>>666
[Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする.
O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする.

a) 角O1DO2が直角である事を示せ.
外接円は各辺の垂直二等分線の交点で表されるので,円O2はACの垂直二等分線上にある.∴DO2⊥AC　同様にBD⊥DO1　よってOD1⊥DO2　∠OD1O2=90°(証明終了)

b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ.
[方針]例えばA(0,4a),B(4b.0)とおき,D,O1,O2の座標を求める.新たな円の中心をO3とする。このときABが円O3の接線になることを示す。又、接線と半径は垂直となるはずだから,<O3D>と<AB>との内積が0になることを示せばよい。

解答は計算が面倒なので...すいません。

[自作問題] 縦1,横√3の長方形をSとする。Sの対角線を中心に30°
回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の重なった部分の面積を
求めよ.

　高校入試レベルの問題ですが、辺の長さの求め方などが解答する人によって分かれるという意味で面白いと思います。