★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
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0001１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 05:06:30解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
0002１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 08:44:090003１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 09:15:11a^3+2b^3+4c^3-6abc=1を満たす整数(a,b,c)の組は無数に存在することを示せ。
0004MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/06/24(日) 09:25:46大学受験板で私が出した問題そのままですな。まあいいですが…
0005MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/06/24(日) 09:32:04(1+2^(1/3)+2^(2/3))^n=a[n]+b[n]2^(1/3)+c[n]2^(2/3)
nは整数です。任意のnについて(a[n],b[n],c[n])は方程式の整数解となります。
いわば3次のペル
0006１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 11:02:43x,y,zを正の整数とする。
x+y+zがx,y,zの公倍数になるとき、x,y,zを求めよ。
964 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2007/06/24(日) 00:34:02
>>956
実際のところ、このスレでも京大系の問題が多いですよね。
あなたのに限らず。
東大っぽい問題って作るのムズイんですかね。（というかメンドイ？）
下の問題は僕の自作なんですけど、こういうのが「東大っぽい」と個人的には思うんです。
こういうのあれば、出してくださいな。
座標平面上の3点O(0, 0), A(0, 1), B(√3, 1)を頂点とする三角形OABがある。
この三角形を、Oを固定して原点のまわりに毎秒1ラジアンの角速度で反時計回りに回転させる。
一方、点Pは三角形OABが回転を始めるのと同時に原点を出発し、
時刻θ(秒)におけるy座標がasinθとなるようにy軸上を運動するものとする。
ただし、aは正の定数である。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 0≦θ≦π/3において、Pが三角形OABの外部に脱出することがあるようなaの値の範囲を求めよ。
(2) θが0からπ/3まで変化するとき、Pが三角形OABの外部に脱出して、内部に戻ってこないようなaの値の最小値を求めよ。
(3) aを(2)で求めた値とする。θが0からπ/3まで変化するとき、
三角形OABの内部でPが通過した軌道がえがく曲線は三角形OABを2つの部分に分ける。
このうち、頂点Aのある側の面積を求めよ。
969 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2007/06/24(日) 03:34:50
∫[0,1](xlogx)^ndx を求めよ。
どうよ？ちょっと考えるでしょ？大学生ならβ,γ関数使うけど高校生なら
ちょっと考えないといけない。
0007前スレ972
2007/06/24(日) 12:43:40途中で積分が収束するかとかの議論を抜くとこんな流れを考えました
∫[0,1]x^n*(logx)^kdx=I[k]とおく
部分積分により
I[k]=-k/(1+n)*I[k-1] (k>1),I[1]=-1/(1+n)^2
を得る.ここから（I[k]を求め、kにnを代入する措置をとることで)
I[n]=(-1)^n*n!/(1+n)^(n-1)
0008１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 13:21:080009１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 13:21:20最小公倍数じゃないの？単なる公倍数だと答えが死ぬほどたくさんあるんだけど
0010１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 14:57:48x≧y≧z≧1について考える。このとき
3x≧x+y+z＞x
で、x+y+zはxの倍数なのでx+y+z=3xまたは2x
x+y+z=3xは不等式の等号成立条件、すなわちx=y=z
x+y+z=2xではx=y+zより、x+y+zがyの倍数という条件と併せて2zがyの倍数となる
y≧zより2z=yまたは2z=2y、すなわちz=yとなる
以上から求める答えは、kを任意の正の整数として
(x,y,z)=(k,k,k),(2k,k,k),(k,2k,k),(k,k,2k),(3k,2k,k),
(3k,k,2k),(k,3k,2k),(2k,3k,k),(2k,k,3k),(k,2k,3k)
0011１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 16:14:040012MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/06/24(日) 16:50:26(1) 空間の3つのベクトルa↑, b↑, c↑が一次独立であることの定義を述べよ。
(2) x,y,zを実数とする。3つのベクトルa↑=(x,y,z), b↑=(z,x,y), c↑=(y,z,x)が一次独立であるための条件を求めよ。
(3) (2)で求めた条件は、以下に示す3×3の平方行列が逆行列をもつための必要十分条件であることを示せ。
┌ x y z ┐
│ z x y │
└ y z x ┘
0013１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 16:52:550014１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 17:31:050015MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/06/24(日) 17:39:27この問題は三次の行列式を知っている必要はありません。逆行列の定義と行列の乗法の定義さえ知っていれば解答できます。
0016１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 18:02:42(1)実数α、β、γについて
αａ↑＋βｂ↑＋γｃ↑＝０↑ ⇔ α＝β＝γ＝０
(2)(3)文中の正方行列をＸとする。
３つのベクトルが一次独立ではない
⇔零ベクトルではないあるベクトルｐ↑で Ｘｐ↑＝０↑ を満たすｐ↑が存在
⇔(逆行列が存在したらｐ↑＝０↑になるだろうがｺﾞﾙｧってわけで)Ｘに逆行列は存在しない
これを否定系から引っ繰り返す
とりあえず大まかな流れだけ。この手の論証重視系でこんな程度の答案だと点数１割くらいだろうけど。
0017１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 19:44:340018１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 20:02:02出てこないよ、カス君。なんで君みたいな無能が生きているのか不思議で仕方ない。早く首くくりなよ。
0019１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 20:04:290020１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 20:06:570021１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 20:07:060022１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 20:08:56このカス共は日本語すらまともに読めないと言っております。まさに日本の恥。
0023１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 20:10:50このドＳが
0024１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 21:06:55(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0025１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 21:14:47('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ >>18
くく へﾍﾉ
0026１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 23:38:42のトリビア この行列式の値は
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2 と因数分解されるので
x+y+z>0 のときに正の値になる。
0027１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 23:49:58それはトリビアというよりも蛇足だろ
いやトリビアルだから間違ってはいないか…
0028１３２人目の素数さん
2007/06/25(月) 02:08:57区間0≦x≦2007πにいくつの極値を持つか？
0029１３２人目の素数さん
2007/06/25(月) 04:07:06x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+ωｙ+ω^2z)(x+ω^2ｙ+ωz)
ωはω^3=1 の複素数
0030１３２人目の素数さん
2007/06/25(月) 06:37:370031１３２人目の素数さん
2007/06/27(水) 21:06:06[前スレ.969,972]
t = -(n+1)log(x) とおくと x = exp(-t/(n+1)),
I[k] = ∫x^n ･ {log(x)}^k dx
= {-1/(n+1)}^(k+1)∫(t^k)exp(-t) dt
= -{-1/(n+1)}^(k+1)} {Σ[j=0,k] (k!/j!)t^j} exp(-t).
0032１３２人目の素数さん
2007/06/27(水) 21:40:12和積公式から
f(x) = Σ[k=1,N] {cos((k-1/2)x) - cos((k+1/2)x)} / {2sin(x/2)}
= {cos(x/2) - cos((N+1/2)x)} / {2sin(x/2)}
= sin(Nx/2)sin((N+1)x/2) / sin(x/2),
0≦x<2π のゼロ点 … 2N個。
x=0, x=(2j/N)π (j=1,2,…,N-1), x=(2k/(N+1))π (k=1,2,…,N)
ゼロ点の間に1個ずつ極値がある。
0≦x<2π の極値 … 2N個。
0≦x<Nπ の極値 … N^2 個。
0033１３２人目の素数さん
2007/06/27(水) 22:11:55広義積分じゃないらしいぞ。
0034MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/06/30(土) 21:44:03x^2 + (13m+a)x + (13n+b) = 0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組はいくつあるか。
0035１３２人目の素数さん
2007/06/30(土) 22:10:170036１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 00:53:30じゃあ解けよｗ
0037１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 01:13:03低レベルなものを態々解く必要などなかろう！
0038１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 01:20:50ほっとけって
どうせ口だけだから
0039１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 01:26:190040１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 01:36:31左辺が(x+p)(x+q)ってなったとすると(書くのめんどいんで以下合同式は全てmod13)
p+q≡a および pq≡b
つまりaを固定して考えると、p(a-p)を13で割った余りは0以外で何通りあるかを考えればよい。
このとき1≦p≦12で考えれば十分。1≦i＜j≦12で
i(a-i)≡j(a-j) となるi,jの条件は
(a-i-j)(i-j)≡0 よりi+j≡a となる。
(Ⅰ)a=0の場合
p=1～6のときのbの値6種類がOK
(Ⅱ)aが奇数の場合
p=aはb=0になりダメ。p=(a+1)/2はOK。この2つ以外はうまいこと二つずつの系5ペアになる。
全部で6種類のbがありえる。
(Ⅲ)aが偶数の場合
p=aはb=0になりダメ。p=a/2はOK。この2つ以外はうまいこと二つずつの系5ペアになる。
全部で6種類のbがありえる。
結局全てのaについて6種類のbがありえるので、全部で78組。
0041１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 02:07:000042１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 04:29:04i*i = e を満足する数i を求めよ
004342
2007/07/01(日) 04:31:55004442
2007/07/01(日) 04:45:24ある数 e≡-e * -e と定義したとき
i * i = e を満足する i≠e なる数iを求めよ
0045１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 04:48:550046１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 04:59:43そもそも「数」とは何だ。
004742
2007/07/01(日) 06:23:33すみません(^^;)
ある数の集合Fにおいて
e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
その条件の元に、
ｊ∈F j * j= -i となる
集合Fを求めよ
004842
2007/07/01(日) 06:27:24*の意味は
∀a∈F a * e = e * a = a
004942
2007/07/01(日) 06:49:14*の意味は
∀a,b∈F a * b = b * a ∈F
0050１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 07:07:55005142
2007/07/01(日) 07:13:41-の意味は、
∀a∈F a-a=0∈F
です。
005342
2007/07/01(日) 08:16:42記号 "-" を ∀a a-a=0 と定義し
記号 "*" を ∀a a * e = e * a = a と定義する
e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
その条件の元に、
ｊ∈F j * j= -i となる
集合Fを求めよ
0054１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 08:29:090055１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 08:46:56数とは集合なのか。
では「数の集合」とは何であるか。
また、「集合」とは何であるか。
0057１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 10:18:23もう >>42 は書かなくていいよ。引っ込んで。
0058MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/01(日) 11:05:41御名答。
関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=1,f(1)=0を満たすものとする。また、関数g(x)は、0≦g(x)≦1を満たす連続関数とする。このとき次の不等式が成り立つことを示せ(下記不等式中にある積分は全て積分区間[0,1]の定積分とする)。
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx
※f(x)の微分可能性は保証されていません
0059１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 12:21:00max_{0\leq x\leq 1}(f(x)+x)=Mとすれば
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx \leq M
一方、\int_0^1 (f(x)+x)dx\geq 1+\frac12(M-1)だから
∫f(x)dx \geq\frac12M
0060MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/01(日) 13:15:49あっ…やっぱやりすぎました？一応高校の知識だけで解けるよーにはしたつもりでしたが、一般化しすぎましたかね
0061１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 13:31:34わかってしまえばあっさりだから、難しかったころの京大って感じか
東大なら後期用でしょう
0062MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/01(日) 16:50:15a[1]=1, a[2]=5
|a[n+2]-a[n]|=1/2^(n-1)
lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0
このとき、数列{a[n]}の一般項を求めよ。
0063１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 17:18:22じゃなくて？
0064１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 17:26:120065MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/01(日) 17:38:29a[2]=3ですな
0066１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 19:16:140067MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/01(日) 19:37:00整数問題のスレに問題出してました。でも先月2ch管理側がスレを整理したのか、整数問題スレもろともあぼーんされてしまったのです。なにゆえ削除したのかいまだに謎ですが
0068１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 19:43:44情報ありがとうございました。
0069１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 00:44:01三角不等式からa[2k-1]<7/3<a[2k]ってなるから
a[2k-1]→7/3 かつa[2k]→7/3 (k→∞)
じゃなきゃ困るわけで、このことから、奇数の場合は大きく偶数の場合は小さく、を目指した数列が答え。
｢a[2]＝√2の場合は題意を満たす数列は存在するか｣
みたいな問題はどうでしょうかMASUDAさん
0070MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/02(月) 01:00:36おぉ、さらにひねりますか(笑)
実はこれ、予備校の直前講習で出したのですが、lim(a[n+1]-a[n])=0から勝手にa[n]が収束するとしてしまう生徒が続出し、答えは合っていても論証で大減点をくらい、平均点がかなり低かった問題です。
確かに>>69氏のおっしゃるようにさらにひねればかなり良問になるのですが、受験生レベルには酷かもしれません。でも発想は面白いですな。
007142
2007/07/02(月) 06:01:30演算子 "-" を ∀a∈F a-a=0 と定義し
演算子 "*" を ∀a∈F a * e = e * a = a と定義する
ここで e∈F は e*e=e を満足する
そして
e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
その条件の元に、
ｊ∈F j * j= -i となる
集合Fを求めよ
007271
2007/07/02(月) 06:10:20演算子 "-" を ∀a,b∈F a-b∈F 且つ ∀a∈F a-a=0 と定義し
演算子 "*" を ∀a,b∈F a*b∈F 且つ ∀a∈F a * e = e * a = a と定義する
ここで e∈F は e*e=e を満足する
そして
e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
その条件の元に、
ｊ∈F j * j= -i となる
集合Fを求めよ
0073１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 06:17:41いい加減うざいよ。
007571
2007/07/02(月) 06:29:29問題７２の答えを教えてください
007671
2007/07/02(月) 06:33:270077１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 07:06:270078１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 07:32:460079１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 07:32:57ここは貴様のオナニースレではないぞ！
うせろ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0080１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 09:03:02そもそも高校数学で習わない記号出してるし。
大学入試には高校で習ったことしか書いちゃいけないんだよ～。あんたは高校いってないからわからんかもしれんが。
0081１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 09:15:15お前、提唱者 ◆3j.9eex9S6 だろ？
*提唱者 ◆3j.9eex9S6を知らない方へ
【定理？】負×負＝正【定義？】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1162652104/
で暴れている基地外
0082１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 11:47:090083１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 12:49:110084MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/02(月) 13:27:01Σ[k=1,n]a[k] = 0
Σ[k=1,n]b[k] = 0
Σ[k=1,n]|a[k]| = p
Σ[k=1,n]|b[k]| = q
このとき、Σ[k=1,n]a[k]b[k]のとりうる値の範囲をp,qを用いて表せ。
なんか東工大チックになってしまったであるな…
0085１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 13:28:540086１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 13:56:39これは類題を解いてないとまず無理じゃないかね
誘導つけないと、答えあってるだけで（論証無しで）
かなりの部分点をあげる羽目になりそう
0087MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/02(月) 14:22:05そーゆー見方もありますな。
>>86
案外実験したら方針があっさり立たなくもないのです。実際、過去に2題、東大で類題がでてます(絶対値はありませんでしたが)。
0088１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 14:31:510089MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/02(月) 14:47:240090１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 14:52:12009171
2007/07/02(月) 19:42:570を含む、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
・そして、Fのある元jについて次の等式が成り立つ j * j= -i
集合Fを求めよ。
0092１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 19:57:290≦a*b+c*d≦e*f (e=a+c f=b+d)
を足ががりに
-ｐ*q≦a1*b1+a2*b2+・・・+an*bn≦p*q (c=a1+・・・an d=b1+・・・+bn)
という流れでいいのですかな？
0093１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 20:06:41いい加減自分で間違いに気付けよ！
0094１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 20:14:020095１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 20:24:12009671
2007/07/02(月) 20:31:360を含む、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
/* ・そして、Fのある元jについて次の等式が成り立つ j * j= -i */
集合Fを求めよ。
0097１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 20:32:11009871
2007/07/02(月) 22:02:04問題として適当でしょうか、添削お願い致します。
0099１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 22:22:220100１３２人目の素数さん
2007/07/02(月) 22:30:27010271
2007/07/03(火) 06:38:56ごめんなさい
010371
2007/07/03(火) 06:45:292x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
0104１３２人目の素数さん
2007/07/03(火) 06:49:32これ以上書き込んでももう誰もお前相手にしない。しばらく休め。
010571
2007/07/03(火) 06:50:300106１３２人目の素数さん
2007/07/03(火) 07:42:240107１３２人目の素数さん
2007/07/03(火) 11:51:01とりあえず、
n=2 のときは２つの正方形上の点で内積が最大と最小になるペアで
n=３ のときは２つの正８面体上の点で内積が最大と最小になるペアになった。
min =-pq , max=pq 間違っているのかな？
0109１３２人目の素数さん
2007/07/03(火) 12:51:49ｎ＝２
|a|+|b|=p p,qは正
|x|+|y|=q
a+b=x+y=0
L=ax+by
直線ｙ＝-xと正方形|x|+|y|=p ,q の交点(-p/2, p/2) (p/2, -p/2) (-q/2, q/2) (q/2, -q/2)
の４点で内積を計算すると MaxL=pq/2 MinL=-pq/2
ｎ＝３
|a|+|b|+|c|=p
|x|+|y|+|z|=q
a+b+c=x+y+z=0
L=ax+by+cz
平面x+y+z=0と正八面体|x|+|y|+|z|=p,q の交線を考えて、、、ってやると確かに大変ですね。
0110１３２人目の素数さん
2007/07/03(火) 13:00:000111１３２人目の素数さん
2007/07/03(火) 16:37:36証明どうやんの？
0112１３２人目の素数さん
2007/07/03(火) 21:20:47Σ[k=1,n]a[k] = 0とΣ[k=1,n]|a[k]| = pから、正のa[k]の和=p/2、負のa[k]の和=-p/2。
b[k]の方についても同様（ただしp/2はq/2とする）。
積和Σ[k=1,n]a[k]b[k]に最大を与えるa[k]、b[k]をとる。
番号を取り直して、aは単調増加a[1]≦a[2]≦・・・≦a[n]としてよい。
今b[1]とb[2]を取替えたものは最初の積和より大きくはないので、a[1]b[1]+a[2]b[2]≧a[1]b[2]+a[2]b[1] である。
これから (a[1]-a[2])(b[1]-b[2])≧0 である。 a[1]≦a[2]だったからb[1]≦b[2]である。
これを b[2]とb[3]、b[3]とb[4]、と順にくりかえせば、 b[1]≦b[2]≦・・・≦b[n]であることが分かる。
今、a[m]＜0、b[m]＞0 となる組があるとすれば、そのうちの一番小さいｍにたいし、b[m]の値を
ｂ[n]に足しこんで、b[m]=0としたものと、についての積和をとれば、最初に最大としたものよりも大きくなる。
よって、最大になっている積和では、正の項同士の積、負の項同士の積の和になっている。
最後に、 任意の正の数r_1、r_2、s_1、s_2について、(r_1)(s_1)+(r_2)(s_2)＜(r_1+r_2)(s_1+s_2)である。
任意の４つの負の数についても同様。従って、a[k]、b[k] (ただし2≦k≦n-1) に0でない項があるとするならば、
a[n}=p/2、a[1]=-p/2、b[n]=q/2、b[1]=-q/2と
途中の項の値を正負に応じて両端に纏めたものが最初の積和より大きくなる。。
よって取りうる最大はpq/2。取り得る最大を与えるa[k]の符号を逆転させれば、取りうる最小を与える。つまり-pq/2
メチャクチャ省略、言葉足らずですが、こんな感じでしょうか
0114１３２人目の素数さん
2007/07/03(火) 23:00:07０≦Σ（ａ（ｋ）ｂ（ｋ））≦Σ（ａ（ｋ））Σ（ｂ（ｋ））≦ｐｑ／４。
正負，負正，負負についても同様なので
－ｐｑ／２≦Σ（ａ（ｋ）ｂ（ｋ））≦ｐｑ／２。
（ｐ／２）（ｑｒ／２）＋（－ｐ（１－ｒ）／２）（ｑ（１－ｒ）／２）＋（－ｐｒ／２）（－ｑ／２）
＝（ｐｑ／４）（２ｒ－（１－ｒ）＾２）
なので［－ｐｑ／２，ｐｑ／２］の値は全てとりうる。
0115１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 00:36:17三方向の辺の長さが全て異なる、同じ大きさの直方体C1,C2,C3がある。
C1とC2、C2とC3を、同じ長さの辺どうしが重なるようにくっつけて、
C1は固定してC2とC3を、接している辺を中心として回転させる。
…問題になってないんだがorz
要は関節のようにクネクネと動くC2とC3の軌跡なんかを題材に、
何か問題が作れないかなと。
0116１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 00:51:32こんな問題はどうだ？
三方向の辺の長さが全て異なる、同じ大きさの直方体C1,C2,C3がある。
C1とC2、C2とC3を、同じ長さの辺どうしが重なるようにくっつけて、
C1は固定してC2とC3を、接している辺を中心として回転させる。
それはさておき、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
0117１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 01:20:48例えばC1のある頂点とC3のある頂点の距離の取り得る値の範囲とか。
東大入試というよりパズルっぽい問題だが。
0118１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 01:26:10ちょｗｗｗおまｗｗｗｗｗｗ
0119１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 01:30:390120MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/04(水) 01:37:01立体の軌跡となるとC3が複雑すぎてかなり厳しいかと。立体同士がぶつかることもあって制限もかかりますし。
↓こんなんどうでしょうか？計算してないのでどうなるか分かりませんが。
3つの合同な直方体T[1],T[2],T[3]があり、直方体T[k]を
A[k]B[k]C[k]D[k]-E[k]F[k]G[k]H[k]
となるように各頂点を定める(k=1,2,3)。各辺の長さは
AB=CD=EF=GH=p
BC=AD=FG=EH=q
AE=BF=CG=DH=r
とする。座標空間において、点A[1],B[1],D[1],E[1]のそれぞれの座標が(0,0,0),(p,0,0),(0,q,0),(0,0,r)であり、辺C[1]D[1]とC[2]D[2]、F[2]G[2]とF[3]G[3]が一致しているとき、線分A[1]E[3]の長さの最大値を求めよ。
私の文章力ではこの程度が限界です。図がないと訳が分かりません
0121MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/04(水) 01:54:200122１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 02:22:00t>0において
f(t)=tは狭義単調増加
g(t)=(at+a^2+1)/(t+a)は狭義単調減少
よってf(t)=g(t)=xとなるxを求めれば良い
0123１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 03:45:06なるほど～
感心した。
0124１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 06:33:000125１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 06:41:35どのような正の数ｘ、ｙに対しても
不等式(x+y)^4≦c^3(x^4+y^4)
が成り立つようなcの範囲を求めよ
0126１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 08:47:37類題って簡単にしすぎだろｗ必要条件から解ける
0127MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/04(水) 11:07:02御名答。早いですな。
kは自然数とする。多項式x^(3n) + x^n (n=1,2,…)を x^k + 1 で割った余りをR[n](x)とする。
(1) R[n+2k](x) = R[n](x)を示せ。
(2) R[n](x),R[n+1](x),…,R[n+2k-1](x)が全て異なることとkが奇数であることは互いに必要十分であることを示せ。
0128１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 16:20:49f_{n+k}=x^(3n+3k)+x^(n+k)≡-x^(3n)-x^n=-f_n
よって、f_{n+2k}≡-f_{n+k}≡f_nで、(1)がでる
(2)(1)より、R[n](x),R[n+1](x),…,R[n+2k-1](x)が全て異なる
⇔R[0](x),R[2](x),…,R[2k-1](x)が全て異なる
kが偶数のとき、k=2sとおけば0<s<3s<2kであり、
f_s=x^(3s)+x^s=x^s(x^k+1)≡0,また、f_{3s}=f_{s+k}≡-f_s≡0
よって、R[s](x)=R[3s](x)となる
以下、kは奇数とする。≡でないことを!≡と書く
0≦s<k, 0<k<tに対し、f_{s+t}!≡±f_s、f_s!≡0であることをいえば良い
w=cos(π/k)+isin(π/k)とおけば、多項式fに対し
f(w)=0はf≡0のための必要条件であるから、f(w)≠0を言う事でf!≡0が言えることになる
f_s=x^s(x^(2s)+1)であり、kが奇数であることと0≦s<kより、
f_s(w)≠0であり、f_s!≡0
f_{s+t}-f_s=x^s(x^t-1){x^(2s)(x^(2t)+x^t+1)+1}
|x|=1かつx^(2s)(x^(2t)+x^t+1)+1=0とすると、
|x^(2t)+x^t+1|=1これより、x^t=-1,±iとなるが、
kが奇数であることと0<t<kより、x=wがこれを満たすことはない。
w^s(w^t-1)≠0は明らかで、f_{s+t}!≡f_s
f_{s+t}+f_s=x^s(x^t+1){x^(2s)(x^(2t)-x^t+1)+1}
|x|=1かつx^(2s)(x^(2t)-x^t+1)+1=0とすると、
|x^(2t)-x^t+1|=1これより、x^t=1,±iとなるから、
以下同様にf_{s+t}!≡-f_s
面倒だな、誰かもっと楽にやってくれ
0129１３２人目の素数さん
2007/07/04(水) 23:57:53w^k+1=0,また(-1)^k+1=0だから、f_n(w)=R[n](w), f_n(-1)=R[n](-1)
f_n(w)=2cos(πn/k){cos(2πn/k)+isin(2πn/k)}
で,|f_n(w)|=2|cos(πn/k)|
よって、0≦n<2kにおいて絶対値が等しくなる組は、
n=0,kの組と、0<t<k/2によってn=t,k-t,k+t,2k-tで与えられる組である。
f_n(-1)=2・(-1)^nだからnが偶数か奇数かでf_n(-1)の値が異なる
また、0<t<k/2のときは、n=t,k-tに対しては、0<argf_n(w)<π
n=2k-t,k+tに対しては、π<argf_n(w)<2πとなるから
結局0≦n<2kに対し、f_n(w)かf_n(-1)の少なくとも一方は異なる値を取り、
R[0](x),R[1](x),…,R[2k-1](x)は全て異なると言える
0130１３２人目の素数さん
2007/07/05(木) 00:31:10x=cos3θ+cosθ, y=sin3θ+sinθは外トロコイドで、
0≦θ<2πにおいて、同じ点を通るのは
θ=π/2,3π/2; θ=π/4,3π/4; θ=5π/4,7π/4
のときに限るが、kが奇数だから、πn/kがこれらの
値を取ることはない。よってn=0,1,...,2k-1に対し
R[n](w)=f_n(w) はすべて異なる値を取り
R[0](x),R[1](x),…,R[2k-1](x)は全て異なると言える
これならキレイかな
⊿n+1[f(x)]=⊿[⊿n[f(x)]]
とする。
(1)⊿n[f(x)]=C[n.0]*f(x)-C[n.1]*f(x-1)+…C[n.k]*(-1)^k*f(x-k)
…+C[n.n]*(-1)^n*f(x-n)
を示せ。
(2)⊿n[x^n]=n!
