工房だが数学的帰納法を実数まで拡張できた
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0001１３２人目の素数さん
2007/07/17(火) 22:10:080002１３２人目の素数さん
2007/07/17(火) 22:13:5200033 ◆9u/C.ZI/aY
2007/07/17(火) 22:24:010005１３２人目の素数さん
2007/07/17(火) 22:54:400006１３２人目の素数さん
2007/07/17(火) 22:58:12|￣￣￣￣|さいたま |
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│奈良 ├───‐┤
0007１３２人目の素数さん
2007/07/17(火) 23:53:15このとき、次の１と２が成り立つならば
x≧aに対してP(x)が成り立つ
１、P(a)が成り立つ
２、b≧aに対してP(b)が成り立つと仮定する
このとき、0≦ε≦1なる任意のεに対してP(b+ε)が成り立つ
こんな感じ？
0008１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 00:57:390009１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 02:50:43やれやれ
0010１
2007/07/18(水) 12:56:590011１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 18:24:45P(x)を実数0≦xについての命題とする。
(1) P(0)が成り立っている。
(2) 任意のb＜aに対してP(b)が成り立つとき、P(a)も成り立つ。
(3) P(a)が成り立つとき、ある0＜δが存在して0＜ε＜δならP(a+ε)が成り立つ。
このときP(x)は全ての0≦xについて成り立つ。
age じゃねえよ
はよ発表してたもれ
0013１
2007/07/19(木) 02:24:03自分は特に数学できるわけじゃないから、こんなのあったら他の誰かが発見してるよな。
てかこれが当たり前の事なのか知りたい。
当たり前なら、誇らしげに語ってしまったとき恥ずかしいよ。
0014１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 02:45:23超限帰納法でググレ。
0015１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 05:27:440016１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 12:41:080017１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 12:47:020018１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 13:20:08それ当たり前やん
2.のbにb+ε代入するだけだし
>>11
上限考えりゃすぐだな
>>13
実数論からきちんと書いてある微積の教科書読め。
0019１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 18:03:350020１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 11:34:07適当なこと言うんじゃねえよ
0021 ◆27Tn7FHaVY
2007/07/21(土) 11:42:590022１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 13:24:021＜x≦2を2と置く。
・・・
t-1≦x≦tをtと置く。
ようは実数の範囲を自然数で置き換えるということ。
これで解決ジャン。
0023１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 13:55:580024１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 17:15:50さらにより大きなa_1まで成り立つかどうかは分からない。
とおもうのですが？よくよんでいないのかもしれんです。
0025１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 17:28:16(3) P(a)が成り立つとき、ある0＜δが存在して0＜ε＜δならP(a+ε)が成り立つ。
のδを全ての実数に対し共通にとればよいのでは？
でもそれじゃ>>22さんの言うとおり、自然数の公理のよみかえにすぎないですね。
0026１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 17:35:05いえないようなきが。夢を奪ってごめん。
ま、私が間違えているかもですけどね。
0027１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 17:39:250028１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 17:52:09Zornの補題は知ってます。上界をもつ集合が「実数の帰納法」の反例と
なりうると言っているのですが？きつく聞こえるならごめんなさいね。
たぶんこれを読んでいる８割ぐらいの人は「実数の帰納法」はないと
思っていると思います。間違った道に進まない方がよいと思います。
002911
2007/07/23(月) 17:54:53δはaに依存していても構いません。
δではなくδ_aと書くべきでしたね、すいません。
0030１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 17:57:470031１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 18:03:09ある順序集合の元ごとに関する命題についての論法なのでしょうね。
0032１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 18:09:56（私も調べながらわかってきたのですが。）
堂々と発表されてよいと思います。
自然数の公理（ペアノの公理が有名）に代わる新たな公理系があったりして。
0033１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 18:26:04あるとか証明する議論が正にそれだ。実数帰納法なんて呼ばないだけの話だ。
厳密な議論をするときは、やはりZornを使う。解の区間の族考えて、それが⊆
について帰納的順序集合だから・・・とやる。あるいは、解析で良くやるのが、ある命題
P(x)がすべてのx<aで成立するから、連続性から P(a) でも正しいとか。いずれにせよ
Zornで説明可能だ。
発想としては悪くないぞ工房。実はこの手の議論の意味の説明に、
「これは実数について帰納法をやるようなもんだ」と人に話したことがあるよ。
結論： 一般化された帰納法は、適当な定式化の下、Zornの補題の運用に吸収されてしまう。
0034１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 18:32:22「P(a)が成り立つとき、ある0＜δが存在して、P(a+δ)が成り立つ。
ただしδはaに依存する。」
といった文で記述される命題が主定理として論文を書けばあとは誰かが
やってくれます。眼の付け所がいい！と書いてたら他の人が何か言って
ますね。ま、がんばって。
0035１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 18:41:56そんなに難しいわけではないが、Zornは玄人の道具。
早く大学生になって、集合論初歩で整列定理といっしょに
Zornの補題を習ってくれ。
0036１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 18:58:17連結な位相空間Xの元xごとに関する命題P(x)についての論法として
Xの部分集合YをP(x)が成り立つxの全体と定義したとき、
(1)Yは空でない。
(2)Yは開集合。
(3)Yは閉集合。
ならば、X=Yが成り立つ。
っていうのはどう？
もちろん、帰納法のX=整数全体の離散位相は連結ではないけれど。
0037１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 19:21:43P(x)を実数0≦xについての命題とする。
(1) P(0)が成り立っている。
(2) 任意のb＜aに対してP(b)が成り立つとき、P(a)も成り立つ。
(3) P(a)が成り立つとき、ある0＜δ_aが存在して(δ_aはaに依存してよい)、
0＜ε＜δ_aならP(a+ε)が成り立つ。
このときP(x)は全ての0≦xについて成り立つ。
P(x)を連結な位相空間Xの元xについての命題とし、
Xの部分集合YをP(x)が成り立つxの全体とする。
(1)Yは空でない。
(2)Yは閉集合。
(3)Yは開集合。
このときX=Yが成り立つ。
ということです。
0038１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 23:46:13003939
2007/07/25(水) 23:03:240040１３２人目の素数さん
2007/07/26(木) 16:08:220041１３２人目の素数さん
2007/07/26(木) 16:47:52それ夏休みの宿題ね。（ヒント>>36もしくは>>37）
0042１３２人目の素数さん
2007/08/08(水) 08:14:44たとえば、ポストモダン解析学 p.124 定理8.6の証明方法がそう。
0043１３２人目の素数さん
2007/08/11(土) 05:58:26■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています