下記の問題について質問させていただきます。

問題. 制約
ax + by≧z^2
x≧0, y≧0
のもとで、
C = cx + dy
を最小にする問題を考える。ここで、a, b, c, d, およびzは正のパラメータである。
（1） この問題の解のxとyを求めよ。
（2） 求めた最小値Cをパラメータの関数として表せ。

この問題について、わたしは以下のように考えました。
（1）Cは有界閉集合上の連続関数なので、最小値は存在する。
g(x, y) := ax + by – z^2 とおく。
極小値条件
∃λ∈ R s.t.
① ∂C /∂x = λ(∂g /∂x) ② ∂C /∂y = λ(∂g /∂y)
③ λg(x, y) = 0 ④ λ≧0 ⑤ g(x, y)≧0 より、
①’c =λa ②’d =λb ③’λ(ax + by – z^2) = 0
④’λ≧0 ⑤’ax + by≧z^2 が得られる。
λ=0とすると、c = d = 0となり、c, d＞0に矛盾するので、λ＞0でなければならない。
③’より、ax + by – z^2 = 0
⑤’×λ より、cx + dy = λ(z^2)
z＞0なので、λ= (cx + dy)/(z^2)
①’, ②’より、
⑥ c = (cx + dy)a/(z^2)
⑦ d = (cx + dy)b/(z^2) が得らる。
さて、ここで質問なのですが、⑥, ⑦をx, yについて解けば、Cの最小値を与えるx, yが得られると思ったのですが、⑥, ⑦を満たすx, yが存在しないのです。
どこか間違えているのでしょうか？