を示せ。
(3)a(k)={(-1)^(n-k)*k^n}/{k!*(n-k)!}
とするとき
Σ[k=0,n]a(k)
を求めよ。
なお必要ならドラえもんの身長が129.3cmであることを用いても良い。
0132１３２人目の素数さん
2007/07/06(金) 21:04:460133１３２人目の素数さん
2007/07/06(金) 23:36:09（ﾟ⊿ﾟ）ｲﾗﾈ
に見える
0135MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/07(土) 12:26:34a[n+2] = pa[n+1] - 6a[n]
(n=1,2,3,…；pは定数)
で定められる数列{a[n]}に対して、数列{a[n+1]-a[n]}が等比数列になるとき、以下の問いに答えよ。
(1) pの値を求めよ。
(2) 数列{a[n+2]+qa[n+1]+ra[n]}が初項が0でない等比数列になるためのq,rの条件を求めよ。
0137１３２人目の素数さん
2007/07/08(日) 15:30:29いや、(1)(2)なくしたら東大っぽくなくなる
0138１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 00:08:33a(n+1)-a(n)が等比数列
⇔a(n+2)-a(n+1)=L｛a(n+1)-a(n)}…①
変形して与えられた条件と比べるとL＝６、ｐ＝７を得る。(１）
よって①⇔a(n+2)=7a(n+1)-6a(n)…②
また①、a(1)=1,a(2)=2より、a(n+1)-a(n)=6^n-1(2-1)
=6^n-1
よってa(n+1)=a(n)+6^n-1…③
②、③より(２）の条件⇔a(n+2)+qa(n+1)+ra(n)=(q+7)｛a(n)+6^n-1｝+(r-6）a(n)
=(q+r+1)a(n)+(q+7)6^n-1…④
=k｛(q+r+1)a(n-1)+(q+7)6^n-2｝ （kは公比）
=……=k^n-1｛(q+r+1)a(1)+(q+7)6^0｝
=k^n-1(2q+r+8) …⑤
④⑤を比べてq+r=-1のときｋ=6で題意を満たす。(２）
不勉強で申し訳ありませんが、こういうのは有名or既出ですか？
「同じ三角形の外接円、内接円の半径をそれぞれR、ｒとするとき
R／ｒの最小値を求めよ。またそうなるときの三角形はどんな三角形か」
0139１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 00:14:18既出も何も有名すぎて呆れた。一から勉強しなおして来い！
0140１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 00:18:43(1) p=5，7
(2)「p=5 かつ 2q+r+4≠0」または「p=7 かつ q+r+1=0 かつ q≠-7」
だと思われ。
>>138の後半
比較的有名だと思う。
0141１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 00:50:000142１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 02:42:57ガッコンとかやって、作り方研究してみます
0143１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 06:06:156回は一般のn回にした方が難易度的にはいいのかもしれんが
0144１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 06:43:360145１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 07:51:300146１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 08:09:280147１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 08:46:170148１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 08:48:550149１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 09:07:440150MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/09(月) 10:16:55pの値が7だけというのは見事に仕掛けた罠にかかっておられます。漸化式では係数比較はできません。
>>140
御名答
0151143
2007/07/09(月) 10:31:33↓
1が連続で出た回数の最大値の期待値を求めよ
と書くの間違えたよ、ごめん。
もう少し正確に書くと「サイコロを6回振った時にn回目に出た目をa[n]とする時、
max{m: a[k]=a[k+1]=...=a[k+m-1]=1 0<k k+m<6}の期待値を求めよ」となるね
お詫びに答えを書く
xで2～6を表し、yで1～6を表すとすると
・最大で0回連続
xxxxxxと表されるケースしかない：5^6通り
・最大で1回連続
1xxxxx,1x1xxx,1x1x1xの様なケースがある：6*5^5+10*5^4+4*5^3=204*5^3通り
・最大で2回連続
11xxxx,11x1xx,11x1x1,11x11xの様なケースがある
合わせて5*5^4+12*5^3+3*5^2+3*5^2=191*5^2通り
・最大で3回連続
111xyy,x111xy,yx111x,yyx111の様なケースがある：132*5通り
・最大で4回連続
1111xy,x1111x,yx1111の様なケースがある：17*5通り
・最大で5回連続
11111x,x11111の様なケースがある：2*5通り
・最大で6回連続：1通り
よって期待値は(204*5^3+382*5^2+396*5+68*5+2*5^2+6)/(6^6)=18713/23328=0.802...回
あと一般にサイコロをN回振る場合に期待値をE_Nとおくと E_N/log_6(N)→1 (N→∞) となる
0152１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 10:50:250153１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 12:24:31公比は２と６に限られる
0154１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 15:30:350155１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 15:39:320156現役東大生
2007/07/09(月) 16:41:380157MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/09(月) 17:13:57名前は存じませんが、私が高校生のときの学コンに同じ定理を証明させる問題がありました。マスターオブ場合の数にも第４部に出題があったと記憶しております。そこそこ有名かと。
0158MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/09(月) 17:20:40常用対数log3=0.4771とする。整数を10進法で表す。3,3^2,3^3,3^4,…,3^67のうちで連続して3回同じ桁数になるのは何回おこるか。
0159１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 19:55:28(2x^2+508x+446)/(2x^2+3x+1) が整数値になるような自然数xの値を全て求めよ。
(2x^2+508x+446)/(2x^2+3x+1)=1+5(77/(2x+1)+12/(x+1))
2x+1とx+1は互いに素だから、2x+1は5*7*11の約数、x+1は2^2*3*5の約数
(ここからの処理は工夫ができてない）
2x+1=5,7,11,35,55,77,385のときそれぞれx+1=3,4,6,18,28,39,193
で、x=2,3,5
>>158
これは面白い、気づけば簡単だけど本番で出したら意外に解けないかも
オススメの１題
0161１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 21:07:06たしかに6q+r+36=0のとき，
{a(n+2)+qa(n+1)+ra(n)}は定数になるね。
問題文で公比が1でないと書いた方がいいかも。
0162７１
2007/07/09(月) 22:15:22・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
0164１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 22:19:100165１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 22:19:250166１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 22:26:33入試って、いうことは、十代のガリ勉対象って ことかなっ ?
つまり、受験の「なぞなぞ」って、ことなんだっ。
うん。
暇つぶしには、もってこいだねっ !
けど、 こんなことに なんの価値があるのやら ?
きっと、自慢満足だよねっ !
うん !
0167167
2007/07/09(月) 22:30:300168１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 22:33:46こら、マスターオブ整数の問題張るな
0170１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 22:42:42・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
0171１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 23:13:200172１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 23:32:33ワロた・・
0173１３２人目の素数さん
2007/07/09(月) 23:53:18ちょっと前に知り合いの塾講師から(3)単品の質問きたけど、流行ってるのか？
>>158
二回かけて桁があがるか三回かけて桁があがるかのどちらかで
常用対数とか使えば3^67の桁数がわかるから
あとは鶴亀算的な。
0174１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 00:40:390175１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 01:16:13('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>>156
くく へﾍﾉ
0176１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 03:46:54ん？
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>>166
くく へﾍﾉ
0177１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 06:07:070178１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 12:43:32http://www.yomiuri.co.jp/kyoiku/news/20061101ur05.htm
＞そんな中、ＡＯ、推薦が「必ずしも優秀な学生の選抜につながっていない」とする分析結果がまとまり、
＞大学入試のあり方に新たな波紋を呼びそうだ。
＞また、倉元助教授が東北大歯学部の学生を９年間調べた追跡調査では、調査書より入試成績の方が、
＞入学後の成績との相関が高い傾向にあった。
やっぱり推薦入試は糞なんだね
0179１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 13:36:500180１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 14:47:44とする。
sin(π/180)の値を p とするとき、
f(π/90,360）
を p を用いて表わせ。
なお必要ならドラえもんの体重が129.3kgであることを用いても良い。
0181１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 15:08:120182MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/10(火) 20:31:01a[1] + a[2] + … + a[n] = 1/a[n]
を満たす。
(1)不等式
1/√(2n-1)≦a[n]≦1/√n
を示せ。
(2)lim[n→∞]a[n]√nを求めよ。
0183１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 20:51:24何か間違ってない？
0184１３２人目の素数さん
2007/07/10(火) 21:27:050185MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/10(火) 22:43:250186MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/10(火) 22:45:03a[n]は全て正です
0187１３２人目の素数さん
2007/07/11(水) 05:03:39(2)高校生に解けるのか？俺が気づかないだけかな
b[n]=a[n]√nとおく
g_n(x)=(√(n+1))(√(4x^2+n)-√n)/(2x) (x>0)とおけば、
b[n+1]=g_n(b[n])とかける
g_n'(x)=√ng_n(x)/(x√(4x^2+n))=2√(n^2+n)/((√(4x^2+n))(√(4x^2+n)+√n))
より、g_n(x)は単調増加で上に凸である
g_nの不動点はc_n=√(n+1-√(n^2+n))であり、
n+1-√(n^2+n)=1/(1+√(1-1/(n+1)))だから、
c_nは単調減少でc_n→1/√2 (n→∞)
さらに、c_n-c_{n+1}=(c_n^2-c_{n+1}^2)/(c_n+c_{n+1})
=(1/√2)(c_n^2-c_{n+1}^2)
=(1/√2)(n(√(1+1/n))(√(1+2/n)-1)-1)
<(1/√2)(n(1+1/(2n))(1+1/n-1/(2n^2)+1/(2n^3)-1)-1)
=(1/(2√2))(1/n^2+1/(2n^3))<1/n^2
また、g_n'(c_n)=√n/√(4c_n^2+n)<√n/√(n+2)
帰納法により0<b[n]-c_n<8/√nを示す
n=1のときはOk。nのとき正しいとする
x>c_nで、c_n=g(c_n)<g_n(x)であるから、0<b[n+1]-c_{n+1}はOk
b[n+1]-c_n=g_n(b[n])-g_n(c_n)<g_n'(c_n)(b[n]-c_n)<8/√(n+2)
∴b[n+1]-c_{n+1}=b[n+1]-c_n+c_n-c_{n+1}<8/√(n+2)+1/n^2
ここで、1/√(n+1)-1/√(n+2)=1/(√(n+1)√(n+2)(√(n+1)+√(n+2)))
≧1/(√(2n)√(3n)(√(2n)+√(3n)))>1/(8n^(3/2))≧1/(8n^2)
だから、b[n+1]-c_{n+1}<8/√(n+1)も出た
よってb[n]=(b[n]-c_n)+c_n→1/√2 (n→∞)
0188１３２人目の素数さん
2007/07/11(水) 05:11:02＜(1/√2)(c_n^2-c_{n+1}^2)
だな
長いから他にもミスってるかも
っていうか誰か模範解答plz
0190１３２人目の素数さん
2007/07/11(水) 09:10:56>>182 (2)
与条件から
a[k+1] - (1/a[k+1]) = 1/a[k]
両辺自乗して適当に移項
(1/a[k+1]^2) - (1/a[k]^2) = 2 - a[k+1]^2
k=1～n-1 まで和を取って、a[1]=1 を使う
1/a[n]^2 = 2n - (a[1]^2 + a[2]^2 + … + a[n]^2)
1/a[n]^2 ＜ 2n は明らか、また (1) の結果から a[k]^2 ≦ 1/k なので
2n - ((1/1) + (1/2) + … + (1/n)) ≦ 1/a[n]^2 ＜ 2n
(1/1) + (1/2) + … + (1/n) ≦ log(n) + 1
から、結局
1/√(2n) ＜ a[n] ≦ 1/√(2n - log(n) - 1)
∴ lim[n→∞] a[n]√n = 1/√2
0191187
2007/07/11(水) 14:52:01今回は完敗ですww
0192１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 06:55:121/(n-(1/4)log(n)-1/2)≦2(a[n])^2≦(n+(1/4)log(n)+1)/n^2
と評価できました、しんどい
019371
2007/07/12(木) 15:26:46・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
0194１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 19:35:490195１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 19:47:320196１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 22:18:22(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0197１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 22:47:430198MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/12(木) 22:49:36R[1,1] = 1
R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n,k]
R[n,k] = 0 (k＜1,n＜k)
rを自然数、C[r,k]を二項係数として、
Σ[k=1,n]C[r,k]R[n,k]k! = r^n
が成り立つことを示せ。ただし、k＞rのときはC[r,k]=0とせよ。
0199１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 22:59:370200１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 22:59:52じゃないの？
0201１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 23:06:040202MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/12(木) 23:24:19あっ、申し訳ないです。その通りです。
R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n,k]
>>201
そこは間違ってませんよ。
0203MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/12(木) 23:25:39に訂正で
0204１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 23:30:31すまない。東大数理科学研究科の試験日って
8/27, 28, 30, 31 の4日間もあるのか？
ttp://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/documents/ME-info07.pdf
0205１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 23:39:51すまない。見間違えた
0206１３２人目の素数さん
2007/07/13(金) 00:38:26R[n,k]は以下の条件を満たす数字の並べ方の個数であることをまず示す
・1～kの数字を全て用いてn個並べる。このとき各数字について先頭にあるものをピックアップすると
うまいこと小さい順に並んでいる。
これはn-1個並べた段階でまだk-1までしか出てなければ最後はkを置くしかなく
既にkまで出ていれば最後は1～kのk種類のどれでもよい、という性質から漸化式が導かれ
初期条件などの細かい部分もだいじょうぶ
従ってR[n,k]×k!は「k種類のものを全て用いてn個並べる並べ方の数」となる
C[r,k]はr種類の中からk種類選ぶ方法なので
Σ[k=1,n] C[r,k]R[n,k]k!は「r種類のものから適当に選んでn個並べる並べ方の数」になる。
これは場合の数の頻出問題でr^nとなることは自明
ちなみに>>131の(3)も同様に場合の数と対応させて(ドモルガンの法則を使うと)示せる。
0207MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/13(金) 07:22:25御名答
任意の実数xについて、適当な整数n,mおよび適当な実数aを選んで、
4m≦a+x≦4m+bかつ10n≦3a+x≦10n+b
を満たすようにできるときの、定数bの取りうる値の範囲を求めよ。
0208１３２人目の素数さん
2007/07/13(金) 09:13:000209１３２人目の素数さん
2007/07/13(金) 20:54:020210MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/14(土) 03:30:17(1) n≧2とする。『nが素数ならば、1≦r≦n-1を満たす任意のC[n,r]はnで割り切れる。』は真であるといえるか。
(2) nを3以上の奇数とする。『1≦r≦(n-1)/2を満たす任意のC[n-r,r]がn-rで割り切れることとnが素数であることは互いに必要かつ十分』は真であるといえるか。
0211１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 03:36:35偽
0212１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 03:38:08高校数学じゃ「同値」って言葉はやらないんだっけ？
しょうもないこと突っ込んでごめん。
0213MATSUDA◇Seiko
2007/07/14(土) 03:43:39a[1] + … + a[n-1] + (1/2)a[n] = 1/a[n],
a[1] = √2.
を満たす。
(1)不等式
1/√(2n-1) ≦ a[n] ≦ 1/√(2n-2),
を示せ。
(2) a[n] を求めよ。
0214１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 03:50:18俺、(2)の反例がまだ見つからんのだけど、見つけたの？
0215１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 04:10:26おー、182をちょっと変えたのか、おもしろい
あれがなかったら解けなかったかも
0216１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 04:13:20(1)有名問題。もちろん真
(2)たぶん真？n=53まで調べたけど反例見つからない…
0217１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 05:12:270218１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 12:16:10C[n-r,r]=(n-r) C[n-r-1,r-1]/r なので、C[n-r-1,r-1]/r は整数となり、
(n-r) | C[n-r,r].
n が素数でないとき、p を n の最小の素因数とする。
n は奇数なので、p<n/2.
C[n-p,p] は n-p で割り切れない。
0219Zzz…
2007/07/14(土) 13:45:30なぜなら
C[n,r] ＝ n!/r!(n-r)!
