>>16
多様体Mを１つ固定して、その上のリーマン計量の族g(t)を考えます。
これはリーマン計量の時間発展もしくは変形とも考えられるし、
リーマン計量全体のなす空間内の曲線とも考えられます。

時間発展と考えれば、その変化率を考えることは自然なことですから、
成分ごとに時間微分を取ります。
∂g_{ij}(t)/∂t

これがg_{ij}(t)のリッチテンソルの対応する成分R_{ij}(t)に等しいとおけば、
１つの微分方程式が得られます。
正確には、
∂g_{ij}(t)/∂t =-2R_{ij}(t)
です。

R_{ij}(t)の係数が負になっているのは、
少なくとも正の時刻で定義できていて欲しいからです。
それを気にしないのであれば、別に何でも良いんですが、
後々-2だと都合の良い状況になるので、天下り的にこうしておきますｗ

で、さっきの微分方程式の解のことをリッチ・フローと言います。

取り敢えずここまで。