ヒントも出しにくいな、教科書の例なんかを良く読んで考えて欲しいんだが・・・

fが連続だから開集合R-{0}の逆像Aも開集合で(x,y0)∈A
直積空間の位相の入れ方からxの開近傍Vxとyの開近傍UxがあってVx×Ux⊆A
{Vx}はXを覆うけどコンパクト性からX⊆Vx1∪・・・∪Vxnとできる
U=Ux1∩・・・∩Uxnとおけば、Uはy0の開近傍で、X×U⊆A