>>592
このスレを読んでいる他の人にもわかるようにdo Carmo の
"Riemannian Geometry" p.5定義2.5を引用すると(記号や延べ方は少し変えてある)：

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定義2.5

Ｍをm次元可微分多様体、Ｎをn次元可微分多様体とする．
写像φ：Ｍ→Ｎが

『点p∈Ｍにおいて微分可能である』

とは

「点φ(p)におけるparametrizationけ y:Ｖ⊆Ｒ^n →　Ｎ　にたいして
点p におけるparametrization x:Ｕ⊆Ｒ^m → Ｍ　が存在して

・φ( x(Ｕ) ) ⊆ y(Ｖ),

・y^{-1}○φ○x ：Ｕ　→　Ｒ^n は x^{-1}(p) において微分可能（←普通の微積分の意味で）

となること」

である．
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#「○」は関数合成．

すんません、長くなったので連続性の証明は45秒後に．