これはちょっと違うのかもしれないけど、
連結な位相空間Xの元xごとに関する命題P(x)についての論法として

Xの部分集合YをP(x)が成り立つxの全体と定義したとき、
(1)Yは空でない。
(2)Yは開集合。
(3)Yは閉集合。
ならば、X=Yが成り立つ。

っていうのはどう？
もちろん、帰納法のX=整数全体の離散位相は連結ではないけれど。