とするとnのある素因数pを取ってきて
[n/p] = [n/p]+[n-r/p]
とできないため(n!にpの倍数は[n/p]個含まれるはず)。
ところで、nが素数ならばn-rとrは互いに素であるはず。
したがってn-rでC[n-r, r]を割り切れる。
やったぜ一番！！
0220Zzz…
2007/07/14(土) 13:48:320221Zzz…
2007/07/14(土) 13:58:25[n/p] = [r/p]+[n-r/p]
nにpは[n/p]個
rにpは[r/p]個
n-rにpは[n-r/p]個
含まれる。
nの素因数pすべてについて
[n/p] > [r/p]+[n-r/p]
でないといけない。
ということです。
0222Zzz…
2007/07/14(土) 14:04:11n!=1, 2, … , n
なのでこの列にnの因数pは[n/p]個現れるという意味です。
意味不明ですみません
（寝たきり浪人なので大目に見てやってください）。
0223Zzz…
2007/07/14(土) 15:54:30こんなとこで油を売らす勉強します。デワ
0224Zzz…
2007/07/14(土) 15:58:34あぁぁ、こんな具合なので俺はだめな奴だ…
誰も俺の言うこと理解してくれん。
0225Zzz…
2007/07/14(土) 16:05:541/a + 1/b + 1/c = 3/7
を満たす整数解(a, b, c)の組について
(1) このような解の組は有限か？
(2) 上が正しいなら総数はいくつ？
私は、
(1)については不正確ながら証明しました（まだまとめてません）。
(2)はまだできていません。
0226１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 16:35:28次にa≧b＞0、c＜0の時を考える。
この場合は、b≧5と仮定して矛盾を導く。
明らかに1/a,1/b≦1/5、1/c＜0が成立する。
このため、3/7=1/a+1/b+1/c＜2/5となって矛盾。
したがって、b=1,2,3,4のどれか。
b=1の時を考える。
1/a + 1/c = -4/7
c=-7a/(7+4a)より、0＞c＞-7/4 となり、c=-1が成立する。
って考えたけど面倒そうだな。
0227MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/15(日) 20:59:050228１３２人目の素数さん
2007/07/15(日) 21:59:120229１３２人目の素数さん
2007/07/15(日) 22:00:33qに応じてある2次式が存在して、ってことですか？
0230１３２人目の素数さん
2007/07/15(日) 23:00:00ｆ（ｘ）＝３＾ｎ（１＋２（ｘ－２）＾２）。
0231１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 00:12:14a[n]=(7/3)-(4/3)(-1/2)^(n-1)
正確な論証を教えてください
0232１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 00:24:23g(x)を２次多項式として、g(0)=a, g(1)=b, g(2)=cとおけば、
g(x)=a+(b-a)x+((a+c-2b)/2)x(x-1)である。
a,b,cはすべてp^m(p≧3, mは自然数)の形で、a<b<cとする
g(3)=a-3b+3c<3c≦pc
一方、c≧pb≧3bであるから、g(3)=a-3b+3c≧a-c+3c=c+(a+c)>c
よってg(3)はpの正のべきではあり得ない
また、g(-1)=3a-3b+c≧3a>a=g(0)
左右の反転と平行移動を考えれば,f(x)についてqは高々4（個数で５個）
p≧4のとき、g(x)=((a+c-2b)/2)x^2-((3a+c-4b)/2)x+aと書きなおして軸を考える
a+c-2b≧a+pb-2b>0, 3a+c-4b≧3a+pb-4b≧3a+4b-4b=3a>0
であるから、軸は0と1の間にくる
仮に、g(-2),g(-1)もpの正のべきであれば左右を反転した議論から
軸の位置は-1と0の間にくるはずで矛盾、よってqは高々3
f(x)=(p(p-1)/2)(x-3/2)^2-p(p-9)/8
とすればq=3となってqの最大値は3
p=3のときは、>>230のfをとればqの最大値は4
0233１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 00:29:41予備校でこんなこと書いたらクビにならないのか？
0234１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 00:35:46特にこのレベルを担当してるなら
0235１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 00:41:530236１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 00:45:420237MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/16(月) 03:22:05>>232
御名答
>>233
現場では少々言葉変でも出題検討会議の際に他の先生が手直ししてくれるので問題ないんですよ。
0238１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 03:40:460239１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 03:50:42俺もそのつもりで書いたんだけどね
0240１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 03:58:16>>231
0241１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 21:44:37>>69
0242１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 22:52:29与えられた条件は
a[1]=1, a[2]=3
|a[n+2]-a[n]|=1/2^(n-1)
lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0
の3個。MASUDA先生のおっしゃるとおり，第3の条件 lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0
だけで，lim[n→∞]a[n]が収束するかどうかについては分からない。
最初の2条件から得られることはすべての自然数kに対して，
-(1/3)+(4/3)(1/4)^k≦a[2k+1]≦(7/3)-(4/3)(1/4)^k
(7/3)+(2/3)(1/4)^k≦a[2k]≦(11/3)-(2/3)(1/4)^k
が成り立つということだけ。この2個の不等式から
2(1/4)^k≦a[2k]-a[2k+1]≦4-2(1/4)^k
が得られるけど，そこから，lim[k→∞]a[2k]=7/3，lim[k→∞]a[2k+1]=7/3
になることは導けませんでした。
>>70の人のようにlim[n→∞]a[n]が収束するという前提条件を使えば，
問題文に与えられた第3の条件 lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0 から，
lim[k→∞]a[2k]=7/3，lim[k→∞](2k+1)=7/3 になる必要があるということは
理解できます。そこから，a[n]=(7/3)-(4/3)(-1/2)^(n-1) が導け，
これが題意を満たす解になりうることは理解できます。でもこれだけに
解が限定されるのかどうかの論証(lim[n→∞]a[n]が収束することの論証)
がまだ分からないんです。
0243１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 23:18:230244１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 23:25:572つ目の条件から、数列{a[2n]}はコーシー列を成すことが分かり、よって収束する。
数列{a[2n-1]}の方も同様。
しかし、この方法は高校の範囲を逸脱する。コーシー列を使わない方法としては、
a[2n+2]-a[2n]=1/2^(2n-1) となるnが1つでも存在したら、7/3より大きいある
実数rが存在してa[2n]＞r (n＝1,2,3,…)が成り立ってしまい、このとき
a[2n-1]＜7/3＜r＜a[2n] となってa[2n]－a[2n-1]＞r－(7/3) となる。この式で
n→∞とすると0≧r－7/3 となって矛盾。よってa[2n+2]-a[2n]=－1/2^(2n-1)が
任意のnで成り立ち、a[2n]の一般項は～～～
とやればよい。rの具体的な値の計算は任せる。
0245１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 23:33:53あと、君はもう高校の極限の話から卒業する段階に来てる。早いとこε－δ論法を
勉強した方がいい。受験には全く役に立たないがな( ＾ω＾)
0246１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 23:43:13(゜o゜)
>>244
なるほど。
>>245
いちおう大学生です。受験生じゃありません・・。
εーδ論法ですか。
0247１３２人目の素数さん
2007/07/17(火) 01:00:000248MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/17(火) 16:27:46f(x) = x(x - 1)
g(x) = (x - a)(x - 2a)として、条件P,Qを以下のように定める(aは実数)。
条件P『任意の実数xについて、f(x)≧0またはg(x)≧0が成り立つ』
条件Q『任意の実数xについて、f(x)≧0またはkf(x)+g(x)≧0が成り立つ』条件Pを満たす全てのaについて条件Qが成り立つための実数kが満たすべき条件を求めよ。
0249１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 01:15:46f(x)=x(x-1)，g(x)=(x-a)(x-2a) というのは
f(x)，g(x)が2次関数だという意味でおｋですか。
それとも，やっぱり問題文どおり，
f(x)=x(x-1)，g(x)=(x-a)(x-2a) という
xについての方程式を表しているのでしょうか・・。
0250１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 01:28:340252１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 03:49:03万が一、受講生が受験本番で「方程式f(x)をf(x)＝x^2＋ax＋bとおく。」とか
解答したらどうすんだよ。好意的に解釈してくれるとは限らんぞ。>>249みたいに
2通りの解釈をされて、減点の対象になるかもしれない。
0253１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 03:58:47f(x)そのものを「方程式」と書いてしまう奴は、質問スレとか他の数学掲示板とかで、何度も見かけたことが
ある。俺が今まで見てきた限りでは、そういう奴の書く文章は「おぼつかない」ことが多い。質問の内容が
文章になってなかったり、質問しようとしている問題文を省略して書いたり(全文写せばいいのに、中途半端に
写すから、問題で与えられている条件が欠けてしまう)。こういうのは数学じゃなくて国語の問題。
「うっかりミス」ではなくて、根はもっと深い。言葉というものに関して無頓着なんだな。
MASUDAも同じ。たとえば>>227は、他の人も指摘しているように、p，q，fの関係が不明瞭。pは動くのか？
fはqに応じて決まるのか？こういうところを明確に書こうとしない神経はオワッテル。大学行っていない
のだろうか？ε－δ論法を習っただけでも、こういうところには凄く気がまわるようになるはずなのだが。
あと、>>237では
＞現場では少々言葉変でも出題検討会議の際に他の先生が手直ししてくれるので問題ないんですよ。
とか言っちゃってるし。言葉というものに関して無頓着な証拠。
0254249(非受験生)
2007/07/18(水) 04:17:23>MASUDA先生
いちおうxの2次関数 f(x)=x(x-1)，g(x)=(x-a)(x-2a) として問題を
考えてみますた。僕にはこの問題は難しかった。まず個別に
条件Ｐ，Ｑが成り立つ条件を考えると，
条件Ｐ：「a≦0」または「1≦a」
条件Ｑ：「1/3＜a＜1/2 かつ k≦h(α)」または「1＜a かつ k≦h(α)」
(ただし，h(x)={(x-a)(x-2a)}/{x(1-x)}，α=〔2a^2+a√{2(2a-1)(a-1)}〕/(3a-1) とする．)
となると思います。そこで，問題文に転じて，
『条件Pを満たす「全て」のaについて条件Qが成り立つための実数kが満たすべき条件』
を考えるのですが，「全て」とあることから，a≦0 のときも条件Qを満たさなければ
ならないのでしょうか。でも，a≦0 のときは条件Qが成立しないのです。
計算ミスというか考えミスかもしれないですが・・。
0255１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 04:33:46君、数学科じゃないでしょ？
0256１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 04:50:120257１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 04:52:510258１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:03:41いや、ノリが違うというかさ
俺は東大数学科
0259１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:20:120260１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:21:40個人の能力に言及するとかあり得なくない？
0261１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:22:530262１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:26:350263１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:31:02どこでも皆（表向きは）＋思考がつよいとおもうけどね
じゃないとやってられないというか
0264１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:34:380265１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:37:03でもよく考えたら教官の悪口は言ってるかもしれん
0266１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:40:50質問とか言いつつ、心の中では「断定」してるんだろ？語尾に「ｗ」をつけてる
あたりから察しても、そう伺える。大体、
「○○じゃないだろ？」
ってのは、質問の皮を被っているだけで、実際は断定しているのと同じだ。
0267１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:43:48そうかもね
野暮はよせ、とストレートに言うべきだった
なんかスレ汚しになったな
0268１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:47:070269１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 05:51:38k=0
P=Q
0270MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/18(水) 08:45:020271１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 08:54:30ε-δ論法って微積じゃないのか？
0272１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 08:58:050273１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 09:00:220274MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/18(水) 09:05:33今から考えれば理学部にしておけばよかったとも思いましたが、まあ将来のこと考えますとね…
0275１３２人目の素数さん
2007/07/18(水) 09:42:54MASUDAさんは京大の何学部出身なの？
0278249(非受験生)
2007/07/19(木) 00:25:19以下では
h(x)={(x-a)(x-2a)}/{x(1-x)} (0＜x＜1)
α=〔-2a^2-a√{2(a-1)(2a-1)}〕/(1-3a)
β=〔2a^2-a√{2(a-1)(2a-1)}〕/(3a-1)
として，
a＜0 のとき，k≦h(α)
a=0 のとき，k≦0
a=1 のとき，k≦1
1＜a のとき，k≦h(β)
になりました。でも「実数kが満たすべき条件」って，
aによらないんですよね？だからこの解答も間違えているわけだけど・・。
問題文が，
『条件P，Qが共に成り立つための実数の定数a，kに関する必要十分条件を求めよ．』
or
『(1) 条件Pが成り立つとき，実数aの取りうる値の範囲を求めよ．
(2) aが(1)で求めた範囲にあるとき，条件Qが成り立つような実数kの
取りうる値の範囲をaを用いて表わせ．』
になってたほうがまだとっつきやすい感じかも。文字係数が2個以上
になる問題の場合，解答の方法が複数生じたりするため，大抵の場合は
「座標平面上に図示せよ」とか，答が1通りに明瞭に定まるような出題形式を
とってますよね，特に入試とかでは。でも小テストとかはこういう感じの問題文
が多いわけですが・・。
0279１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 16:48:020280MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/19(木) 19:25:36どーゆー過程かは分かりませんが答えは合ってます。
>>278
一応誘導問題はあったのですが、ここではとっぱらって出しときました。
0281１３２人目の素数さん
2007/07/19(木) 20:02:28h(x,a)=2(a-(3/4)x)^2+A
0<x<1=>h(x,0)>=0&h(x,1)>=0
0<x<1=>k<=(k+1)x<=2
x->0=>k<=0
0<x<1,k<=(k+1)0<=2,k<=(k+1)1<=2=>k<=(k+1)x<=2
0282249(非受験生)
2007/07/19(木) 20:10:56aをa≦0，1≦aの範囲で動かして
kに関する4つの条件を全部満たすkの範囲を求めると
k≦0になるのでこれがkが満たすべき条件でおｋですか？
で，このk≦0という条件は「必要条件」？
それとも「必要十分条件」？
0283249(非受験生)
2007/07/19(木) 20:24:23命題A，Bを
A：条件Pが成り立つ．
B：条件Qが成り立つ．
とする．A⇒B が真となるための実数kに関する必要十分条件を求めよ．
という解釈でおｋでしょうか。
0284284
2007/07/19(木) 20:58:000285１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 16:49:360286１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 17:02:230287１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 17:29:35こういう態度取れば勝ちとでも思ってる奴の典型キタコレ
0288１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 17:29:51東大京大志望だけどなかなか合格出来ない。
自称京大だけど学部答えられない人とか。
0289１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 17:37:02で、気はすんだ？用もないなら来るなよ
0290１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 17:50:470291MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/20(金) 17:55:12学部言うと後が面倒なので言わなかったんですけどね。医学部ですが何か？
>>283
全部書くの大変なので略解だけ。
まず条件Pが成り立つための実数aの条件を求めます。a≦0または1≦aとなるはずです。
次にまずa=0のとき、条件Qが成り立つためのkの条件を求めるとk≦0です。これは必要条件。あとは逆を示せば(ry
0292１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 18:06:27そうか？見てたら大学生がかなりいるように見えるが。
0293１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 18:18:24医学部志望なんだ、合格出来るといいね
学部なんて言っても誰も面倒なこと無いよ、京大医学部なんて腐る程居るんだから
0294１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 18:38:080295294
2007/07/20(金) 18:40:320296249(非受験生)
2007/07/20(金) 19:01:19よくわかりました。トンです。この問題は僕の感覚だと数三に属する感じですが高一生のカテキョ問題としても使えそうですね。一個の問題でかなりの知識を要する総合問題。
0297１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 19:50:41嫉妬で顔真っ赤ｗ
0298１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 20:00:16高校生でこんだけ解けてたらどこでも受かるよ
0299１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 20:40:54(1)横をｙ、高さをｚとするとき、この２つをｘを用いて表せ。
(2)表面積が１５０のときx,y,zを求めよ。
（３）A1とA2に分けたところy1:y2が5:3であり、A1の表面積ｰA2の表面積=22であった。
このときの縦、横、高さを求めよ
0300１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 20:44:280301249(非受験生)
2007/07/20(金) 20:48:49つまり，a=0 のとき，k≦0 であることは容易に示せる。
でもこれから，「a≦0 または 1≦a ⇒ k≦0」を示す発想は思いつきにくいし，
実際，思いついたとしても容易には示せない。やはりこの問題はかなりの難問
に属すると思いました。
0302１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 21:29:200303MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/20(金) 22:05:149p^3 = 8(x+y+z)^3 - (x+y)^3 - (y+z)^3 - (z+x)^3
を満たす。
(1) pの値を求めよ。
(2) (x,y,z)の組の個数を求めよ。
0304１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 22:20:300305１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 22:48:11ならお前がだせ
0306１３２人目の素数さん
2007/07/20(金) 22:57:39京都大 医 医 <前> 前 76
大阪大 医 医 <前> 前 76
九州大 医 医 <前> 前 74
東京医科歯科大 医 医 <前> 前 73
東北大 医 医 <前> 前 72
名古屋大 医 医 <前> 前 72
千葉大 医 医 <前> 前 71
北海道大 医 医学系 <前> 前 70
京都府立医科大 医 医 <前> 前 70
神戸大 医 医 <前> 前 68
名古屋市立大 医 医 <前> 前 68
東京大 理一 <前> 前 67
0307１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 02:14:38,. -一'´ ,fl〃リｋ'ﾆヽ、
／ ,-､ '}jﾘ'＾´ ﾚ',ハﾍ ＜何よ！あんまりみるんじゃないわよ！
' ,｣ﾊｌ|ﾚ' /,:仁ﾃ,ﾊ、
j厂ﾘ'-､､ ｯ一'￣´ l
∠_－､>∠、 |
∠_ｰ ､ﾝ´￣｀ｌｌ ｌ
ｒ‐イ－､ﾝ'´ ﾘ 丿
Ｖ/ / ぃ
＼/__ム〉
,.、,､,..,､､.,､,､､..,_ ／i
;'｀;、､:、. .:、:, :,.: ::｀ﾞ:.:ﾞ:｀''':,'.´ -‐i ＜別にあんたの為に調理されたんじゃないんだからね！
'､;: ...: ,:. :.､.:',.: .:: _;.;;..; :..‐'ﾞ ￣ ￣ は、早く食べなさいよ！
0308１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 02:17:570309１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 10:25:10x+y+z=S とおくと
(右辺) = 8S^3 -(S-z)^3 -(S-x)^3 -(S-y)^3 = 3(S+x)(S+y)(S+z),
0310１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 12:18:54それなのに医学部のご出身ということは理学部に入学せずに一浪したということでしょうか？
それとも理学部に入学したが、医学部保健学科に転部したということでしょうか？
私は京大理学部の者ですが、たしか京大医学部医学科へはいかなる場合でも転部できなかったように思いますが…。
0311１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 12:24:200312１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 12:34:56n=4k+2(k=0,1,2,…)のときに示せれば良いが、このとき
1+2^n=1+2^(4k+2)=1+4*(16)^k≡1+4*(1)^k=5 (mod15)
で、たしかに15で割り切れない。
0313MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/21(土) 12:52:15そのまま転部してたんなら１年理学部通ったぶんの大学数学の知識は身についでましたよ。再受験ですが何か？
0314１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 13:04:31再受験なら再受験とちゃんと書きましょー
転部じゃないじゃん
0315１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 13:06:490316１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 13:11:08東大入試作問者になったつもりのスレに出題された問題が
第二回京都大学前期理系予想模擬試験としてMASUDAのHPに
うpされてるのはどういう了見なんだ？
0319１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 13:41:22禿同 という言葉を久々に使ってみるテスト
0320１３２人目の素数さん
2007/07/22(日) 00:11:06今まで出した問題って、全てオリジナル、だよね?
というのも、今までの過去スレにあったオリジナル問題を集めてみようかな、と思ったので。
0321１３２人目の素数さん
2007/07/22(日) 01:37:42(1)右辺が偶数なのでp=2
(2)(x,y,z)は(-18,5,7),(-2,0,5),(-4,-2,7)のそれぞれの並べかえで18通り
0322MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/22(日) 02:15:110324１３２人目の素数さん
2007/07/22(日) 04:42:00販売します。
0325１３２人目の素数さん
2007/07/22(日) 04:43:320326１３２人目の素数さん
2007/07/22(日) 08:29:30お、紹介してくれ！ 即注文するから！
0327Zzz…
2007/07/22(日) 09:03:08X^{n-1} + X^{n-2} + … + X + 1 = 0
も成り立つことを示せ。
夏休みは現実を直視するためお遍路さんになります。
0328328
2007/07/22(日) 09:16:120331１３２人目の素数さん
2007/07/22(日) 11:56:08>>326
0332１３２人目の素数さん
2007/07/22(日) 12:04:58ちっ！
0333１３２人目の素数さん
2007/07/22(日) 12:23:16【補題】
a>1, b>1, ab>4, nは自然数 のとき,
1 + (a^n) は (a^b) -1 で割り切れない。
(略証)
n ≡ r (mod b) ⇒ 1 + (a^n) ≡ 1 + (a^r) (mod (a^b)-1)
0≦r<b ⇒ 0 < 1 + (a^r) ≦ 1 + a^(b-1) < (a^b) -1.
0334Zzz…
2007/07/22(日) 15:28:502^kと15は互いに素であるため
2^k＝{1,2,4,8} mod.15（は乗法で巡回群）をなす。
したがって2^k≠-1 mod.15（-1は1,2,4,8に含まれない）。
0335１３２人目の素数さん
2007/07/22(日) 17:12:44（０） x>y>z ,y>z>x, z>x>y を満たす領域を図示せよ。
（１） x,y,zが三角形の三辺となる領域を図示せよ。
（２） x,y,zが直角三角形の三辺となる曲線を図示せよ。
0337１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 06:20:370338１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 06:40:340339１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 11:42:32追加
（３） x,y,zが三角形の三辺となるときxy+yz+zx のとりうる値の範囲を求めよ。
おまけ
周の長さが一定の三角形がランダムに変わるとき鈍角三角形になる確率を求めよ。
答えは 9-12*log2 =0.6822. .
