>>453

良問だね。

類似の問題として位数 n の有限アーベル群の同型類の個数を求める
のがある。

V を有理数体上の n 次のベクトル空間とする。
ψ : V → V を有理数体上の線形写像とする。

Q[X] を有理数の１変数多項式の全体とする。

g(X) ∈ Q[X] と x ∈ V に対して gx = g(ψ)(x) と定義することにより
V は Q[X] 上の加群になる。
このとき V は Q[X] 上の加群として長さ有限である。
従って組成列を持つ。
即ち部分加群の列

0 = V_0 ⊂ V_1 ⊂ . . . ⊂ V_n = V
があり、各 V_i/V_(i+1) は単純加群である。

一般に Q[X] 上の単純加群は Q[X]/(p(X)) と同型である。
ここで p(x) は最高次の係数が 1 なる既約多項式。
各 V_i/V_(i+1) が Q[X]/(p_i(X)) と同型としたとき
f(X) = Πp_i(X) は ψ の固有多項式である。

(続く)