夜遅くに質問します。私は東京女子大を志望している浪人です。
2003年の問題で分からないところがあったので質問させてください。

xy平面上の直線Lについて、
「点(p,q)がL上にあれば点(p+q,-2p+q)もL上にある」
が成り立つとき、Lの方程式をもとめよ。

という問題で、
直線を ax+by+c=0とおき、
　　　 ap+bq+c=0　　　　　　と
(a-2b)p+(a+4b)q+c=0　が同時に成り立てばよいよいということは分かったのですが、
解説には二式が一致すればよいとかいてあり、
c=0のときp,qの係数比が一致　a:b=(a-2b):(a+4b)　が成り立つことが条件で、
cが0でない場合　係数一致が条件より不適とかいてありました。

そこで質問なんですが、
①なぜ２式を　ap+bq+c=(a-2b)p+(a+4b)q+c　として恒等式としてとくだけじゃだめなのか（どちらも=0だから等号でつなげますよね
②p,q,a,bは変数のはずなのになぜ　p,qが変数の方程式とみなして、方程式の一致を考えることが出来るのか
③ap+bq+c=0かつ(a-2b)p+(a+4b)q+c=0が成り立つ　というのと
　ap+bq+c=(a-2b)p+(a+4b)q+c=0　が成り立つというのは意味が違うのか

という疑問が生まれました。
どなたか、教えてください。おねがいします。。。