>>642
＞X+Y√3＋X-Y√3＝2X　の式になるから　ってことで　いいですか
基本的にはOK。
a+√bの計算とa-√bの計算が対応するというのは、重要で面白い性質。
でも、解答欄で論証するのは面倒だから、模範解答的には二項定理を利用する方が楽。
√3について偶数乗の項は残るけれど、奇数乗の項はプラスマイナス0になることを示す。

＞小数点以下1000位まで0って　1/10000ぐらいしか･･･
(2+√3)^2007=((2+√3)^2007+(2-√3)^2007)-(2-√3)^2007だから
(2-√3)^2007が小数点以下1000位まで0になることを示す。
これも値を直接計算するのは面倒だけど、
0≦(2-√3)^2≦0.1が示せれば
0≦(2-√3)^2000≦0.0…1（小数第1000位が1）が言えるし
(2-√3)^2007はもっと小さい

>>641
範囲としては高校数学だけど、
余裕が有れば中学数学の応用というか遊びでやってもいいと思う。
高校数学での固有値とかみたいなものだろ。