これはホントに初歩。こんなのでほめられたら、ここのスレの
ほかの回答者に笑われてしまう。

頭に 1を補うのは、場数をふむと Σ[k=1,...]と見たら、あ、
あぶねえなあ。ほんとは k=0のほうがいいんじゃねえかなあ、
と疑うようになる。df/dx の等比級数は収束半径が |x|<1
なので、無条件では上述の変形は正当化できない。でも
最初からそういうことを気にしだすとロクなことにならない
ので、気にするな、というのが、「すべての級数は収束すると
思え」のココロ。