>>513
まずあんたの問題。cos(nπ)を最初にかたづける。これは
n=1,2,3,…で -1 と 1を交代でとる。だから、求める和は
-1/3 + 1/5 - 1/7　… = Σ(-1)^k/(2k+1)だ。
収束性は（名前をつければライプニッツの定理）より論ずる
までもない。収束値を調べるには、ここに xを補い、ついでに
先頭に 1を補い（結果を得てからマイナス1する）
f(x) = x -x^3/3 + x^5/5 - …　という関数を考える。この
x=1のときの値を調べればよいというわけだ。f(x) は
見る人が見れば すぐ arctan(x)だが、わからなければ、
微分 df/dx = 1 - x^2 + x^4…だから、初項1, 項比 -x^2の
等比級数で、df/dx = 1/(1+x^2)。あとはこれを積分すれば
arctan(x)となることがわかるだろう。