S(2n) = Σ[k=1, n] (1/(4k+1) - 1/(4k-1)) = -2Σ[k=1, n] (1/(16k^2-1))
S(2n+1) = Σ[k=1, n] (1/(4k+1) - 1/(4k-1)) - 1/(4n+3) = -2Σ[k=1, n] (1/(16k^2-1)) - 1/(4n+3)

あとは S(2n), S(2n+1) が同じ値に収束することを言えばいい。

Σ[k=1,∞] (1/k^2) が収束することは使って良いよね。