>p と q は独立には動き得ないから、その方法ではうまくいかない。

これは2式が成り立つから一方が求まるともう片方が求まるから、一方の解はもう片方の解に依存するということですね
任意の値をとる文字の係数についてのみ恒等式という考え方が使えるということですか？

また、係数比較するとき、2式を変数p,qについての一次方程式とみなして同一直線となるような係数を求めるんですよね？
でもこれってxy平面上には書けないんじゃないでしょうか
付け加えてc=0で係数比が一致するとき、最終的に二つ目の式の両辺を適当な数で割って一つ目の式と一致することをいうと思いますが、図形的に考えて両辺の式を割って成り立つから式が一致するとはいえるのでしょうか？