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与えられた多様体にとっての自然なリーマン計量とはどんなものか？
という問題意識です。

多様体Mには無数のリーマン計量が入り得ますよね。
M上のリーマン計量全体のなす空間をRiem(M)と書くと、
リッチ・フローの方程式の左辺にあるリーマン計量の時間微分が意味するところは、
Riem(M)におけるベクトル場なのです。

ベクトル場が考えられればその積分曲線である流れを考えるのは自然なことですし、
更にその流れの行き着く先も気になります。

つまりリッチ・フローが最終的にどこに行き着くかということを通して、
Mに自然なリーマン計量を１つ定めようという訳です。

感覚的には大体こんな感じですが、取り敢えずここまでにしときます。