎとし内接円の中心の(0,a)とし
点と直線の式の公式から
距離=(1-a)√(2a+1)/2
変化を調べればa=0で最大値1/2を取る減少関数であることがわかる。
つまり0<aでは内接円と交点を持ってしまうわけ。
0<aの時半径1/2ですら内接円と交点を持ってしまうのだから
それより大きい半径を持ってきたら面積が大きいんだからさらに
内接円と交点をもってしまうと言えると思う。
だから半径1/2より大きいことはありえない。
a=0の時
半径1/2の内接円は接していますが、
1/2よりも大きい半径を持ってきても接するかもしれない。
そこでそのときの半径を(1/2+δ)と表すことにしよう。
δは微小量
中心(0,0)から辺AB,BC,CAに垂線を引こう。
その点をL,M,Nとした場合
どのような問題が生じているか考えてみてください。
0238１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:50:21baseballの８文字から４文字を取り出すとき、その組合せと順列の総数を求めよ。
かなり時間をかけていますが解き方がわかりません。
わかる方がいたらお願いしますm(_ _)m
0239１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:56:42なんで挑発的なんだ？
0240１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:58:52すみません238が誤解を招く書き方でしたm(_ _)m
お詫びしますm(_ _)m
宜しくお願いします。
0241１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:58:530242 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 17:01:54この掲示板ではなぜかそのような質問が多いのですが、
そのような問題を解く時いきなり8文字の順列を求めるのは誰でも困難なことです。
私はできません。
もっと簡単な数で考えてください。
>>238さんへの問題です。
abccの４文字から２文字取り出す時、その組み合わせと順列の総数を求めよ。
数えたらできます。できればCとかPとか使って表現してください。
0243１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 17:02:35abl
(i)すべて異なる場合
(ii)同じ文字を1組取り出す場合
(iii)同じ文字を2組取り出す場合
順列は8!から重複してる分だけ割ればいい
0244230
2007/07/19(木) 17:03:19>>233さん
ありがとうございます。
うーむ…確率苦手分野なので折角教えて下さったのに
ちょっと分からなかったり…すみません。
私の考えでは、例えば三回目に終わってしまうと仮定すると、
10（10枚選択がある）×9（前回引いたものを差し引く）×2（これまで引いたどちらかを引く）
つまり10Pn-1×(n-1)/10^nに当てはめると10P3×(3-1)/10^3
…と思って(12-n)をかけるのが余計なんじゃないかと疑問に思ったんです。
事象を数えるとなると、自分ではどうしてもこうにしか考えられなくて…
0245１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 17:10:17本質的な間違いではないが、
＞10P3×(3-1)/10^3
これは違う。10P2×(3-1)/10^3ではないか？
＞(12-n)をかけるのが余計なんじゃないか
落ち着け。
[10]P[n-1]=10*9*8*…*(12-n)だ。
nに具体的な文字を入れて考えてみろ。
0246230
2007/07/19(木) 17:24:48うむむむ…すみません、外出の用事が下ったので
歩きながらよく考えてみます。
教えて下さってありがとうございます！ほんと理解力ないな自分…
0247１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 17:34:35出された問題の答えはわかるんですが順列の方がＣを使ってどう表せばいいかわかりません。。
>>242-243さん
問題の組合せはおかげで解決することができましたが順列がどうしても解けません。
やはり組合せと同様に順列も場合分けでの計算が必要なんでしょうか？
0248 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 17:48:07了解しました。
でしたら一応私が出した問題の答えを数字でお答えください。
確認です。
0249 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 17:53:14やはり文字列も書いたほうが分かりやすいので書いてください。
0250１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 17:55:06aとb，aとc，bとc，cとcの４通りで
順列が
ab，ac，ba，bc，ca，cb，ccの７通りになりました。
0251１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 18:03:270252 ◆Yk9Pufb6Aw
2007/07/19(木) 18:04:17ところで組み合わせの方はCを使ってどう表しますか？
答えはあってます。
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