>>291
OK.
まず、極値 f(±1) = ±2k と f(±∞) = 0 からグラフの概形が描ける。
グラフの -k≦x≦k の部分だけを見ると、
・1≦k のときには極大と極小が範囲内に入っていて、端点の値と比べると
　最大値はf(1)=2k 最小値はf(-1)=-2k
　4k = 2/3
　k = 1/6 、しかしこれは1≦k を満たさないので不適
・k＜1 のときには範囲内に極値はなく、端点で最大最小をとる。
　最大値はf(k) = k^2/(k^2+1) 最小値は f(-k) = -k^2/(k^2+1)
　2k^2/(k^2+1) = 2/3
　k = 1/√2 ＜ 1 こっちが解。