0341１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 13:38:21パクルなよ
0342１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 14:17:09前スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/911
911 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/06/22(金) 08:16:07
問１
６点 P1=(a,b,c),P2=(b,c,a),P3=(c,b,,a)P4=(a,c,b),P5=(c,b,a),P6=(b,a,c)
は同一平面上にあることを示せ。
問２ 上の６点が作る六角形の面積を求めよ。
0343１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 16:32:06事象が無限にあるときは、何を以って「ランダム」とするのか明確にして
おかないと、問題として成立しない。
0344１３２人目の素数さん
2007/07/23(月) 16:44:17ありがとうございます。
0345MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/23(月) 21:19:241枚の硬貨をn回続けて投げる。k回目(k=1,2,…,n)に投げたとき、表が出れば2^(k-1)点、裏が出れば0点として、n回の合計を得点とするゲームをAとBの2人が行ったとき、Aの得点がBの得点の2倍より大きくなる確率を求めよ。
0346１３２人目の素数さん
2007/07/24(火) 02:32:41あえてごちゃごちゃに解いてみる
「A、B共にn回目は裏」である表裏の出方の一つを事象Pとする。
Aの表裏の出方はPと一緒で、Bはn回目だけがPと異なる、のような表裏の出方を事象Qとする。
Aの表裏の出方はPと全て逆で、Bはn回目だけがPと一緒、のような表裏の出方を事象Rとする。
A、B共に表裏の出方がPと全て逆、のような表裏の出方を事象Sとする。
全ての事象はP,Q,R,Sのいずれか一つに分類され、P,Q,R,Sは同数。
Pが問題の条件を満たすとき、Q,R,Sは条件を満たさず
Pが問題の条件を満たさないときQ,Sは条件を満たさないが、Rが必ず条件を満たすのは簡単に確かめられる。
以上から全体の丁度1/4が条件を満たす。
0347１３２人目の素数さん
2007/07/24(火) 13:39:53このとき |x|＞M ならば f(x)≠0 が成り立つ M の例を a、b、c、d を用いて表せ。
0348１３２人目の素数さん
2007/07/24(火) 14:55:52★テキストの問題は古臭い有名問題ばかりで何年も改訂していない。なのに誤植が多い。
★校内テストやベネッセ共催模試が激しく糞。しかも強制。
★信じられないような糞講師が多数いる。こいつらは講習や外部向けイベントには一切出てこない。
★１コマ50分で１人の講師が割り当てられるから、授業の種類ばかりが無駄に増える。
すると優秀な先生の授業時間は少なくなり、圧倒的に糞講師の授業時間数が増える。
本科の授業は大量の糞講師の職業安定化のためにコマ細分化されているのかと疑いたくなる。
★講師同士がものすごく仲が悪い。他講師の作ったテキストをけなす先生が多すぎる。
★人気講師ほど本科で露骨に手を抜いて、講習や自分の特設単科に力を注ぐ。なめすぎ。
★不快になるほど他予備校・他塾の批判を聞かされる。ここは北朝鮮か。
★座席指定で同じ固定メンバーと隣席になる。席替えは全て平行移動式。ふざけるな。
★予想外に生徒の質が悪い。下の方のクラスは託児所か保育園状態。
自習室前で騒ぎわめくDQN・廊下や階段を占拠して飲食するZQNが後を絶たない。
★質問厨で講師室は洪水。多浪が当たり前のような態度で講師と談笑している。死ね。
★職員の営業行為が迷惑すぎる。講習２０個取らないと合格できないと脅迫することすらある。
連中はひたすら生徒と保護者を洗脳して金まきあげることしか考えていない。東進より酷い。
★担任が役立たずで無能。受験について無知で何のサポートも感じられない。
★インターネットで工作してる職員が多い。あらゆる掲示板に駿台の職員がいる。
★廊下や階段の掲示物類が幼稚でDQN臭い。淡色のカラーペンの丸字で連絡事項を書くな。
★とにかく授業料が高い。大金取った上にまだエンカレッジだスペシャルセミナーだで
金をむしりとろうと必死。andいらない副教材を買わせようとしてくる。
★合格実績を大幅に捏造している。１つの校舎から何処に何人受かったのか全くわからない。
職員に数字を聞くと「南京大虐殺３０万人」も吹っ飛ぶような嘘を返してくる。
★既に合格校と進学先を告げたのに上を狙えと＋１浪を薦めてくる。いいかげんにしろ。
駿台の浪人本科は糞。
0349１３２人目の素数さん
2007/07/24(火) 16:34:32例でよいなら
ｃ＝0、ｄ＝0のときM＝-ｂ/a
0350１３２人目の素数さん
2007/07/24(火) 21:28:29a,b,c,dがgivenの時の例をよろしく。
0351１３２人目の素数さん
2007/07/24(火) 21:56:59夏休みの宿題か？
0352１３２人目の素数さん
2007/07/24(火) 22:58:59題意も掴めないか．．．
0353349
2007/07/24(火) 23:48:500354１３２人目の素数さん
2007/07/25(水) 00:36:300355１３２人目の素数さん
2007/07/25(水) 02:12:090356MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/26(木) 17:16:11『任意の整数は、適当な整数p,q,r,sを定めることによって
5(pa[1]+qa[2])+7(ra[3]+sa[4])
という形に表すことができる。』
0357１３２人目の素数さん
2007/07/26(木) 17:36:57でも書くのは面倒
上手いやりかたがあるってことかな？
0359１３２人目の素数さん
2007/07/27(金) 17:46:510360１３２人目の素数さん
2007/07/27(金) 19:09:38京大のパクリ
0361１３２人目の素数さん
2007/07/27(金) 19:53:060362１３２人目の素数さん
2007/07/27(金) 20:08:03それ、数学の問題？
0363１３２人目の素数さん
2007/07/27(金) 22:35:14>342
問1. x+y+z = a+b+c.(一定)
問2. u=(w-3z)/√6, v=(x-y)/√2, w=(x+y+z)/√3 = 一定.
により軸を回転し、(u,v)平面で考えると、u軸に関して上下対称。
b ∈ [a,c] としても一般性を失わない。
u ∈ [(a+b-2c)/√6, (c+a-2b)/√6] と u ∈ [(c+a-2b)/√6, (b+c-2a)/√6] で其々 等脚台形となるから
S = √(3/2) * {(c-a)^2 + 2(c-b)(b-a)}.
0364363
2007/07/27(金) 22:40:01問2. u=(x+y-2z)/√6, …
0365１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 01:28:380366MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/28(土) 02:28:58ちなみに今は普通の社会人です
0367１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 02:44:450368１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 02:52:36京都大 医 医 <前> 前 76
の位置づけでおそらくこの中のトップ
一浪分を差し引いてもトップ
0369１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 06:18:54P1=(a,b,c),P2=(b,c,a),P3=(c,a,b)P4=(a,c,b),P5=(c,b,a),P6=(b,a,c)
P1P2P3 とP4P5P6は 各々直線x=y=zの周りにこの順列で時計回り
に１２０度回転させたものだから出来る六角形の頂点は時計回りに
場合Ａ 142536 (c>b>a or a>b>c のとき)
場合Ｂ 152634 (b>c>a or a>c>b のとき)
場合Ｃ 162435 (c>a>b or b>a>c のとき)
の３通りがある。(Pは略）
このときＡもＢＣの場合いずれも六角形は内角がすべて等しく１２０度で
辺の長さがm,n,m,n,m,nと交互に変化する六角形であることが計算すると出る。
Ｓ＝√(３/４) * （m＾２＋n＾２＋４mn）
場合Ａ m= √2|b-c| ,n= √2|a-b|
場合B m= √2|a-c| ,n= √2|b-c|
場合Ｃ m= √2|a-b| ,n= √2|a-c|
0371１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 09:39:040372１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 11:05:30このスレは理３もいるぜ
俺だがな
0373１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 11:32:540374１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 11:46:360375１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 11:48:560376１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 11:54:320377１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 13:28:230378MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/28(土) 19:07:00Σ[k=1,n](1+x)^k
のx^p,x^(p+1),x^(p+2)の係数a,b,cがこの順に等差数列をなす(abc≠0)。このとき、nはどのような形で表されるか。一般形で答えよ。
0379MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/28(土) 19:09:18少し説明不足でした。答えるべき一般形には問題文中の文字を使わずに答えてください。
0380１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 19:29:26それで説明したつもりか？もっと肝心なところの説明はどうした？
任意のpについて「x^p,x^(p+1),x^(p+2)の係数がこの順に等差数列を成す」のか？
あるpについて「x^p,x^(p+1),x^(p+2)の係数がこの順に等差数列を成す」のか？
どうしてこの部分について詳しく書かないんだ？オマエが出す問題で、文字がたくさん
出てくるものは、いつだってそうだ。どの文字がどの文字に依存しているのか？どの
文字が「∃」扱いで、どの文字が「∀」扱いなのか？オマエの書き方では2通り以上の
解釈が可能になってしまい、問題として成立してないんだよ。いい加減にしろ。
0381１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 19:53:59あるｐと解釈しないと無理だからそうすると
知識問題に近いかな
答えは平方数-3でしょ？
0382１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 20:15:540383１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 20:17:310384１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 20:17:59(x+2)^kの和とかの方が東大っぽいのでは
0385１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 20:24:140386１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 20:25:060387１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 20:28:17確かに言及ないのは微妙だが
任意だと題意がおかしくなることはすぐ分かるえ
0388１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 20:33:390389１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 20:36:00一般解求めるのは楽しめるんだけどね
0390数学科逃亡者リスト
2007/07/28(土) 21:01:46京都大 医 医 <前> 前 76 MASUDA（年度不祥・一浪進学）201?年自殺
慶應義塾大 医 医 74 菊川怜（1996年・現役進学せず）長助（2004年・現役進学せず）Reuleaux（2005年・現役進学）こけこっこ（2006年・現役進学せず）
東京医科歯科大 医 医 <前> 前 73 長助（2004年・現役進学）こけこっこ（2006年・現役進学）
千葉大 医 医 <前> 前 71 南まひろ（200?年度・一浪進学）
東京大 理一 <前> 前 67
0391１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 21:10:070392１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 21:12:26n=k^2-3 p=k(k±1)/2-3で勘弁して
0393１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 21:51:53n=k^2-2、p={k(k±1)-4}/2
0394１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 22:00:20n=6, p=3
n=k^2-3 p=k(k±1)/2-3 (k=4,5,6,...)
かな
0395１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 22:08:316C5+6C3=2*(6C4)がなりたたないんだが。
0396１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 22:10:41和はとった？
0397１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 22:11:130398Zzz…
2007/07/28(土) 22:19:18話題とは違うけど簡単そうなので…
7と5は互いに素である。
ユークリッドの互除法より7x+5y=1となる(x, y)の組が存在する。
(nx, ny)とすることによって、任意の整数nを作ることができる。
a[1]～a[4]は4つの連続した整数で、
n+0,n+1,n+2,n+3とかけるが、この列の素因数について考える。
この列は長さが4であるため、2回現れる可能性がある素因数は、
2と3だけであり、6となるときは、1回現れるきりである。
したがって、この列から互いに素な二組を選び出すことができるため、
ユークリッドの互除法より任意のxとyを得ることができる。
あってるかな？
0399１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 22:30:150401１３２人目の素数さん
2007/07/28(土) 23:15:130402MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/28(土) 23:59:50>>401
全くの別人です。そもそも私の名前「益田」は本名じゃありません。これはハンネです。mathから文字っただけですよ
0403名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 01:15:54和を求めて、微分して係数を出すの？
0404名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 01:26:29>>394
0405名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 02:58:180406名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 06:45:005a+7b=1->m=5(3+7k)m+(-2-5k)m
pa1+qa2=(3+7k)m->(a1,a2)=1->ok
(a1,a2)=2->set k so that 3+7k=even->pa1^+qa2^=(3+7k)m/2
あとははなくそ
0407名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 08:04:510408名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 09:15:46ヘロンじゃなくてブラーマグプタじゃない？
0409名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 17:16:58ブラーマグプタの公式を、行列式を使って導け
ただし、導出に関して、三角関数を使ってはならない
0410名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 17:43:12だれか教えてー；；
0411名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 17:51:19高校じゃ習わないぞ
0412名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 18:14:040413名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 18:15:14オモシロけりゃそれでいいけど
0414名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 19:06:37解の公式を用いてはならなーい♪
0415名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 19:10:15それは入試問題にならないだろ・・・
0416名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2007/07/29(日) 20:00:51なんか楽しそうだなw
0417１３２人目の素数さん
2007/07/29(日) 21:00:11・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
ただし、行列は使ってはならない。
0418１３２人目の素数さん
2007/07/29(日) 21:22:160419１３２人目の素数さん
2007/07/29(日) 21:39:560420１３２人目の素数さん
2007/07/29(日) 23:41:580・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
ただし、フェルマーの最終定理を使ってはならない。
0421１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 00:00:23O・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
ただし、フェルマーの最終定理を使わなくてはならない。
0422１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 00:01:5100423１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 00:02:350・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
ただし、提唱者ネタに飽きてはならない。
0424MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/30(月) 01:03:14-a≦x≦aにおけるf(x)の最小値をmとするとき、
∫[-a,a]f(f(x))dx≧maを示せ。
0425１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 03:17:10である。また、示すべきはS≧maである。さて、f ' (x)≧－1/2より、
f(y)－f(x)≧x/2－y/2 (x≦y)
が成り立つ。各s∈[－a,a]に対して、t＝f(s)とおいてみると、仮定より
f(s)≧sであるから、t≧sとなっている。よって、このsとtを上の不等式に
代入すると、
f(t)－f(s)≧s/2－t/2
を得る。すなわち、
f(f(s))－f(s)≧s/2－f(s)/2 (s∈[－a,a])
を得る。変形して
f(f(s))≧s/2＋f(s)/2 (s∈[－a,a])
となる。この式の両辺を－aからaまでsで積分すると、
S≧0＋T/2
となる。これとT≧2maから、S≧maを得る。
0426１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 10:44:540427１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 11:14:510428１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 15:14:37一回ウケたと思ったら連呼するタイプか
合コンでミスるタイプだな
0429１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 18:24:46シンプルでいいね
難易度的にもいいかな
0430１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 19:39:10y^2+z^2+yz=b^2
z^2+x^2+zx=c^2
のとき x+y+z , xy+yz+zx , xyz をa,b,c で表せ。
0431１３２人目の素数さん
2007/07/30(月) 23:22:20a[1]＜a[2], a[3]＜a[4] としても一般性を失わない
以下の５個のどれかが成立する
(1) a[2]=a[1]+1, a[4]=a[3]+1
(2) a[2]=a[1]+1, a[4]=a[3]+3
(3) a[2]=a[1]+3, a[4]=a[3]+1
(4) a[2]=a[1]+2, a[3]=a[1]+1, a[4]=a[1]+3
(5) a[2]=a[1]+2, a[3]=a[1]-1, a[4]=a[1]+1
それぞれの場合、以下のように取れば任意の整数 n を作れる
(1) (p,q,r,s) = (-3n,3n,2n,-2n)
(2) (p,q,r,s) = (4n,-4n,-n,n)
(3) (p,q,r,s) = (-n,n,2n,-2n)
(4) (p,q,r,s) = (-5n,-2n,6n,-n)
(5) (p,q,r,s) = (-5n,-2n,n,4n)
0432MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/07/31(火) 14:21:58a[1]=1 , a[2]=√2
a[n+2]=|a[n+1]-a[n]|
なお、√2が無理数であることは証明せずに用いてよいものとする。
(1) 任意のnについてa[n+c]=ka[n]をみたすnによらない定数c,k(cは正の整数)が存在することを示せ。
(2) kの最小値をmとするとき
lim[n→∞] Σ[k=1,n]a[n] = 1/m
が成り立つことを示せ。
0433１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 14:27:03これらの点のうちどのような5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはない。
このとき、これら2007個の点から4点選んでできる凸4角形の総数を求めよ。
0434１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 16:51:212007Ｃ5 を計算する。
どのような5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはないから
任意に選んだ5点は必ず凸4角形内部に一点が含まれる配置になってる。
このような配置の5点から4点選んで凸4角形が何個できるか数えれば良い。
あとは考えてね
0435434
2007/07/31(火) 16:52:310436１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 17:19:25＞任意に選んだ5点は必ず凸4角形内部に一点が含まれる配置になってる。
「三角形の内部に2点が含まれる配置」である可能性がないのはどうして？
0437１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 18:43:28(2)は、kの最大値 or cが最小のときのkの値
の間違い？
0439１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 21:44:34生きてて恥ずかしくないの？
0440１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 22:40:26またお前かw
言葉に棘ありすぎなんだよ
0441１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 22:46:11ありえない
0442１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 22:47:31お前みたいカスは氏ねよ
0443１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 23:14:50馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾
0444１３２人目の素数さん
2007/07/31(火) 23:57:03平面上にどの3点も同一直線上にないn個の点があるとする。このとき、
(1)n≧3ならば、それらn個の点の中で、凸三角形を作る3点が存在する(どの3点でもよい)。
(2)n≧5ならば、それらn個の点の中で、凸四角形を作る4点が存在する(これはうまく選ぶ必要あり)。
(3)n≧9ならば、それらn個の点の中で、凸五角形を作る5点が存在する(これもうまく選ぶ必要あり)。
が成り立つ。よって、>>433はありえない。馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾
0445東工大生
2007/08/01(水) 00:06:28( a - 1 + 1／b) ( b - 1 + 1／c) (c - 1 + 1／a) ≦１
0447１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 01:02:12=(a-1+1/b)(b-1+ab)(1/(ab)-1+1/a)-1
=(1/(ab^2)){(ab-b+1)(ab+b-1)(-ab+b+1)-ab^2}
ab-b+1,ab+b-1,-ab+b+1
のうち２つ以上が≦0とするとa,b,1>0に反する
一つだけ≦0なら明らか、
すべて>0とすると、
(ab-b+1)(ab+b-1)(-ab+b+1)
=√((ab-b+1)(ab+b-1))√((ab+b-1)(-ab+b+1))√((ab-b+1)(-ab+b+1))
≦(1/8)((ab-b+1)+(ab+b-1))((ab+b-1)+(-ab+b+1))((ab-b+1)+(-ab+b+1))
=ab^2
>>446
がっかり、タイプしたんで貼り
0448MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/01(水) 01:15:53当時の大数でこの問題を知人が解説していたので覚えてたんですよ。知人は
a=x/y,b=y/z,c=z/x
とおいて、あっさりと相加相乗に持ち込んでたので感心しました。
0449１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 01:20:250450１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 01:29:41斬新な説だね＾＾
0451１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 03:01:41釣りか？「説」じゃなくて「定理」だよ。グラフ理論の本に載ってる(ラムゼー理論の応用例として出ている)。
分かったらとっとと消えろ低脳＾＾
0452１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 03:07:45n：十分大
でもいいから簡単な証明はない？
0453１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 03:26:38簡単な証明は知らない。数年前、自力で半年くらい頑張って証明したことはあるけど
(あのときは元気だったなぁ、俺＾＾)、簡単な証明とは思わない。それでもよければ
TEXで打てるけど。
(ちなみに、あとでグラフ理論の本に出会って、その証明がラムゼー理論の再発見
みたいなもんだと分かった。)
0454１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 03:30:08面白い脳内定理だね＾＾
0455１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 03:33:54いや、TEX打ちとか面倒な事はいいからｗ
暇なときにグラフの本でも見てみます
0456１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 03:34:27age厨にはロクなのがいないね。
(2)n≧5ならば、それらn個の点の中で、凸四角形を作る4点が存在する(これはうまく選ぶ必要あり)。
の簡単な証明はココに載ってる。問題2のやつね。
http://www.geocities.jp/bourbonmath/mondai/
(3)の簡単な証明は知らない。以前見た本では、凸包およびその内部の点の配置で何通りにも場合分けし、
地道に調べて証明していた(とても原始的な証明)。
0457１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 04:22:00脳内定理の話はもう結構ですよ＾＾
0458１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 08:40:30まあ、馬鹿は消えろってこったな。
0459１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 09:16:38c=6、k=3-2√2は見つけたけど証明ができん(泣)
0460１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 09:31:47自分の問題守るの必死w
0461１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 12:39:15a[7]=ka[1],a[8]=ka[2]
が示されれば、漸化式的に明らかだとは思うけど…
総和も、a[1]～a[6]の和を求めれば
あとは等比数列の和だし
0462東工大生
2007/08/01(水) 21:24:57いや偶然なんですけど
C1:x^2-2y^2=1 C2:x^2-2y^2=-1とする
(√2+1)^n=xn+yn√2（ｎは自然数）としたときのxn，ynがC1またはC2上にあることを示せ
0463１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 21:44:10xn-yn√2=(-√2+1)^n
xn^2-2yn^2=(√2+1)^n(-√2+1)^n=(-1)^n
0464１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 21:46:340465１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 21:50:300466１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 21:52:060467１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 21:53:520468１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 22:08:210469１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 22:38:12それもほとんど過去問じゃねーかー！
お前にはオリジナリティはないのかっ
0470MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/01(水) 22:53:07nを自然数とする。a,bを自然数として、a+b√(n^2+1)の形で表される数全ての集合をA[n]とする。
(1) √(n^2+1)が無理数であることを示せ。
(2) A[n]から選んだある数xについて、u,vを任意の自然数としてux+vx^2の形で表される数全体の集合をB[n,x]とする。A[n]の元のうち、B[n,x]に含まれないものの個数が有限個であるとき、xをnを用いて表せ。
0471１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 22:59:22最終解だけじゃん
0472１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 23:14:13u,vも自然数？
0473１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 23:20:54お前の目は節穴か？
0474１３２人目の素数さん
2007/08/01(水) 23:22:100475472
2007/08/01(水) 23:41:32x=p+qα,x^2=r+sαとすると
|ps-qr|=1じゃなきゃ困るから
x=n+α,x^2=2n^2+1+2nαとなるけれど
u,vが自然数だとA[n]の中でa<bの部分が全てB[n,x]に含まれないから
解なしになっちゃうじゃん
とか訳わかんないことを考えてしまったのです。
馬鹿な節穴でごめん…
0476MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/02(木) 11:01:310477１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 11:14:280479１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 11:39:230480１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 11:50:10nは変数なのか
0482アホな学生
2007/08/02(木) 12:30:40入試問題なら自信あるのにここのできないんですけど
0483１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 12:34:47みんなマニア
ここのがスラスラ出来ればどこでも受かるよ
0484１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 12:36:17ちなみにボケかましまくってる増田さんでさえ京大医学部らしいから
0486１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 12:58:55どうすれば数学得意になれますか？
どんな勉強してきましたか？
