>>33
x=y=0 を代入すると f(0)*{1+f(0)}=0
f(0)=-1 または f(0)=0
f(0)=-1 のとき y=0 として f(0){1+f(x)}=0
よって f(x)=-1 だからすべてのxで微分可能。
f(0)=0 のとき
{f(x+y)-f(x)}/y={f(y)/y}*{1+f(x)}
題意より lim[y→0] f(y)/y は存在するのでこれを
f'(0) とおくとy→0 のとき 右辺→f'(0){1+f(x)}
よって左辺も収束してすべてのｘで微分可能であることがわかる。