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ありがとうございます。お手数おかけしてすいません。

> AX=Bの解の集まりを S1、「X0にAY=OなるYを足したようなもの」の集まりを S2 としたら
> S1の要素は必ず S2 にも属する、ということ。

これが必要性ですね。
示す事はS1:={X;AX=B},S2:={X_0+Y;AX_0=B,AY=O}である。
∀X∈S1を採ると,X=X+X_0-X_0=X_0+(X-X_0).
そこでX_0+(X-X_0)がX_0+Y (但しAY=O…①)の形になっている事を言えばよい。
A(X-X_0)=AX-AX_0=B-B=OよってX-X_0は①のYを満たしている。
よってX∈S2. ですね。

> （※この時点では S2 は X0 の選び方に依存する可能性がある）
> あなたの言ってるのは（X と X0 の使い方の差を除けば）
> S2 の要素が S1 に属するということを言ってるので、逆。

十分性は
示す事はS3:={X_0+Y;AX_0=B}⊂S_1である。
∀X_0+Y∈S3を採ると,A(X_0+Y)=AX_0+AY=B+AY
これが=Bにならねばならないんですよね。どうすればいいでしょうか?