0487１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 13:05:47これ書いたチンカスは氏んだのか？
久々に回線切って首つって氏ね
といいたくなったな
0488MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/02(木) 13:08:40他教科やらずにひたすら数学のみをやってただけです。現役時は数学以外はどうにもならないくらい馬鹿でしたよ。
0489１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 13:12:15高校の範囲はその時点で超越していたのですか？
0491１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 13:26:060492１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 13:50:03いや、あの手のタイプは自分の間違いを認められんおめでたいやつだからなw
そのうちまた現れるだろ
0493１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 14:44:45U･R･L！U･R･L！
0494１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 14:49:550495１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 15:01:19あり？これなの？
さんくー
0496１３３人目の素数さん
2007/08/02(木) 15:51:490497１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 15:53:460498MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/02(木) 16:12:292次の正方行列Aは逆行列A~をもつ。このとき、A+A~が逆行列をもたないこととA+A~=Oであることは互いに必要かつ十分であることを示せ。
0499１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 16:30:460501１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 16:35:48１次変換を絡めれば受験生には難しく出来るかな
0502１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 19:19:03ロピタルの定理とマクローリン展開って入試で使用できないのか…
教科書から逸脱してるのは知ってたけど
学校の授業でわざわざ演習問題までやらされたくらいだから
普通に使えるのかと思ってた…
ということはRolleの定理もTaylorの定理もCauchyの平均値の定理も使えないのか？
行列の固有値や固有ベクトルも？
0503１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 20:26:01> １次変換を絡めれば受験生には難しく出来るかな
こんな感じか
2次の正方行列Aは逆行列をもち、かつ (A^2)v_0↑=-v_0↑を満たすベクトル v_0↑≠0↑ が存在する。
このとき、任意のベクトル v↑に対し (A^2)v↑=-v↑ が成立することを示せ。
0504１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 20:36:29今さら何を言っているんだ？
夏だからといってボケすぎだろ
0505１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 21:11:41だって授業でわざわざプリント使って
証明して演習して試験にまで出たんだよ？
普通に重要公式だと思うだろうが。
先生も入試では使えないって教えといてくれればいいのに…
ってか高校受験でもヘロンの公式使うヤツとかいるじゃん。
あれと同じように考えてた。
オレは使ってないけどあれもやっぱ減点対象なのかな。
0506１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 21:21:45受験板に帰れ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0507１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 21:26:36ごめんなさい
おとなしくしてます
0508東工大生
2007/08/03(金) 00:36:07オリジナルティーがないのはわかっています
なぜみなさんはこのような問題を作れるのですか？
たくさん問題は解いてきたつもりなんですがオリジナルはいい問題が
作れません
もしよければ作り方を教えてください
0509MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/03(金) 01:18:33a[1]=1 , a[2]=x
a[n]^2-a[n-1]a[n+1]=y(-1)^n
を満たすとき、任意のnについてa[n+1]=a[n]+a[n-1]が成り立つためのx,yがみたすべき必要十分条件を求めよ。
0510１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 01:36:55計算は楽なので京大型かな
0511１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 02:08:450512１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 02:31:540513１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 03:18:15(条件)
a≧bであり、任意の正整数nに対して
各桁の数がaかbでかつ2^nの倍数であるようなn桁の整数が存在する
0514１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 08:48:55平面上にどの3点も同一直線上にない2007個の点がある。
これらの点のうちどのような5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはない。
このとき、これら2007個の点から4点選んでできる凸4角形の総数を求めよ。
↑
こいつ馬鹿だな
小学生でも点が増えれば、凸5角形がかならずできると気づく。
はやく氏ね^^
0515^^は馬鹿のしるし
2007/08/03(金) 08:51:45>5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはないから
ありえない
443 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 23:14:50
>>441
馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾
0516MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/03(金) 17:30:22a[1]=1
a[n+1] = lim[c→+0] ∫[c,a[n]] x^x dx
(1) lim[n→∞]a[n]=0を示せ。
(2) lim[n→∞]a[n+1]/a[n]を求めよ。
0517１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 18:55:080518１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 18:59:18おまえが問題出すか？
>>516
あまり高校生向けと思えない
0519１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 19:05:340520１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 19:08:19>>519
ならお前はMASUDAよりもいい問題をいっぱい出せるというのか
0522１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 19:19:030523１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 19:23:25批判をする人はせめて同じレスに何か問題を出すか、解答をしてください。
0524１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 19:24:080525１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 19:25:170526MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/03(金) 20:16:04>>518
やはりこれは無理がありましたか
>>521
慶応…まあ確かに言われてみればそうかもしれませんね。
0527１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 20:54:13どうぞどうぞ
0528１３２人目の素数さん
2007/08/03(金) 23:58:03でもそれで吹っ切れてしまって、それからは使用済みオナホを洗面台に放っておけば、
親がきれいに洗って干しといてくれるから楽でいいわ。
0529１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 00:24:130530１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 00:34:040531１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 00:39:200532１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 00:44:260533MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/04(土) 01:41:581000!!を3^nが割り切るとき、整数nの最大値を求めよ。
(x!!は1個とばしの積です)
0534１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 01:53:241000!!だと単に500!について考えればよくなっちゃうから
奇数、たとえば2007!!とかのほうがよいのでは？
0535１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 02:08:35愛用オナホは？
0536１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 11:38:04平面上にどの3点も同一直線上にない2007個の点がある。
これらの点のうちどのような5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはない。
このとき、これら2007個の点から4点選んでできる凸4角形の総数を求めよ。
>>441 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 22:46:11
>5点を選んでもそれらが凸5角形を作ることはないから
ありえない
>>443 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 23:14:50
>>441
馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾
0537１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 11:39:37>>443
平面上にどの3点も同一直線上にないn個の点があるとする。このとき、
(1)n≧3ならば、それらn個の点の中で、凸三角形を作る3点が存在する(どの3点でもよい)。
(2)n≧5ならば、それらn個の点の中で、凸四角形を作る4点が存在する(これはうまく選ぶ必要あり)。
(3)n≧9ならば、それらn個の点の中で、凸五角形を作る5点が存在する(これもうまく選ぶ必要あり)。
が成り立つ。よって、>>433はありえない。馬鹿は書き込まなくていいよ＾＾
0538１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 11:41:10生きてて恥ずかしくないの？ 「^^君」
0539１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 11:57:04俺は^^じゃないけど、あんたもしつこいね～w
^^が言ってた定理は俺はよく知らんけど、あんたは定理を否定するのかい？
0540MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/04(土) 15:55:52S = Σ[k=1,n] a[k]
T = Σ[k=1,n](a[k])^2
とする。このとき、3つの項の積a[i]a[j]a[m](1≦i＜j＜m≦n)の総和をS,Tを用いて表せ。
0541１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 17:00:20(2)解なし
0542１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 18:10:590543１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 20:12:080544１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 20:21:20合格した人間の半分はそう思っているよ。何べん受けても合格すると思う。
05451stVirtue ◆.NHnubyYck
2007/08/04(土) 20:46:120546１３２人目の素数さん
2007/08/04(土) 21:54:340547１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 01:24:590≦b
0548１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 01:49:12なんかうまい方法がありそうだが、実際の試験だったら
1の個数をx個、2の個数をy個としてx=2S-T,2y=T-Sを導いて
x(x-1)(x-2)/6+x(x-1)y+2xy(y-1)+4y(y-1)(y-2)/3
の整理で答案を15分くらいで仕上げることになりそう
0549１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 01:54:40(1)f(x)＝x^x (x＞0) , 1 (x＝0)とおくと、fは閉区間[0,1]上の連続関数となる。
さらに、[0,1]上で0＜f(x)≦1であり、f(x)＝1となるx∈[0,1]はx＝0,1に限る。
そして、a[n＋1]＝∫[0,a[n]]f(x)dx と表せる。よって特に、数列a[n]は非負な
単調減少数列となるので、極限値αが存在し、α＝inf{a[n]｜n∈N}(≧0)と表せる。
よって、α＝0を示せばよい。もしα＞0だとすると、a[n]≧α (∀n)が成り立つ。特に
a[n＋1]＝∫[0,α]f(x)dx＋∫[α,a[n]]f(x)dx≦∫[0,α]f(x)dx＋∫[α,a[n]]1dx＝∫[0,α]f(x)dx＋a[n]－α (∀n)
となり、
a[n]≦(∫[0,α]f(x)dx－α)(n－1)＋a[1] (∀n) …＊
となる。ここで、
∫[0,α]f(x)dx－α≦∫[0,α]1dx－α＝0 …＊＊
であるが、fが連続であること、及び、f(x)＝1となるx∈[0,1]はx＝0,1に限られること
から、＊＊において等号は成り立たない。すなわち∫[0,α]f(x)dx－α＜0となる。よって、
＊の式でnを十分大きくとれば、a[n]＜0となってしまう。これはa[n]≧α (∀n)に矛盾。
よってα＝0である。
(2)f(x)はx＝0で連続であるから、lim[x↓0](1/x)∫[0,x]f(t)dt＝f(0)＝1 が成り立つ。
これとlim[n→∞]a[n]＝0から、lim[n→∞]](1/a[n])∫[0,a[n]]f(t)dt＝1 となる。
すなわちlim[n→∞]]a[n＋1]/a[n]＝1となる。
(1)はε－δ論法を使っているので、高校の範囲を超えている。(2)の解答も、リーマン積分
までの知識がない人は書いては いけない解答。
いずれも、技巧を凝らせば高校の範囲内で収まる解答が作れるかもしれないが、そうなると
もはや悪問。
0550１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 02:06:230551１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 02:27:340552１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 02:55:000553MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/05(日) 03:17:51まあそうなんですが、x,yで表してからS,Tに直すよりは最初からS,Tで表しにいった方が楽です。
>>549
一応高校範囲で解くやり方はあります。ちなみに昔、名古屋大でこれのもっとえぐいやつがでてました。大数はD#としてましたけどね
0554１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 03:28:24> ちなみに昔、名古屋大でこれのもっとえぐいやつがでてました。大数はD#としてましたけどね
もっと詳しく！
0555MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/05(日) 03:38:02あんまり詳しくは覚えてませんが、積分する関数がf(x)と一般化されていて、なおかつa[n]がある値より小さくなることを示させてました
0556１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 03:44:12http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/02/n01-23p/4.html
0557１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 08:53:27では私もペルにあやかって。京大を意識した問題ですが。
nを自然数とする。a,bを自然数として、a+b√(n^2+1)の形で表される数全ての集合をA[n]とする。
(1) √(n^2+1)が無理数であることを示せ。
(2) A[n]から選んだある数xについて、u,vを任意の自然数としてux+vx^2の形で表される数全体の集合をB[n,x]とする。A[n]の元のうち、B[n,x]に含まれないものの個数が有限個であるとき、xをnを用いて表せ。
>>475
>>541
で(2)は解なしとなっているがMASUDAさんの解答はどうなんでしょうか
また>>207は0≦bと1/2≦bの二説がありますがMASUDAさんの解答はどうなんでしょうか
0558１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 08:55:210559１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 10:41:00y=-1.
1,0,1,1,2,3,5,....
1,0,1,2,5,12,29,....
0560１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 10:43:00a+x=4m.
3a+x=10n.
x=6m-5n.
0561１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 10:47:301=a^2-n^2=(a-n)(a+n)
x=a+b√(n^2+1)
ux+vx^2=ua+v((n^2+1)b^2+a^2)+(2abv+u)(n^2+1)^.5
0562Zzz…
2007/08/05(日) 10:54:14ふふふ、みなが注目しない問題を…
1000!!を、Π[k=1,500](2k-1) だとすると、
奇数列{3,5,…,999}に現れる3の因数を数えたものが答え。
その数え上げには、注意が必要
奇数列{3,5,…,999}に含まれる3の倍数は、
1000に含まれる3の倍数の個数から6の倍数を除いたもの
[1000/3]-[1000/6]=167
以下同様に議論？を進めると
[334/3]-[334/6]=56
[112/3]-[112/6]=19
[38/3]-[38/6]=6
[12/3]-[12/6]=2
[4/3]-[4/6]=1
167+56+19+6+2+1=250
よって3^250
0564MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/05(日) 13:36:37Oh,思いっきり条件足りてなかったです、申し訳ない。u,vを『u+v≧1をみたす整数』とすべきでしたね。もしくは、『u,vを整数』としてB⊂Aを示させた方がよかったかもです。
もう一個の問題はb≧1/2が正解です。
>>558
正解です
0565１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 15:09:560566１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 15:33:22x≠0という条件をつけ忘れたんだろうと
>>564
『u+v≧1をみたす整数』として解答を書いていただけませんか
0567１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 15:45:06S = Σ[k=1,n] a[k],
T = Σ[k=1,n] (a[k])^2,
U = Σ[k=1,n] (a[k])^3,
のとき
Σ[k=1,n] a[k] = S,
Σ[1≦i<j≦n] a[i]*a[j] = (S^2 -T)/2!,
Σ[1≦i<j<k≦n] a[i]*a[j]*a[k] = (S^3 -3ST +2U)/3!,
0568１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 15:49:10x=a+b√(n^2+1)の自然数a,bは
a(a^2-a-b^2)/b^2≦n^2<(a^2-b^2)/b^2をみたすと思うんですが
これからどうやってa,bを決定できるのでしょうか
0569１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 15:53:110570１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 16:39:56ミス大杉
0571１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 17:17:500572MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/05(日) 17:31:30それは自分でも思います(苦笑)まあ免許だけもっててもいいことあるんですよ。医師免が役にたつ仕事は医療だけじゃないので。
>>566,>>568
ミスりすぎです、私orz。xとx^2のベクトルの向きを勘違いしてました。u,vを整数にしてAの元が全てBに含まれることを証明することにしといた方がいいようですな。
0573１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 17:51:35ちょwww
ミス多いね、MASUDAさんww
まあ>>536-538の馬鹿よりはマシだが
0574１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 20:51:36技巧を凝らしますた。
背理法による。 inf{a[n]} = α>0 と仮定すると、n≧2 のとき
α≦ a[n] ≦ a[2] ⇒ f(a[n]) ≦ max{f(α), f(a[2])} = M <1 (a[2]=0.78343…)
補題↓より f(x)は下に凸だから、n≧2 のとき
a[n+1] ≦ a[n]･{1 + f(a[n])}/2 ≦ a[n]･(1+M)/2, (台形と比較)
a[n] ≦ a[2]･{(1+M)/2}^(n-2) → 0 (n→∞)
これは α>0 に矛盾する。 (終)
〔補題〕
f(x) = exp(g(x)), g"(x) >0 のとき f(x) は下に凸。
(略証) f "(x) = {[g'(x)]^2 + g"(x)} f(x) ≧0.
本問では g(x) = x･log(x), g'(x) = 1 + log(x), g"(x) = 1/x >0 より成立,
0575１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 21:11:050576576
2007/08/05(日) 22:16:030577１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 22:25:25inf 使ったら技巧を凝らした意味が無い。
0578MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/05(日) 23:01:46(1) S[1]+S[2]+…+S[8]を求めよ。
(2) mを整数とする。どのように並べても、S[1],S[2],…,S[8]のうちm以上となるものが必ず少なくとも1つ存在するようなmの最大値を求めよ。
0579１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 23:08:330580１３２人目の素数さん
2007/08/05(日) 23:10:23開陳したいだけ
0581１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 00:05:21m≦15 …かなぁ？
てかこの問題、論証が大変だわ
0582１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 00:07:46(1)１～８が三回ずつ足されるから108
(2)最大値が15であることをしめす。まず1,6,3,4,7,2,5,8とすることで最大値が15にできるのでm≦16
次に全て14以下であったとする。S[k]=14なるkが5つ以上あると、ある連続する『隣接三項の和』が
ともに14となり、この四項の両端の数が等しくなる。
kが3つ以下だと和が108にならない。
kが4つだと、残りの4つの値が全て13となるが、このとき45454545と並んでることになり。
どれも不適なのmの最大値は15。
0583１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 00:10:290584Zzz…
2007/08/06(月) 00:11:52(1)隣接する3つなら…
三つの1+2+…+8をひとつずつスライドして足すだけなので36*3=108？
(2)6,7,8,5から最大のものは6+7+8=21…
次に大きいのが5+7+8=20したがってm=20？
,6,7,8,5
,6,7,8,5
,6,7,8,5
？？？
0585Zzz…
2007/08/06(月) 00:14:37ボケてた
0586574
2007/08/06(月) 00:49:57数列a[n]は非負な単調減少数列になるので、(>549) 発散しない。
そこで極限値をαとおきますた。
高校数学では許され…
0587１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 01:51:21普通に通じるのだが。オマエらが(2)みたいな言い回しに慣れてないだけだろ。
0588１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 02:03:340589１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 02:23:12微細をみていないなら何の問題も無く通じるだろ
0590１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 02:23:490591MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/06(月) 15:51:03{f(x)}^2 + {g(x)}^2 = {h(x)}^2
h(x)=0が実数解をもつとき、f(x),g(x),h(x)全てを割り切る適当な2次の整式p(x)が存在することを示せ。
0592１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 17:17:010593MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/06(月) 18:04:490594１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 18:17:00A(x)=ax+b、B(x)=cx+dとして
f(x)=A^2-B^2
g(x)=2AB
h(x)=A^2+B^2
ってやるのは反則だよなぁ
0595１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 18:38:410596１３２人目の素数さん
2007/08/06(月) 21:01:45h(x)が異なる二つの実数α,βを解に持つとき、絶対不等式から
f(x)もg(x)もα,βを解に持ちp(x)=(x-α)(x-β)となる
h(x)がx=αで重解を持つとき、同様にf(x),g(x)はx=αを解に持ち
f(x)=(x-α)a(x),g(x)=(x-α)b(x) なる一次関数a(x),b(x)が存在する。このとき
(x-α)^2×[(x-α)^2-{a(x)}^2-{b(x)}^2]=0 が恒等的に成り立つ。よって
(x-α)^2-{a(x)}^2-{b(x)}^2=0 が成り立ち、絶対不等式からa(x),b(x)はx=αを解に持つ
よってp(x)=(x-α)^2とできる。以上から題意が示された
一般の次元について数学的帰納法で示せるっぽいが、うまいこと微分とかしたら楽に示せるかも？
0597１３２人目の素数さん
2007/08/07(火) 10:34:42重解じゃないときの場合分けがないお
0598１３２人目の素数さん
2007/08/07(火) 10:57:280599β ◆aelgVCJ1hU
2007/08/07(火) 11:04:01一番最初にあるだろ
0600MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/07(火) 15:24:30(1) a[p]=a[p+q]=a[p+2q]を満たす自然数の組(p,q)が必ず存在することを示せ。
(2) ある自然数の組(k,m)(m≧3)を選ぶことにより、m個の項a[k],a[k+1],a[k+2],…,a[k+m]を取り出す。この中にa[p]=a[p+q]=a[p+2q]を満たす自然数の組(p,q)(k≦p,p+2q≦k+m)が存在しないならば、m≦8であることを示せ。
0601１３２人目の素数さん
2007/08/08(水) 01:03:04'o' と次の 'o' の間の 'x' の個数をその｢間隔」と呼ぶ。（'o'と'x'が逆でも同様)
(1) 3以上の間隔を含むとき,
'x'が3以上続くので m≧5 で成立する (例 oXXXo) q=1
(2) 同じ間隔が2回続くとき
m≧7 で成立する。(例 OxxOxxO) q=3
(3) 2つの間隔が交互に来るとき
m≧9 で成立する。(例 oxXoXoXxo, oxoxXoXoX) q=2
(4) 間隔0,1,2 を含むとき
(2,1,0) のとき oXxoXooX, m≧8 で成立, q=3。
(1,2,0) のとき oXoxXooX, m≧8 で成立, q=3。
(1,0,2) のとき OxoOxxO, m≧7 で成立, q=3。
よって m≧9 で成立する。
0602１３２人目の素数さん
2007/08/08(水) 01:06:00>0と1のみからなる、項数が有限でない数列{a[n]}(n=1,2,…)
たとえば、0,1,1,1,1,1,…
とかは許されるのだろうか？
0603１３２人目の素数さん
2007/08/08(水) 01:11:400604１３２人目の素数さん
2007/08/08(水) 03:31:000605１３２人目の素数さん
2007/08/08(水) 04:26:27塾講師だけ
0606１３２人目の素数さん
2007/08/08(水) 06:53:050607１３２人目の素数さん
2007/08/09(木) 03:47:57f(0)=0、f(1)=1、f''(x)>0
0<x<1において0<f(x)<1
また
f_{1}(x)=f(x)
f_{n+1}(x)=f(f_{n}(x)) (n=1,2,3,・・・)
で関数f_{n}(x)を定める。
任意の自然数m,n(m>n)に対して
∫[0,1]f(x) f_{m} '(x) dx >∫[0,1]f(x)f_{n} '(x)dx
が成り立つことを示せ。
0608MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/09(木) 16:34:43x≦y≦z, x+y+z=n
を満たす3つの自然数x,y,zの組(x,y,z)の集合をA[n]とする。A[n]の任意の異なる2要素(a,b,c),(p,q,r)についても以下の条件が成り立つような最大のnを求めよ。
条件『「a＜p」または「a=pかつb＜q」ならばabc＜pqrである』
0609１３２人目の素数さん
2007/08/09(木) 18:03:420610１３２人目の素数さん
2007/08/09(木) 18:28:32いや、いるだろ
0611１３２人目の素数さん
2007/08/09(木) 18:33:000612１３２人目の素数さん
2007/08/11(土) 19:45:23n=12
0613１３２人目の素数さん
2007/08/12(日) 18:47:34＞ xについての2次の実数係数多項式f(x),g(x),h(x)が以下の等式を満たしている。
＞ {f(x)}^2 + {g(x)}^2 = {h(x)}^2
＞ h(x)=0が実数解をもつとき、f(x),g(x),h(x)全てを割り切る適当な2次の整式p(x)が存在することを示せ。
0614１３２人目の素数さん
2007/08/13(月) 08:39:11h=0->gcd(f,g,h)=p
h=0->h^=0->f=g=0
0615１３２人目の素数さん
2007/08/13(月) 18:37:19軸にして正四面体を回転させたときの体積を求めよ。
0616１３２人目の素数さん
2007/08/13(月) 20:10:48それ、MASUDA氏のサイトにある問題じゃん
0617１３２人目の素数さん
2007/08/13(月) 20:48:01MASUDA氏のは重心じゃねえだろ。
0618１３２人目の素数さん
2007/08/13(月) 21:08:26MASUDA氏のサイトって、どこですか？
0619１３２人目の素数さん
2007/08/13(月) 21:41:33すれ内のどこかにある
0620619
2007/08/13(月) 22:51:370621１３２人目の素数さん
2007/08/13(月) 22:53:070622MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/13(月) 23:12:540623１３２人目の素数さん
2007/08/14(火) 00:19:48あなたのサイトってどこですか？
0624１３２人目の素数さん
2007/08/14(火) 00:25:14正4面体の頂点は、立方体の頂点を1つおきに取ったものだから
(c,c,c), (c,-c,-c), (-c,c,-c), (-c,-c,c), c=1/√8,
とおいて、3軸の1つの周りに回転する。
z軸を回転軸とすると、z軸に垂直な断面は長方形で、辺が (c±z)/√2,
長方形の頂点と回転軸の距離は r(z) = (1/2)√(c^2 +z^2), (← 一葉双曲面)
V = π∫[-c,c] r(z)^2 dz = (π/2)∫[0,c] (c^2 +z^2)dz = (2π/3)c^3 = (π/48)√2.
