「周囲4で繰り返すこと」<->「7^4=49^2≡9^2≡1(mod 10)」

7^2003=7^(2000+3)　　　　(2003=2000+3)
=(7^2000)*(7^3) ①
={7^(4*500)}*(7^3)　　　 (2000=4*500)
={(7^4)^500}*(7^3) ②
≡{1^500}*(7^3)　　　　　7^4=49^2≡9^2≡1<=>「周囲4で繰り返すこと」
={1^500}*(49*7) (7*7=49)
≡{1^500}*(9*7) (49≡9)
≡{1^500}*(63) (9*7)
=1*63 (1^500=1)
=63 (1*a=a)
≡3

数学では充分習熟しないうちは、省略しない事。
だって当たり前じゃんと言う言い訳は成立しない。
当たり前を積み上げて答えるのが数学だから。