一応用意しておいた解答を書いとくと

まず√2は無理数である
従って(√2)^(√2)が有理数ならば、主張が成り立つ
(√2)^(√2)が無理数ならば((√2)^(√2))^(√2)=2 なので
やはり主張が言える

というのがあった