0625１３２人目の素数さん
2007/08/14(火) 00:58:22これじゃないのか？
0626１３２人目の素数さん
2007/08/14(火) 11:02:50ここがkingのハウスね…
0627１３２人目の素数さん
2007/08/14(火) 11:08:34問題集を出版してくれ！
0628１３２人目の素数さん
2007/08/14(火) 12:01:32kingは東京理科大
MASUDAは京大医学部
0629１３２人目の素数さん
2007/08/14(火) 23:50:03内部も含めた場合の通過部分なら、積分を使わず14／81πかな
ちなみに表面が通過する部分の体積だと難しい
38π／243－122√2π／6561
になった。軸から飛び出た部分の処理とか、僅かに現れる隙間が大変
>>622の問題も「内部を含めた場合」の通過部分と「表面」の通過部分で
答えが違ってくるね
0630MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/14(火) 23:55:460631１３２人目の素数さん
2007/08/15(水) 00:12:04表面ならその半分なようです。
いずれにせよ、数Ⅱ範囲の積分で足りますね
0632624
2007/08/15(水) 16:21:12長方形の長辺と回転軸の距離は r(z)' = (c-|z|)/√8, (←円錐面)
V'= π∫[-c,c] {r(z)^2 - r(z)'^2}dz
= (π/4)∫[-c,c] (1/2)(c+|z|)^2 dz
= (π/2)∫[0,c] (1/2)(c+z)^2 dz
= (π/2)(7/6)c^3
= (2π/3)c^3 × (7/8)
= (π/48)√2 × (7/8).
0633624
2007/08/15(水) 16:28:16V - V' = 2*(1/3)*c*(c/√8)^2 = (π/12)c^3 = V/8.
0634１３２人目の素数さん
2007/08/16(木) 06:13:083辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をrとする．
このとき，不等式
(a + b + c)/r ≧6√3
が成り立つことを示せ．
0635Zzz…
2007/08/16(木) 12:06:163辺a, b, cから円の中心へ向けて垂線を引いて出来る角を
それぞれα,β,γとする。円の半径rを1すると、
a + b + c = 2(tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2))
α + β + γ = 2π
AとBが(0, π)の範囲にあるとき、
n tan θ ≦ tan nθであることより、
α = β = γ、すなわち正三角形のとき、
a + b + c は最小となり等式が成り立つ。
自信はありません…
0636Zzz…
2007/08/16(木) 12:07:40>>634
3辺a, b, cから円の中心へ向けて垂線を引いて出来る角を
それぞれα,β,γとする。円の半径rを1すると、
a + b + c = 2(tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2))
α + β + γ = 2π
θが(0, π)の範囲にあるとき、
n tan θ ≦ tan nθであることより、
α = β = γ、すなわち正三角形のとき、
a + b + c は最小となり等式が成り立つ。
自信はありません…
0637１３２人目の素数さん
2007/08/16(木) 14:48:44略解
Ｓ=sr=√s(s-a)(s-b)(s-c) からr を消去して不等式に代入して
相加相乗平均を３乗して分母分子をひっくり返した式 1/pqr≦27/(p+q+r)^3 を用いると出る。等号は正三角形
0638１３２人目の素数さん
2007/08/16(木) 15:30:29外接円の半径をＲとすると正弦定理とsin の上に凸性より
(a+b+c)/R=2(sinA+sinB+sinC)≦2*3*sin{(A+B+C)/3}=3√3
6√3≦(a + b + c)/r≦3√3 R/r よって２≦R/r となり京大の問題が証明できるね。
(a + b + c)/2pi*r ≧6√3/2pi=1.6539...
(a+b+c)/2pi*R≦3√3/2pi=0.8269...
三角形の円周は内接円の円周の1.6539..倍以上で外接円の円周の0.8269..倍以下か。。
0639１３２人目の素数さん
2007/08/16(木) 22:36:010640MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/17(金) 11:51:37(1) rの最小値をcとするとき，r/cは整数であることを示せ．
(2) g(x)は0≦x≦cにおいて微分可能な関数とする．p,qを
p=∫[0,c]|f(x)|dx
q=∫[0,c]g(x)dx
と定めるとき，
lim[n→∞]∫[0,c]|f(nx)|g(x)dxをp,q,cを用いて表せ．
0641MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/17(金) 12:32:140642１３２人目の素数さん
2007/08/17(金) 22:54:02aを固定して楕円を考えると、ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
おなじようにｂを固定するとａ＝ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
ａ＋ｂ＋ｃは一定なので、正三角形のとき左辺は最小になる。
ｔａｎ６０をつかってr=3^.5/6
3/3^.5/6＝６*3^.5
中学２年？
0643１３２人目の素数さん
2007/08/17(金) 23:26:32の接点をP、Q、Rとする。
さらに∠BIP＝α、∠CIQ＝β、∠AIR=γとすれば
BC＋CA＋AB＝2r(tanα＋tanβ＋tanγ)
ここでα、β、γが正の鋭角でα＋β＋γ＝πであること
およびy=tanxの凸性より、
tanα＋tanβ＋tanγ≧3tan(π/3)=3√3
つまりa+b+c≧6√3
0644１３２人目の素数さん
2007/08/17(金) 23:47:45(1) 任意の整数kに対し、f(x+kc)=f(x)が成り立つ。ここで
r=kc+p (0<p<c、k∈Z)が任意のxに対してf(x+r)=f(x)を
満たすなら、f(x+kc+p)=f((x+p)+kc))=f(x+p)=f(x)が
任意のxで成り立つ。これはpがf(x)の周期であることを表し、
cがf(x)の基本周期であることに反する。
(2) kを1以上n以下の整数とする。u=(k-1)c/n、v=kc/nとする。
u≦x≦vにおけるg(x)の最大値をM、最小値をmとすると
pm*(c/n)≦∫[u,v]|f(nx)|g(x)dx≦Mp*(c/n)
これのk=1～nの和を取る。さらにg(x)の微分可能性から、
lim[n→∞]M=lim[n→∞]mであることに注意して、
区分求積なり挟み撃ちなりを使うと、求める極限値はpqc
となりそう。
f(x)=sin(x)、g(x)=x^p などというタイプは頻出だけれども、
g(x)が単調関数でないので、挟み撃ちするのにゴニョゴニョ
した計算が必要。紙にやりたいw
0645１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 00:02:12p+q+r+s=n
を満たす0以上の整数p、q、r、sの組み合わせの全てについて、
1/((p!)*(q!)*(r!)*(s!)*(2^p)*(3^q)*(9^r)*(18^s))
の和を取ったものをT(n)とする。
無限級数T(0)+T(1)+T(2)+T(3)+・・・を求めよ。
0646１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 00:08:06それって「最大値が存在する」ということを前提として解いているため駄目と前に駿台の雲先生に言われたことあるな。
そのときは半径一定の円に内接する三角形の面積の面積を最大にせよという問題だったが。
0647１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 00:19:470648１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 00:20:48楕円の中の三角形のなかの円の直径は高々楕円状の点までの高さだよ。
カウント問題以外はごくありふれた幾何学で解けてしまう。
0649１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 00:23:590650１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 00:28:340652１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 00:34:13＞楕円の中の三角形のなかの円の直径は高々楕円状の点までの高さだよ。
いや、そりゃそうだけどさ
>>642の
一行目＞aを固定して楕円を考えると、ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
これはaを固定した上で最大でしょう。
二行目＞おなじようにｂを固定するとａ＝ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
「bを固定してa,cをa+cが一定となるように動かしたときa=cのときrが最大となる」と解釈したがこのときのbは一行目のb=cという関係は崩れているのではないか？
>>650
あー、半径1だったと思うが忘れたので。
0653１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 01:03:030654１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 01:11:17|n^-1∫g(x/n)e^i2pix/rdx| ０－＞nc
|n^-1g(w)∫e^i2pix/rdx| 0->nc
|g(w)∫e^i2pix/rdx| 0->c
|g(w)p|
0655１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 01:25:48無限回、楕円を書いて、二等辺三角形にする操作を繰り返します。
バウンデッドセットなので。
でも、幾何学的にはオールモストトリビアに自明だよ。
0656１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 02:16:430点くれる教授がたまにいる。どこまでが既出とみるか、でも、すべてが選択公理
に帰結してくるので、どーでもいいことなのだけど。
数学事典を読めと添え書きしておくのもいい。
0657１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 02:19:09そんな教授の作る問題は、定義だけで1000ページくらい
あるんだろうね。問題取り掛かる前に時間終わっちゃうよね。
そりゃ0点だよね。
0658１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 02:25:00図形的に正三角形になることは見当がつけやすいですね。
「Zorn's Lemmaによりａ＝ｂ＝ｃに収束します。」
はよくわかりませんがググって調べます。
0659１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 09:09:31だからそれ高校範囲じゃないってば
0660MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/18(土) 13:03:470661１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 13:35:05益田さんてそういうこと書かないよね。
方程式にはいつも実数係数とか書いてるくせに、後半でまた実数aとか繰り返してるし。
0662１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 13:49:40虚数にしたらいきなり確定されたけどな
0663MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/18(土) 14:02:300664１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 14:08:43お前がすでに罠にはまってる
0665１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 14:54:530667１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 15:11:150668１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 15:38:510670１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 17:43:23a＝‐1/4だと条件｢異なる２解｣
を満たさなくないか？
0671MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/18(土) 19:01:07「異なる2解」は満たしますよ。
a=-1/4のとき
t=1/2, b=-1/8
at+b=-1/4
となり、t≠at+bであり、重解ではありません。重解となるのはt=0,-1のときです。
0672１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 19:12:300673１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 19:51:32そっか！どうもです。
0674１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 19:57:303辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…,
が成り立つことを示せ.
等号は正3角形のとき,
直角3角形のとき 左辺は2.
一松の問題と呼ぼう。(数セミ, 2007/09)
0675１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 21:02:23(S-4R)/r≦ 6√3 -8
面積が等しいでｆ（S,r,R)=0を作って微分するとか？
0676676
2007/08/18(土) 21:39:580677１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 22:41:59しようと思ったけどﾏﾝﾄﾞｸｾ。簡単にならないかな
0678１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 22:49:13r=2S(a+b+c)=2RsinAsinBsinc/sinA+sinB+sinC
与式=2R(sinA+sinB+sinC-2)/(2RsinAsinBsinc/sinA+sinB+sinC)
=(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB+sinC-2)/(SinAsinBsinC)
A+B+C=π
ここまでやった。後は知らん
0679１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 22:54:050680１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 00:16:202R(sina/2+sinb/2+sinc/2)=S=2A/r
(sina/2+sinb/2+sinc/2)/A=R/r
A=1
(sina/2+sinb/2+sinc/2)=R/r=p
0681１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 00:34:36(S-4R)/r≦ 6√3 -8
f=2/r^2-4(sina/2+sinb/2+sinc/2)
0682１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 01:48:592 5 6 15
4 8 7 20
1 〇 3 16
〇に入る数字は？
0683１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 02:05:18〇＝７
0684１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 09:28:28R=2r
(S-4R)/r=(S-8r)/r=S/r-8
S=3->r=3^.5/6
6*3^.5-8
Sを固定して、Rを与えると、cに対して、ｄ＝S-cの楕円とRの円との
交点がｒを与える。S-4R>0で最小のｒはS=2cでr=0。
でも２ｃ＞４Rだからｃ＞２Rが上限
0685１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 09:36:570686１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 10:30:42範囲外だ馬鹿者
0687MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/19(日) 16:21:030688Zzz…
2007/08/19(日) 19:48:21μβ,βをk sinμβ=sinβ,
0＜μβ＜β＜π/2をみたすように定めるとき，
β/μβはβの増加関数であることを示せ．
と云ってるように思えます。
0689１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 19:52:26そう言いかえたとこであまり意味ないと思うが
0690１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 20:05:310691１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 20:38:14a=arcsink^-1sinb
u=b/a=barcsin^-1k^-1sinb
du
0692１３２人目の素数さん
2007/08/19(日) 21:04:18S-4R=a
Sr/2=3^.5/4(S/3)^2
r=(3^.5/8*9)S
(S-4R)/r=(a/(4R+a))(3^.5/8*9)^-1
0693１３２人目の素数さん
2007/08/20(月) 02:14:02ｒ＝２／Ｓ
（Ｓ－４Ｒ）／ｒ＝Ｓ（Ｓ－４Ｒ）／２
Ｓ＝CONST
ｍｉｎＲ＝正三角形
0694１３２人目の素数さん
2007/08/20(月) 20:35:31α=tan(45ﾟ+A/2),β=tan(45ﾟ+B/2),γ=tan(45ﾟ+C/2)
x=a/(b+c-a),y=b/(c+a-b),z=c/(a+b-c) とすると
1/x+1/y+1/z=1
1/α+1/β+1/γ≧6-3√3 がいえる。問題の不等式は変形すると
x/(β+γ)+y/(γ+α)+z/(α+β)≧12-6√3
を示せばよいことになる。ここら辺から示せそう
0695MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/21(火) 14:07:420696１３２人目の素数さん
2007/08/21(火) 23:04:490697１３２人目の素数さん
2007/08/22(水) 00:49:37この4角形内に点Oがあり，Oを通るどの直線によっても4角形の面積が2等分されるという.
この時，4角形ABCDは平行4辺形であり，Oは2つの対角線の交点であることを証明せよ
0698１３２人目の素数さん
2007/08/22(水) 02:38:220699１３２人目の素数さん
2007/08/22(水) 02:40:44△ABP+△CDPが一定となる点Pの軌跡
△BCQ+△ADQが一定となる点Qの軌跡
0700MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/22(水) 03:05:03あまりない形なのでこの問題見せたらみんな「間違えてない？」と言いますが、間違いはないですよ。数値をよく考えたら分かります。
0701１３２人目の素数さん
2007/08/22(水) 04:21:02試験つくるとしたらどんな問題出しますか？
5^50(1.2^50)＜5^50(1+1.4^50)＜5^50(1.5^51)かなぁ？
0702１３２人目の素数さん
2007/08/22(水) 06:40:077^2 = 49,
20√6 = √(48*50) < 7^2 < 50 = (10^2) /2,
1.6901 < 2*log(7) < 1.6990
これを 35 倍すると
59.153 < 70*log(7) < 59.465
また
log(5) = log(10/2) = 1 - log(2) = 0.6990
これを70倍すると
70*log(5) = 48.928,
0703MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/22(水) 09:00:59御名答。5^n+7^nではnが大きくなれば7^nの桁数しか問題になりません。ただ、7^n＜999…9900…00であることを示しておく必要ありますけどね。
>>701
こういう問題でしょうか。
a,bは実数とする．xについての関数f(x),g(x)をf(x)=x^2-1,g(x)=|ax+b|と定める．
(1) f(x)=g(x)の実数解の個数を求めよ．
(2) f(x)=g(x)の全ての実数解の総和が0となるとき，(a,b)の範囲を図示せよ．
0704１３２人目の素数さん
2007/08/22(水) 11:31:26>>703
完敗しますた…なるほど、5^70は無視できるのか…良問ですな
0705１３２人目の素数さん
2007/08/22(水) 13:26:32数学やってる奴なら見た瞬間に気付くだろ
0706１３２人目の素数さん
2007/08/22(水) 13:46:44受験生はなかなか気づかんだろ
0707１３２人目の素数さん
2007/08/22(水) 19:55:150708１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 00:14:00何回比較が必要か？
その回数で可能であること、及び、その回数未満では不可能なこと
これらを十分な論拠を持って示せ。
0709１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 02:21:460710１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 03:48:27・ad=bc
・a<b<c<d
なる自然数a,b,c,dは存在しないことを示せ。
0711１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 03:49:092つの連続する平方数の間に
・ad=bc
・a<b<c<d
なる自然数a,b,c,dは存在しないことを示せ。
0713１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 03:57:36今まで出した問題においてです
実際受験生の半分くらいは解けるんですかね？
0714MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/24(金) 08:34:550715１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 09:05:22少なくともd≧2b＞2a+1
もし
n^2＜a＜d＜(n+1)^2
であれば
2n^2+1＜d＜2(n+1)^2
2n^2+2＜(n+1)^2
∴(n-1)^2＜0
よって矛盾
0716１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 18:00:00b=8.
c=9.
d=12.
