>>591
h(x)が異なる二つの実数α,βを解に持つとき、絶対不等式から
f(x)もg(x)もα,βを解に持ちp(x)=(x-α)(x-β)となる
h(x)がx=αで重解を持つとき、同様にf(x),g(x)はx=αを解に持ち
f(x)=(x-α)a(x),g(x)=(x-α)b(x)　なる一次関数a(x),b(x)が存在する。このとき
(x-α)^2×[(x-α)^2-{a(x)}^2-{b(x)}^2]=0　が恒等的に成り立つ。よって
(x-α)^2-{a(x)}^2-{b(x)}^2=0　が成り立ち、絶対不等式からa(x),b(x)はx=αを解に持つ
よってp(x)=(x-α)^2とできる。以上から題意が示された

一般の次元について数学的帰納法で示せるっぽいが、うまいこと微分とかしたら楽に示せるかも？