35じゃないですけど解いてみました。

左辺が(x+p)(x+q)ってなったとすると(書くのめんどいんで以下合同式は全てmod13)
p+q≡a および pq≡b
つまりaを固定して考えると、p(a-p)を13で割った余りは0以外で何通りあるかを考えればよい。
このとき1≦p≦12で考えれば十分。1≦i＜j≦12で
i(a-i)≡j(a-j)　となるi,jの条件は
(a-i-j)(i-j)≡0　よりi+j≡a となる。
(Ⅰ)a=0の場合
p=1～6のときのbの値6種類がOK
(Ⅱ)aが奇数の場合
p=aはb=0になりダメ。p=(a+1)/2はOK。この2つ以外はうまいこと二つずつの系5ペアになる。
全部で6種類のbがありえる。
(Ⅲ)aが偶数の場合
p=aはb=0になりダメ。p=a/2はOK。この2つ以外はうまいこと二つずつの系5ペアになる。
全部で6種類のbがありえる。
結局全てのaについて6種類のbがありえるので、全部で78組。