0717MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/24(金) 18:38:55(2) kを正の整数とする．2数6k-1,6k+1がいずれも合成数となるようなkは無数に存在することを示せ．
0718１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 21:26:30bが4以上の偶数だと、a^b-1がa^2-1で割り切れ、a^b-1>a^2-1>3よりa^b-1は素数でない。よってb=2
a^2-1=(a-1)(a+1)でこれが素数なので、a-1=1すなわちa=2。これはaが偶数であること、a^2-1,a^2+1が共に素数であることを満たし、条件に合致する。
よって(a,b)=(2,2)
(2)(1)を無視すると、k=35m+1(mは正整数)のとき、6k-1は5の倍数、6k+1は7の倍数となり、共に素数でないのは明らか。
よって条件を満たすkは無限に存在する。
0719１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 22:00:19こいつらは受験生の域を超えた問題を出しまくってる
0720１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 22:17:550721１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 22:29:35お前のレベルが低いだけだろ。たいがいCレベルだぞw
0722１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 23:51:260723１３２人目の素数さん
2007/08/24(金) 23:56:530724１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 00:52:0200001
0725１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 01:30:161/a + 1/b + 1/c ≧ √3/R
が成り立つことを示せ．また，等号の成立条件を求めよ．
0726725
2007/08/25(土) 01:36:11関数f(x) = cos(x) cos(2x) cos(3x)の取りうる値の範囲を求めよ．
0727１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 01:36:120728１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 01:39:37最小値わからん
0730１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 02:21:58僕も答えが一致しました
2倍角・3倍角で展開→微分という方針
0731MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/25(土) 02:44:16A+Eの行列式をx，
A-Eの行列式をy，
A^2+A+Eの行列式をz，
と定める．1≦z≦2であるとき，x,y,zを座標とする点(x,y,z)の存在領域の体積を求めよ．
0732１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 06:04:52とりあえず京大の素数の問題は10本の指に入ると思うんだが
0733１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 06:26:370734１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 06:33:250735１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 09:33:44f：R→(0,＋∞)は連続とする。任意のx∈Rに対して、
a[0]＝x , a[n＋1]＝a[n]＋f(a[n]) (n＝0,1,2,…)で
定義される数列{a[n]}は発散することを示せ。
0736１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 10:05:27〔補題〕
s(x)>0, s(x) が上に凸 ⇒ 1/s(x) は下に凸。
(略証)
{1/s(x)}' = - s'(x)/s(x)^2,
{1/s(x)}" = {2s'(x)^2 - s(x)s"(x)}/s(x)^3,
s(x)>0, s"(x) <0 ⇒ {1/s(x)}" >0,
あとは凸不等式で
>726
cos(2x) =z とおく。-1≦z≦1,
cos(x)cos(3x) = (1/2){cos(4x) + z} = z^2 +z/2 -1/2 = (z+1)(z -1/2),
f(x) = z(z+1)(z -1/2) = g(z),
g(z) = (1/3)(z +1/6)g'(z) + (1-14z)/36,
g'(z)=0 の根は a=(-1-√7)/6, b=(-1+√7)/6,
g(-1)= 0,
g(a) = (1-14a)/36 = (10+7√7)/108 ≒ 0.264076474…
g(b) = (1-14b)/36 = (10-7√7)/108 ≒ -0.078891288…
g(1) = 1,
>729 のとおり。
0737１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 10:19:29（１）三次関数ｆ(x) の変曲点がＥ、極小値をとる点がＦのときｆ（ｘ）は点Ｄを通ることを示せ。
（２）ｆ（ｘ）とＯＧの交点をＩとするとき、次の面積比を求めよ。
（領域ＡＥＯＨ）：（領域ＯＥＦ）：（領域ＥＢＦ）：（領域ＯＦＩ）：（領域ＩＦＣＧ）：（領域ＨＯＩＤ）：（領域ＤＩＧ）
0738１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 10:26:16いきなりf：R→と書いてる時点ですでに範囲外
0739１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 10:29:30EG：EO=√3：2を使う
0740１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 10:30:25間違えた
EI：EG=√3：2
0741１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 10:39:14それは難癖というものだ。
0742１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 11:16:060743１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 13:07:531. 断面となる多角形の辺の本数は、最大でいくらか。
2. 断面となる多角形の面積は、最大でいくらか。但し、正十二面体の一辺の長さを1とする。
0744１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 14:30:014z=3(x-1)^2+(y-3)^2なので2√3
0745MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/25(土) 16:27:05f(x+y)≧f(x)f(y)
f(x)≧x+1
(1) f(x)≧{f(x/n)}^n
が成り立つことを示せ．
(2) f(x)を求めよ．
※微分方程式を使うのは高校範囲外なのでできれば使わない方法を．
0747１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 20:00:42＞全実数で定義された関数f(x),g(x)が，任意の実数x,yについて以下の条件を満たしている．
g(x)？
0748MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/25(土) 20:31:26あっ、余分でした。g(x)は無視しといてください。
0749749
2007/08/25(土) 21:04:310750１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 21:07:19↑小中学生より知能の低い文系私立障害者のメッカ
こんな所に書いて願いが叶うと思うなんてどこまで馬鹿なんだ？
小学生でもそんなこと思うまいｗ
よかったら荒らしてやってｗ
「チンピラゴロツキ」書き込みをコピペするだけでいいから
0751１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 22:14:47(2) (1)より、f(x)≧(1+(x/n))^n → e^x (n→∞)
がすべてのxで成り立つ。よって、f(x)≧e^x (☆)
また特に、f(0)≧{f(0)}^2かつf(0)≧0+1よりf(0)=1
ここで、あるsでf(s)>e^sであるとする。このとき、
f(0)≧f(-s)f(s)より1≧f(-s)f(s)>e^s f(-s)
よってf(-s)<e^(-s)
これは(☆)に反する。
すなわち、すべてのxでf(x)≦e^x (☆☆)
以上(☆)、(☆☆)より、f(x)=e^x
0752１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 22:26:12数列{a_[n]}が定数αに収束するならば、
α=α+f(α)
つまりf(α)=0
これはf(α)>0に反する。
0753MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/26(日) 03:23:08a^p+b^p+c^p≦a^q+b^q+c^q
0755１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 03:28:36ただし加法定理は用いてはならない
0756１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 03:49:550757１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 03:57:59加法定理の導出証明と同じことすりゃいいだけじゃないの？
とりあえず図はかけないんでいい加減になってしまうが
ベクトルe1,e2を単位ベクトル、e1,e2を座標系を反時計回りにβ回転したときの単位ベクトルをそれぞれe1',e2'とする
今ある点Pを(x,y)=e1*x+e2*y=e1*rcosα+e2*rsinαとする。
反時計回りに回転したときの座標系からは
Pはe1'*rcos(α-β)+e2'*rsin(α-β)となる
Pをβだけ時計回りに回転させたときの座標は座標軸を反時計回りにβだけ回転したときの座標と等しい。
座標を回転させても原点は変わらないので位置ベクトルも変わらず
Pの位置ベクトルについてe1*rcosα+e2*rsinα=e1'*rcos(α-β)+e2'*rsin(α-β)・・・①
単位ベクトルについては
e1=e1'*cosβ-e2'*sinβ、e2=e1*'sinβ+e2'*cosβ
これを①の左式に入れ、右式と比較する。
このことから、rを時計周りにβだけ回転すると
座標は(rcosα、rsinα)→(r(cosαcosβ+sinαsinβ),r(-sinβcosα+sinαcosβ))→(xcosβ+ysinβ,-ysinβ+xcosβ)
普通の回転(反時計回りにβ回転する)はβを-βに書き換え
以上により、回転行列が導き出せる
これじゃだめか？
0758１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 04:01:24不等式タン(;´Д｀)ﾊｧﾊｧ
0759１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 04:05:120760１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 04:15:20a=b=c=1のときは自明。
それ以外のときはa≧b≧c (a>1>c)として一般性を失わない。
f(x)=a^x+b^x+c^xとする。
f'(x)=a^x log a+b^x log b+c^x(-log a-log b)
=(a^x-c^x)log a+(b^x-c^x)log b
b≧1でf'(x)>0
c≦b<1のとき，f'(x)≧(a^x-b^x)log a+(b^x)log b=a^x-b^x(1+log b)
x<1でlog x<x-1 より 1+log b<b
よって，f'(x)=a^x-b^(x+1)>0
0761１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 04:26:07(0，1) → (-sin θ，cos θ)
0762１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 05:52:190763１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 08:25:22p＝qのときは明らかなので、p＜qのときを考える。0＜xに対して{x^(q－p)－1}(x^p－1)≧0
であるから、変形してx^q－x^p≧x^(q－p)－1 となる。仮定よりa,b,c＞0であるから、
(a^q＋b^q＋c^q)－(a^p＋b^p＋c^p)≧a^(q－p)＋b^(q－p)＋c^(q－p)－3となる。
相加相乗平均の不等式よりa^(q－p)＋b^(q－p)＋c^(q－p)≧3(abc)^{(q－p)/3}＝3と
なるので、求める不等式を得る。
0765MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/26(日) 11:55:44lim[n→∞] a[n]/b[n]を求めよ．
0766１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 13:04:110767１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 13:13:40a[n]について・・・偶数をk個(k≦n)使う場合、それらを偶数番目に
置く方法はnPk、残り(2n+1-k)個に奇数を並べる方法は (2n+1)P(2n+1-k)
よって、a[n]=Σ[k=1 to n] (nPk)*((2n+1)P(2n+1-k))=(2^n-1)*((2n+1)!)
b[n]について・・・偶数番目が必ず偶数 ⇔ 奇数は必ず奇数番目
よって、b[n]=Σ[k=1 to n+1] ((n+1)Pk)*((2n)P(2n+1-k))=(2^n)*(n+1)*((2n)!)
ゆえに求める極限は2
0768１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 13:55:04何を以て良問とするかの定義は難しい。個人的には
① 1，11，111，・・・の第100項までの和の下10桁 (岩手大)
② x^n (n≧2)をx^2-6x-12で割った余りについて (東北大)
③ 三角関数の周期 (山梨医、九州大)
④ ωの計算 (早大理工)
⑤ 正方形に属する線分の長さ (上智法律)
なんかが印象的だった。
0769１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 14:00:51違うくね？
0770767
2007/08/26(日) 14:22:47というか、解き方が下手というか、気に入らない。
昼寝してから考え直すわ
0771１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 15:08:14こんな方法も。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa#content_5
0772１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 20:40:130773１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 20:48:18G=a^p+b^p+c^p-s(abc-k)
Ga=pa^p-1-sbc=0->pa=sabc=sk
Gb=pb^p-1-sac=0->pb=sk
Gc=pc^p-1-sab=0->pc=sk
Gs=abc-k=0
abcp^3=s^3k^3=kp^3
s=pk^-2/3,a=b=c=k^1/3
a^p+b^p+c^p=3k^p/3
0774１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 20:52:5811
111
...
100
990
9800
...
0775１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 21:14:561.x,y,zは実数でcosx+cosy+cosz=1/4 cos2x+cos2y+cos2z=-7/8を満たす。
このときcosx*cosy*coszの取り得る値の範囲を求めよ。
2.x,y,zを正の実数とし、正整数nに対して数列p(n),q(n),r(n)はp(1)=x,q(1)=y,r(1)=z,p(n+1)=√{q(n)r(n)},q(n+1)=√{r(n)p(n)},r(n+1)=√{p(n)q(n)}を満たす。
(1)p(n+2)をp(n+1)とp(n)を用いて表せ。
(2)lim[n→∞]p(n)=lim[n→∞]q(n)=lim[n→∞]r(n)を示せ。
3.z≧x^2+y^2,x+y+z≦4を満たす領域の体積を求めよ。
0776１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 21:15:54このときΠ[k=1,n-1] (1-z^k) の値を求めよ。
(2)Π[k=1,n] tan{kπ/(2n+1)}の値を求めよ。
5.一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHの点Aに動点Pが、点Gに動点Qがある。
二つの動点は毎秒1の速さで動き、n秒後(nは非負整数)には自分のいる頂点から伸びる辺のうち相手の動点がいない辺から等確率に一つ選んで進む。
(1)P,Qがn秒後までにあう確率を求めよ。
(2)n秒後にPQの長さが1である確率を求めよ。
6.(1)xy平面上で直線lは点(-1,0)を通り傾きの値が有理数である。
このとき直線lと単位円との２交点の座標はx,y共に有理数であることを示せ。
(2)y^2=x^3+3,y>0の有理数解(x,y共に有理数である解)を２つ求めよ。
0777１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 21:35:05(2n+1)/(3n+1)→2/3でしょうか？
0778１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 21:36:48バカ正直に展開して凄いことになってる証明があってワロタｗ
0779１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 22:38:281,2
0781MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/27(月) 00:08:341,10,11,12,…
を{a[n]}とする．
(1) A[n]=1/a[1]+1/a[2]+…+1/a[n]とする．n→∞のときA[n]は発散することを示せ．
(2) S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
T[n]=1+2+3+…+(a[n]-1)+a[n]
とするとき，
lim[n→∞]S[n]/T[n]を求めよ．
>>777
正解です
0783１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 00:23:200784784
2007/08/27(月) 00:35:390785MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/27(月) 00:37:24Πも範囲外の記号なんですが、それ以外に、ド・モアブルの定理が現行課程では範囲外にされてしまったからです。ちなみに複素数は範囲として残っています(絶対値、極形式、複素数平面は範囲外になりました)
0786１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 00:39:55そういったことやらないんだ
0787１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 01:03:250788１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 01:04:30>>738もそうだが、こういうスレで記号についてツッコミを入れるのはナンセンスだろ。
そんなのは本質ではないし、実際の入試でも、高校では習わない記号を(もちろん説明つきで)
使ってる問題もあるし。
0789１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 01:10:01y=a^3,x=b^2
a^6-b^6=3
(a^3-b^3)(a^3+b^3)=3
a^3+b^3=1
a^3-b^3=3
a^3=2=y
b^3=-1->b=-1,x=1
a^3+b^3=3a
a^3-b^3=1/a
a^3=(3a+1/a)/2=y
b^3=(3a-1/a)/2=x^3/2
0790１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 01:20:48a=(2k+1)^3
3a^2-1=t^3
a^2=(t^3+1)/3=(2k+1)^6
0791１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 06:35:15>>726の関数に最小値を与えるxの値を具体的に求めることは可能でしょうか？
cos(2x) = (-1 + √7)/6を満たすxを求めればいいんですが。
0792１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 08:20:24こちらにレスして下さるとありがたいです。失礼します。
ttp://oshiete1.goo.ne.jp/qa3289982.html
0793１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 08:30:180794１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 08:44:58内積で示せばおK
0795１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 08:46:490796１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 09:38:26p=(cos(a), sin(a)), q=(cos(b), sin(b)), r=(cos(a-b), sin(a-b)), s=(1,0)
に対し、|p-q|=|r-s| だから、cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) と求められる。以下同様
0797１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 09:42:17これマジなら綺麗な証明だな
0798１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 13:41:48> p=(cos(a), sin(a)), q=(cos(b), sin(b)), r=(cos(a-b), sin(a-b)), s=(1,0)
> に対し、|p-q|=|r-s| だから、cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) と求められる。以下同様
0799１３２人目の素数さん
2007/08/27(月) 22:54:300800１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 00:08:25図形を使わんやり方は循環論法におちいるしかない
0801１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 00:16:49sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i)
と定義した上で、ガツガツ計算するとかかな。
0802１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 00:21:57という、無意味な制約をつける時点で、
東大らしからぬ問題だろうな。
0803１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 00:34:19それはもちろん高校の範囲を超えてるしな
0804１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 00:35:150805１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 01:02:34少し離れたところから、金属製の三角板を投げ、
直方体に突き刺す。
直方体だった立体の、3年後までの体積変化を記述せよ。
0806１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 01:09:09従って、図形を用いずに何かを証明しろというのは無理難題すぎる。
0807１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 06:03:23K<a_{1}/(a_{1}+a_{2})+a_{2}/(a_{2}+a_{3})+ ・・・ +a_{n}/(a_{n}+a_{1})<G
が成り立つような定数Kの最大値と定数Gの最小値を求めよ。
0808793
2007/08/28(火) 06:31:330809１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 06:43:32やっぱ趣向があるのかな
出来れば設定が単純で問題文が短くて難度がB～C程度の見てみたいです
0810１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 07:26:47ただし、負けた人は次の回から参加しないものとする。
また、あいこも1回と数える。
(1) ちょうどn回目で優勝者が決まる確率を求めよ。
(2) 優勝者が決まるまでに要するじゃんけんの回数の期待値を求めよ。
0811１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 07:35:58立方体の6つの面に1，2，3，4，4，4の数字を書いた，
変則的なサイコロがある。このサイコロをn回振り，
出た目を順にX[1]、X[2]、・・・、X[n]とする。
(1) 積X[1]*X[2]*X[3]*・・・*X[n] が4の倍数となる確率を求めよ。
(2) 和X[1]+X[2]+X[3]+・・・+X[n] が4の倍数となる確率を求めよ。
0812１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 07:47:37Kの最大値1
Gの最小値n-1
97年愛媛大(改作)
0813１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 07:57:19サイコロを繰り返しn回ふる。
(1) 1の目が初めて出るまでにふった回数の期待値を求めよ。ただし、
n回目まで1度も1が出なかったときは「n回ふった」と解釈せよ。
(2) 1の目が初めて2回連続で出るまでにふった回数の期待値を求めよ。
ただし、n回目までに1が連続して出なかったときは、「n回ふった」と
解釈せよ。
0814１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 08:06:17A君、B君を含む2^n人 (n≧2)でトーナメント方式の試合を行う。
(1回戦の組み合わせは、くじ引きにより決めるものとする)
ただし、各試合に引き分けはなく、実力が同じ者同士が試合をして
一方が勝つ確率は1/2であるとする。また、以下でpは0<p<1なる定数とする。
(1) B君は他の誰と対戦しても常に確率pで勝ち、B君以外(2^n)-1人の
実力は同じであるとする。この場合、A君が優勝する確率を求めよ。
(2) A君とB君は互いに実力が等しく、残りの(2^n)-2人も互いに実力が
等しいとする。また、A君はB君以外の(2^n)-2人と対戦した場合、
常に確率pで勝つ(B君も同様)。このとき、A君が優勝する確率を求めよ。
0815１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 08:34:57A、B、O、Eはいずれも2次正方行列で、Oは零行列、Eは単位行列
とする。また、A、Bは問題最後尾のように定める。6個の行列の積
P=C*D*F*G*H*Jを考える。ただし、C～JにはそれぞれA、B、O、Eの
うち1つを確率1/4ずつで当てはめるとする。
(1) Pの計算結果として考えられるものは何通りあるか。
(2) P=Eとなる確率を求めよ。
以下A、Bの定義。2次正方行列の成分を(左上 \ 右上 \\ 左下 \ 右下）
で表す。(例えばE=(1 \ 0 \\ 0 \ 1)となる。)
A=(0 \ 1 \\ 1 \ 0)、B=-(1/2)* (1 \ √3 \\ -√3 \ 1)
0816１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 08:58:41ほとんど同じ問題が京大で出てる
0817１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 09:12:29京大のよりシンプルにしたつもりだが、どうだろうか？
個人的には問題の出来より、行列の書き方が受け入れられるか
の方がはるかに心配だwww
0818１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 09:25:17nを正の整数とする。
意味はないけれどむしゃくしゃしたから、0～nから2つの数を無作為に
選び、順にp、qとする(ただし、同じ数字を繰り返し選んでよい)。
p≧qの場合は q*(pCq) 回だけ「でん」を繰り返し言う。
p<q の場合は、「武勇伝！」と叫び、ポーズを決める。
(1) 「武勇伝！」と叫ぶ確率を求めよ。
(2) 口にする「でん」の回数の期待値を求めよ。
0819１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 10:16:05-120以上120以下の整数から、無作為にk個(0≦k≦241)の整数を選ぶ。
(1)、(2)の各場合について、まず、kにあなたの好きな数を1つ
設定し、次に、選んだk個の数字の和の期待値を求めなさい。なお、
(1)と(2)でkの値は異なっていてもよい。また、得られた期待値を
各設問におけるあなたの得点とする。
(1) 異なるk個の数字を選ぶ場合。
(2) 重複を許してk個選ぶ場合。
0820１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 10:40:110821１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 10:50:11同じ奴が連続投稿で問題出してるからね。やみくもにいっぱい出せばいいってもんでもないだろうに。
0822１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 10:51:30ゴメンよ。>>809 が「設定が単純でB～C難度の問題を見たい」って言うから、
てきと～に問題作ったら、こんな風になってしまった orz
さすがに>>811 >>815 の設定と >>819 の問題文は反省しているよ www
でも、ここ3年の東大の確率が以前より単純化している状況を鑑みると、
この程度でも(>>809 が要求したレベルの)練習になるかと。
0823１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 12:33:390824MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/28(火) 13:28:52(1) 原点O(0,0)を通らない直線Lがあり，L上をPが動くとき，Qの軌跡はどのような図形になるか．
(2) 原点Oを中心とする半径1の円に内接する正6角形Tがあり，Tの周および内部をPが動くとき，Qの動く領域の面積を求めよ．
0825１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 14:17:372007年8月11日 9:39:41 GOLD
半径1の円Cに外接する正三角形ABCがある。
点XをCの円周上の点とし、点Xから辺BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれP,Q,Rとする。
点XがCの円周を一周するとき、PX+2QX+3RXの最大値と最小値を求めよ。
よろしくお願いします。
2007年8月11日 12:22:07 益田
正三角形ABCの外心(重心)をOとすれば、
v(OP)=(v(OB)+v(OC))/2
v(OQ)=(v(OC)+v(OA))/2
v(OR)=(v(OA)+v(OB))/2
|v(PX)+2v(QX)+3v(RX)|^2
=|6v(OX)-v(OP)-2v(OQ)-3v(OR)|^2
=|6v(OX)-(5/2)v(OA)-2v(OB)-(3/2)v(OC)|^2…①
ここで、
|v(OX)|=|v(OA)|=|v(OB)|=|v(OC)|=1
v(OA)･v(OB)=v(OB)･v(OC)=v(OC)･v(OA)=1*1*cos120゜=-1/2
であり、また、
(中略)
-|v(m)||v(n)|≦v(m)･v(n)≦|v(m)||v(n)|
が成り立ちます。
ここからいけますか？
#いけねーよ。
#ますだ頭大丈夫か？
0826１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 14:37:392007年8月28日 9:30:14 タンポポ
x,y,zは正で0°<x+y+z<180°とする。
sin(x+y+z)/(sin(x)+sin(y)+sin(z))<1が成り立つことを示せ。
3変数でわかりません。
教えてください。よろしくお願いします。
2007年8月28日 12:16:03 益田 WEB
図形を用いた別解答
点Oを中心とする半径rの円に内接する4角形ABCDについて
∠AOB=x
∠BOC=y
∠COD=z
とすると
△AOC=(1/2)r^2*sin(x+y+z)
四角形ABCO=△AOB+△BOC+△COD
=(1/2)r^2*sinx+(1/2)r^2*siny+(1/2)r^2*sinz =(1/2)r^2(sinx+siny+sinz)
ここで
四角形ABCO=△AOC+△ABC＞△AOC
∴(1/2)r^2*sin(x+y+z)＜(1/2)r^2(sinx+siny+sinz)
⇔sin(x+y+z)＜sinx+siny+sinz
⇔sin(x+y+z)/(sinx+siny+sinz)＜1
#これも意味不明解答。
#ますださんって問題作る能力はあっても、
#(といってもガッコンやら何やらからの盗作が多いが)
#問題解く能力は無いね。
#質問に答える類の掲示板にはこれ以上出入りしない方が良いと思うよ。
0827１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 14:49:030828１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 14:58:04aの最大値を求めよ。
0829１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 15:18:300830１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 15:21:450831１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 15:29:47>830
確かにCとDが一緒になっててこんがらがってるね
間違いに気がつかないと三角形と四角形がぐちゃぐちゃになる
でも数式で解くよりはこういう図形的解法の方が俺は好きだね
0832１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 15:46:2900年東工大の問題を思い出す。
0833１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 15:56:49東工大
00前期 三角柱の断面積
00後期 ひもの通りう領域の体積
何を思い出すんだ？
0834１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 16:04:16(1)原点を焦点とする放物線
(2)求める面積は放物線3つに囲まれた領域で1/6公式使ってだせば幾何的に解決
これ、複素数平面なしだと難問になるな
0835１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 16:11:44何となく、前者。
赤本、青本、大数、etc で大絶賛だったねぇと。
後者の計算地獄もインパクトは大だったが。
0836１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 16:15:34本質的には同じことだが、
P(r*cosθ、r*sinθ)とおいて、極座標を使うことを想定しているんじゃね？
0837１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 16:37:42大数 ③難易度B***
なんかと見間違えたんじゃない？絶賛する評価はないが。
0838１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 16:44:56意味不明とはCとDを書き違うというようなことを言う。
0839１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 16:46:520841１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 16:50:20☆つきじゃなかったっけ？しかも、その後の記事で何度か見たような？
記憶違いだったら許してね。
難度が高くないところがいいんじゃない？
大数はDレベルの問題に☆をつけることは少ない気がする。
0842１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 16:52:410843１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 16:56:51それを言うなら学コンも全部パクりになる
完全なるオリジナルなど存在しない
野暮なこと言うな
0844１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:01:24あーそれで絶賛か、☆はあるね。
