今リッチ曲率の定義調べててふと思ったのですが、
なんでリーマン曲率テンソルが(1,3)にテンソル場なのかがわかりません。

テンソル場の定義から考えておかしいと思います。

そもそもC∞ベクトル場の3個の直積からC∞ベクトル場への写像なのに
テンソルになるのが理解できません。

捩率テンソル場も同様です。これもなんて(1,2)次テンソル場になるのかがわかりません。