＞部分群の位は元の群の位数の約数である（教科書嫁）

＞|G|=p(素数)とすればＧの部分群の位数は素数pの約数で1かp
ということは部分群は単位元だけか、Ｇそのものかになる

これはわかったけど、Gの単位元でない元gをとればgで生成される部分群は巡回群（教科書嫁）
がわからない。

たとえば、位数を７とするとgで生成される巡回群はggg=eのときだってあるかもしれないんじゃない？