B0=f(A)とおく
任意のy∈B0について、y=f(x)となるx∈Aは決まる。

任意のx∈Aについて
f(x)⊂B0 ←→ y⊂B0
　　　　 ←→ f^-1(y⊂B0)
　　　　 ←→ x⊂f^-1(f(A))
　　　　 ←→ x⊂A


こんな感じでしょうか？
少しは元の対応をさせた気になってるんですが。。