0845１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:04:38そんなことを言ったら、東大87年のチェビシェフ不等式の問題は
75年IMOの問題の完全にパクリ。07年のスペクトル分解は言うに及ばず。
07年文系5m^4の余りも05年の焼き直しに近いものを感じる。
06年前期の確率は98年一橋前期と酷似。同年理系前期第5問も
5年位前に横国で殆ど同じ問題が出ている。
05年も理系なら第1問、第3問、第4問、第6問と類似問題が過去に多数
出ているものが並んだ。
東大の入試問題が必ずしも新鮮さを追求しているとは感じない。
0846１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:08:120847β ◆aelgVCJ1hU
2007/08/28(火) 17:09:080848１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:09:170849β ◆aelgVCJ1hU
2007/08/28(火) 17:10:19その時の教科書の例題が解く鍵となる問題もあるだろう。
0851β ◆aelgVCJ1hU
2007/08/28(火) 17:15:280852MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/28(火) 17:20:18(i) f[k](a[k])≠0
(ii) f[k](a[m])=0 (m≠k)
このとき，1≦c≦n-1を満たす任意の整数cについても，
Σ[k=1,n]f[k](x)=0
は必ず区間a[c]＜x＜a[c+1]に実数解をもつことを示せ．
0853１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:33:02とすると、g(x)が区間a[c]<x<a[c+1]で極値を持つのは
明らかだから。
0854MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/28(火) 17:36:11やはりここの人はあっさり見破りますなぁ。
0855１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:38:330856１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:40:280857１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:42:320858１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:44:120859１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:49:260860１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 17:53:160861１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 18:15:580862MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/28(火) 18:47:080863MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/28(火) 18:49:52r＞tを追加
0864１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 18:51:070865１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 18:54:440866１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 18:58:33楕円に外接し、各辺が座標軸に平行な長方形の
周の長さをL[3]とすると、L[3]<L[2]=4r<2πr=L[1]
0867１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 18:59:440868１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 19:17:15まぁいいや。
↓ 改作
r,tをr>t>0なる数とする．半径rの円C[1]の周長をL[1]とする．
また，長軸の長さが2(r+t)，短軸の長さが2(r-t)の楕円の周長をL[2]とする．
L[1],L[2]の大小比較をせよ．
0869MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/28(火) 19:42:240870１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:15:570871１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:16:18(1) 現時点でのk/nを求めよ。
(2) lim[n→∞] (k/n)を予想せよ(証明はしなくてよい)。
とりあえずMASUDAは(1)の解が出るまで、次の問題出すな。
0872１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:20:38ds=rdt->r(a^2cost^2+b^2sint^2)^.5dt
2pir->r(a^2-(a^2-b^2)sint^2)^.5dt
0873１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:37:460874１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:38:460875１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:39:240876１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:40:230877１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:41:44approx pi[3(a+b)-sqrt((a+3b)(3a+b))]
approx pi(a+b)(1+(3h)/(10+sqrt(4-3h))),
0878１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:42:06(1)2/9
解いてしまってわりぃ
出題ミスは多くてもMASUDAの問題は面白いから俺はキボンだ
0879MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/28(火) 20:45:24楕円積分せずとも
∫√{(r+t)^2*cos^2θ+(r-t)^2*sin^2θ}dθ
と
∫√(r^2*cos^2θ+r^2*sin^2θ)dθ
を積分のまま比較すればいいんです。
0880１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:47:200881１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:48:560882１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 20:54:10一番小さいとピタゴラスなら察する？
0883１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 22:09:090884MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/28(火) 22:50:190885１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 23:12:500886１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 23:19:230887１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 23:51:17簡単じゃね？
0888１３２人目の素数さん
2007/08/28(火) 23:58:42BCの式をy=tan(k)xとする
∠ABCが120゜の時、ABの式はy=tan(k+120°)x
ABCは格子点であるから、BCの式y=tan(k)xはx、yが共に整数の時に成り立つ点(原点を除く)を持つ
よってtan(k)は有理数
この時tan(k+120°)は無理数になり、原点を除く整数x、yを解に持たない
0889１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 00:12:36自明でないような気がするんだが
0890MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/29(水) 01:35:37y=tan(k)xでx,yが整数であってもtan(k)が有理数とは限りません。
0891MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/29(水) 01:39:17間違えました
「tan(k)が有理数とは限らない」
じゃなくて
「tan(k+120)が無理数とは限らない」
ですね。
厳密な証明を全部省いたなら別ですが
0892１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 02:00:37∠ABC＝120°であるとすると、Cは(a＋bi)(－1＋i√3)/2と表せる。
つまりCは(－a－b√3)/2＋i(a√3－b)/2 と表せる。a,bは整数だから
(－a－b√3)/2と(a√3－b)/2は無理数である。これは、Cが格子点で
あることに矛盾。
0893１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 02:04:27長さは？
0894１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 02:20:29tan (k+120°)=(tan k-√3)/(1+√3 tan k)=q (有理数)
とすると、(q*tan k+1)√3= tan k-q
(1) tan k=-1/q のとき、tan k=q となるが、この両方を満たす実数qはない。
(2) tan k≠-1/qのとき、√3=(tan k-q)/(q*tan k+1) =(有理数)
(1)(2)とも不適。
0895１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 02:25:56B～C級でとの要望に応えたので。(1)は論外。
(2)の期待値の計算でnCkの計算が少しゴチャゴチャするのと、
「武勇伝！」と叫ぶときにも「でん」を1回言っているのを
見落とす人がいるかと思った・・・という程度。
0896MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/29(水) 02:57:36(cosx+siny-2)/(sinx+cosy-3)
のとりうる値の範囲を求めよ．
0897１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 03:18:42行列A=(左上 \ 右上 \\ 左下 \ 右下)=(3/5 \ -4/5 \\ 4/5 \ 3/5)
とする。正の整数nに対して、
A^n=(a[n] \ -b[n] \\ c[n] \ d[n])とするとき、\\
(1) b[n]=c[n]、a[n]=d[n]を証明し、{a[n]}^2+{b[n]}^2の値を求めなさい。
(2) (5^n)*b[n]を5で割った余りを求めなさい。ただし、負の整数k
に対しては、k+(k以上の最小の5の倍数)=(kを5で割った余り)とする。
(3) A^n=Eとなるようなnは存在するか？
2．θが0≦θ≦πの範囲を変化するとき、
直線L[θ]:y=(cosθ)x+sinθ-θcosθ が通過しうる領域をDとする。
(1) Dを図示しなさい。
(2) Dのうち、0≦x≦πを満たす部分の面積を求めなさい。
0898１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 03:33:07証明しなさい。ただし、平行六面体OABC－DEFGに対して、
四面体OBEGはこの平行六面体に外接しているということにする。
4(a) 直方体の各面に1から6の数字を、向かい合う面の数字の和が7
となるように配置する。このゆがんだサイコロを1回振るとき、出た目の
数をxとする。
(1) xの期待値を求めなさい。
(2) 1、2、3の出る確率をそれぞれp、q、2pq (0<p<1、0<q<1)とする。
x^2の期待値が(73)/4であるとき、p、qの値を求めなさい。
4(b) aを定数とする。y=ax+cos(2x)+4cos(x) の区間0≦x≦2π
における極値の個数を調べなさい。
0899１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 03:40:20(3、2)を中心とする半径1の円と原点中心半径1の円の共通接線の傾き。
0900898
2007/08/29(水) 03:42:283. 3行目 「平行六面体に外接」→ 「平行六面体に内接」
4．(1)の前に、「ただし、向かい合う面に書かれた数字が出る確率は等しい。」
0901MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/29(水) 03:53:22ずいぶんと過去問あぶりだしが多いようで…。
0902MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/29(水) 04:03:06a[1]=1，a[2]=1
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
を満たす．
(1) a[n]が5で割り切れるためのnの満たすべき条件を求めよ．
(2) a[1],a[2],…,a[n]の中から選んだ2項の積a[i]a[j](i≠j)の下1桁が0となる確率をp[n]とする．lim[n→∞]p[n]を求めよ．
0903１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 04:25:28名古屋大は昔から似たような問題を時々出す。
それを傾向と言い、その傾向にあわせた問題を要求されたから
それに応えたまで。
0904１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 04:30:4093年東大の類題。ずいぶんと過去問あぶり出しが多いようで。
お互いにww
改作 ↓
nを正の整数とする．数列{F[n]}が
F[1]=1，F[2]=1
F[n+2]=F[n+1]+F[n]
を満たす．
(1) k、nを正の整数とする。F[kn]はF[n]の倍数であることを証明せよ。
(2) nが合成数でF[n]が素数となるようなnが存在すれば、それらを全て求めよ。
0905１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 04:50:440906１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 05:57:520907１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 06:04:030 < sin(x+y+z) = c1*sin(x) + c2*sin(y) + c3*sin(z) - sin(x)sin(y)sin(z),
ここに c1 = cos(y)*cos(z) ≦1, c2 = cos(z)*cos(x) ≦1, c3 = cos(x)*cos(y) ≦1,
題意より, sin(x)>0, sin(y)>0, sin(z)>0,
0908１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 06:04:10G=A-r(L-p)
Gx=0,Gy=0,Gr=0
δＡ＝０－＞Ｅ－Ｌ＝０
0909１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 06:19:353^k(sa+tb)
0910１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 06:27:260911１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 06:33:14しかし、円の面積はπr^2、楕円の面積はπ(r^2-t^2)
等周問題の結果を流用しても無理。
0912１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 06:56:440913１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 07:45:37「お前の場合、まんまじゃん」とMASUDAは言いたいんだろ
確かにいくら似た問題といってもそこまで一緒じゃあね。ひねりが足りなさすぎだよ、あんた
0914１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 08:12:27その問題とMASUDAの>>902がどう改作なんだ？wwwいっしょなのフィボナッチだけだしwww>>902の(1)だけに限れば頻出問題だが、それを出さずに>>904の問題をだしてきて改作と言い切るあんたの分析力は脱帽もんだなww
0915１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 08:43:33言ってることは分かるし、ひねりが足りない(というよりひねってない)のは事実。
お気に召さなかったとすれば、力不足で申し訳ない。ただ、過去問の類題を
ほぼそのままの形で出したのには、理由があった。実際に名古屋大の問題を見てよ。
07年理系①上三角行列、②定数分離、③淡々と計算する微積、④(a) 反転、④(b)ポリア
どれも「まんまじゃん」。06年だって話題のぴったり直線は頻出ネタそのまんま、
難問扱いの理学部後期だって有名問題そのまんま。さらに呆れる事に、
06年の確率漸化式、00年の接線の通過範囲、立方体の影になど、名大の過去問すら
何の捻りもなく使い回す。それが名大であり、ここ数年酷さが増している。
だから、それを忠実に再現してみたわけ。だったら過去問50年分やればいいじゃん
となる。しかし、受験生はそこまで暇じゃないだろうから、名大が何度か使い回した
ネタと、過去の易しい名作で参考になりそうなセットを作ってみたというわけ。
以上、長文ｽﾏｿ
0916１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 09:14:210917１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 09:24:57そこまでぼろくそに否定されると、さすがに凹む orz
申し訳なかった。
ちなみに>>902 だが(1)はn=5の倍数。
(2)は偶数になる場合(n=3の倍数)を利用。n=15の場合、
i、jの取り方は15C2=105通り。下1桁が0になるのは
(i、jの一方が15)+(i、jの一方が5の倍数、他方3の倍数)
=14*2+(3+5-1)*2=42
よって、P[15]=2/5
nが大きくなると、15*15のます目で平面を覆う感じになるから、
P[n]→2/5 最後の極限は97年東大後期①と類似。
0918１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 09:44:12お前はスレ違いって言葉の意味分かるか？
確率といい名大といい、スレ違いの問題を一度に大量にアップしてんだからたたかれても文句を言える立場じゃねーだろ
0919MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/29(水) 10:04:31f(1)=1/2
f(2)=1/3
…
f(n)=1/(n+1)
f(n+1)=1/(n+2)
このとき，f(0) , f(n+2)をそれぞれnを用いて表せ．
0920１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 11:36:440921１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 12:17:06∠ABC=120°となる異なる３つの格子点A,B,Cがとれたと仮定する。
(BA)↑=(a,b)，(BC)↑=(c,d)とおく。(a,b,c,d：整数)
△ABCの面積Sは S=|ad-bc|/2 と表せる。
また，辺の長さとなす角を使って S=|BA||BC|sin120°=(√3)/2*|BA||BC|とも表せる。
一方，(BA)↑と(BC)↑の内積を考えると，成分表示では ac+bd，長さとなす角を使えば
|BA||BC|cos120°= -1/2 |BA||BC|と表せる。
以上より，
|ad-bc| = √3 |BA||BC|
ac+bd = -1/2 |BA||BC|
という２式が成立する。
|BA|≠0，|BC|≠0 なので，辺々割って
|ad-bc|/(ac+bd) = -(√3)/2
左辺は有理数，右辺は無理数なので矛盾。
0922921
2007/08/29(水) 12:40:530923１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 13:20:00数蝉(2001/1)で松本眞先生がかいた記事の中でこの解き方を読んだことあった。
ええっと、ｘｙｚ空間の有理点を頂点とする正三角形の辺の長さについての記事のイントロでかいてた。
ちなみに上の命題の結論は平方因子を除いた部分を√s とするとｓは偶数で、奇素数の因子はmod3 で0 or 1 となる
そうです。
09242ndVirtue ◇.NHnubyYck
2007/08/29(水) 13:28:290925１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 14:15:38早稲田の焼き直し？
0926MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/29(水) 15:30:38点(a,b)をUの周および内部にある点として，Uを直線x=aについて回転させてできる立体をT[1]，Uを直線y=bについて回転させてできる立体をT[2]，T[1]とT[2]の共通部分をT[3]とする．また，T[n](n=1,2,3)の体積をV[n]で表す．このとき，
V[3]/(V[1]+V[2])
のとりうる値の範囲を求めよ．
0927１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 15:44:30MASUDAさん、それ、計算量がいかついです
てかそろそろ1000いくから誰かおNEWスレたてて
0928１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 18:21:350929１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 23:25:00（１）x^2+y^2=k^2で表される円がある。このときy=x+pが円を通るときのpの範囲を求めよ、ただしｋは定数。
(2)上の円と直線で切り取られる弧の長さを求めよ
0930１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 23:28:44夏休みの宿題かよw
0931１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 23:29:070932１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 23:32:37（１）x^2+y^2=k^2で表される円がある。このときy=x^2+pが円を通るときのpの範囲を求めよ、ただしｋは定数。
(2)上の円と直線で切り取られる弧の長さを求めよ。大小複数あるがすべて求めよ
0933１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 23:33:530934１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 23:35:00○曲線
0935１３２人目の素数さん
2007/08/29(水) 23:43:560936１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 00:19:47[2/3pi,4/3pi]
0937MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/30(木) 01:09:27条件『どの異なる3点A,B,Cを選んでもAB↑+AC↑≠0↑である』
0938１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 01:39:36Ab,ACをきめるのは２つの点が必要つまり１０００/２＝５００
よって示された
0939１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 01:58:04全然示せてない
0940１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 02:11:07たぶん>>938は内積と勘違いしてんじゃない？てか1000なんて数字はどっから出てきたんだ？
0941921
2007/08/30(木) 03:25:01文章で説明が難しいので図で説明。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/d469f1bd54e407c3.pdf
0942１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 06:13:490943１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 06:20:01●●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●◇●●○○●●●●
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
●●◇●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●
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0944１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 06:58:57ab+ac=b+c-2a=(s+u-2x,t+v-2y)=0
s+u-2x=0,t+v-2y=0
0945１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 07:03:35ab+ac=(x+u)+(y+v)i=0
x=-u,y=-v
0946１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 07:51:18ひさびさに難問かつ良問がきたね
0947１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 10:06:010949１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 11:09:250950MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/30(木) 11:24:582次に拡張した結果、529個(23^2)まで取れることは分かったものの530個以上取れるかは私の頭では分かりませんでした。
0951１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 11:28:29答えにarctanが出てくる・・・
0952941
2007/08/30(木) 12:09:05ブロック同士をもう少し離さないと縁のところでAB↑+AC↑=0↑になってしまう。
というわけで，改訂版。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/43dce06dd93b7c7b.pdf
0953１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 12:23:080954１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 12:25:41MASUDAが>>950で言ってる「3進法」の誘導をつけたら十分東大レベルになる
東大はn進法とか好きだから受験生も対策してるだろ
0955MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/30(木) 12:41:49『3^0,3^1,3^2,3^3…の中から重複を許さずに選んだ数(1個でもよい)の和として考えられるもの全てを小さいものから並べた数列を{a[n]}とする．
このとき，任意の異なる自然数の組(i,j,k)をとってもa[i],a[j],a[k]が等差数列となることはないことを示せ．』
となります．
0956１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 12:55:520957１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 13:17:06確かに誘導は3進法思いつけば一撃だな
それを使うと>>937は細々した論証省くと
100[10]=10201[3]だからこれ以下で2を含まない最大値は10111[3]
2進法と考えて2^4+2^2+2+1=23
2次元だから23^2=529個とれることが分かる
∴500個とれる
0958１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 13:22:17IMO 1982/B3 solution
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln826.html
これかな？
0959１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 13:25:00http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln835.html
失礼こっちか
0960１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 21:27:340961１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 21:29:410962１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 21:39:03xy平面上において，半径ｒの円内部の格子点の数は？
0963１３２人目の素数さん
2007/08/30(木) 21:40:510965MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/31(金) 00:18:32(条件1) 円Cの内部(周を除く)をLが通過する．
(条件2) 直線Lと球面S[1],S[2]との交点4つは等間隔に並ぶ．
0966１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 00:58:07●見た目がややこしい計算問題、あるいは実際解いてみると計算が大変な問題は敬遠されやすい
●教科書レベルの易しい問題は逆にあまり解かれない(挑戦するまでもないと思われがち)
●シンプルかつ綺麗な問題は挑戦されやすい
●長文で出す場合、パッと見て目を引く興味深い問題文や目立つ数式がなければ問題すら読まれない
●閲覧者は東大京大受験生が多く、東大・京大の25年ぶんの過去問を持っている人が多いため、
東大京大の問題は出しても敬遠されやすい
解き手の解答意欲をわかすような良問出題めざして頑張ってください。
0967966
2007/08/31(金) 01:01:580968MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/31(金) 01:08:12聞いてますが何か？私の問題が>>966にそぐわない内容だと思うならあなたがスルーすればいいだけのことです。
0970￣￣￣V￣￣￣￣￣￣
2007/08/31(金) 01:19:13| ／ﾟヽ／ﾟヽ ／ ＼
| （__人__） ／ノ ＼ u. ＼
| |'|｀⌒´ﾉ ／（●） （●） ＼
. |. U } | （__人__） u. | やべぇよこいつ・・・・
. ヽ } ＼ u.｀ ⌒´ ／
ヽ ノ ノ ＼
/ く ／´
0971MASUDA ◆wqlZAUTQF.
2007/08/31(金) 01:25:220972１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 03:03:49Cの1点Pに対して反転を叫ぶ
0973１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 03:39:55S[1],S[2]の中心をO[1],O[2]とする。
O[1]を通る直線がS[2]と接する点をP,O[2]を通る直線がS[1]と接する点をQとしO[1]P⊥PQ、PQ⊥O[2]QとなるようにP,Qをとる。
線分PQをP側、Q側にそれぞれ延長した直線PQがS[1],S[2]と交わる点をA,BとすればP,QはそれぞれAQ,PBの中点であり、4点A,P,Q,Bは同一直線上にありかつ等間隔にならぶ直線である。
0974１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 07:16:500975１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 07:20:480976１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 07:33:29弧AB=弧BC=(1/2)弧CD
となる点B, Cをとる。
線分ACと線分BDの交点をPとするとき、長さの比AP/PCをθを用いて表せ。
0977１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 07:48:320978１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 09:49:42O[1]P⊥PQ、PQ⊥O[2]Qとなるように
半径決まってないのにどうやったらそんな点とれるんだよw
0979１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 10:03:33O[1]P^2=d^2-R[2]^2
O[2]Q^2=d^2-R[1]^2
PQ^2=O[1]Q^2-O[1]P^2=O[2]P^2-O[2]Q^2=R[1]^2+R[2]^2-d^2となるから
0980１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 10:07:180981１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 10:11:38後はR[1]^2+R[2]^2=d^2のときか
0983１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 10:19:10はい、０に戻りました。周を除くという条件忘れてました。もう少し考えてきます。
0984１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 10:27:05俺ケータイだから立てられねぇ
0985１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 12:42:22texで書いて見てもらったほうが手っ取りばやいのか。
0986１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 13:14:440987１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 15:13:58できたー。帰ったらtexで書きます。
あまり食いつき悪いのはやはり図なしで解答するのがめんどいからなのか。
0988１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 16:00:48もうまとめるほどスレが残ってない
あと12しかないから
0989１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 16:25:17http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/
0990１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 20:22:39中間が２個の球の外に出ないもの。
でおｋ
0991１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 20:23:320992１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 20:29:29メッシュを稠密にすると、全格子点に対する見えてる格子点の数の比はいくつになる？
0993１３２人目の素数さん
2007/08/31(金) 20:31:480994１３２人目の素数さん
2007/09/01(土) 00:14:36そんな恐ろしい問題を大学入試に出すのかw
>>992,993
「見える」ってどういうこと？
0995１３２人目の素数さん
2007/09/01(土) 03:02:46sin(x) < x < tan(x), sin(x)/x は単調減少、tan(x)/x は単調増加 より
sin(tan(x)) < tan(x)sin(x)/x < tan(sin(x)),
0996１３２人目の素数さん
2007/09/01(土) 09:21:36次スレより転載。
21 ：１３２人目の素数さん ：sage ：2007/08/31(金) 22:57:11
>>5（＝前スレ942）
cos(x)≧1-x^2/2 なので，
sin(1)=∫_[0,1]cos(x)dx≧∫_[0,1](1-x^2/2)dx=5/6 > π/4 (∵π < 10/3)
であるので，tanの単調増加性より
tan(sin(1)) > tan(π/4) = 1 ≧ sin(tan(1))
よって tan(sin(1)) ＞ sin(tan(1))
0997１３２人目の素数さん
2007/09/01(土) 12:02:490998１３２人目の素数さん
2007/09/01(土) 12:03:370999１３２人目の素数さん
2007/09/01(土) 12:35:481000１３２人目の素数さん
2007/09/01(土) 12:36:471001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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