>>594
任意の a に対して右辺は常に正であることに注意。
f(x)=x^2-ax とおくと f(0)=0 , f(1)=1-a だから
1-a と それぞれにおける値とを比較すればいい。

a≦0 のとき　0≦x≦1 で f(x) は単調増加。 1-a>2/3-a なので1つの解を持つ。

a＞1 のとき 0≦x≦1 で f(x)＜0 なので解なし。

0＜a≦1 のとき a≦x≦1 で f(x) は非負かつ単調増加。
(2/3)a^3-a+2/3 - (1-a) = (2/3)(a^3-1/2) なので
0＜a≦2^(-1/3) なら f(1)≧(2/3)a^3-a+2/3 となり1つの解を持つ。
2^(-1/3)＜a≦1 なら f(1)＜(2/3)a^3-a+2/3 となり解なし。