10ｎ＋1が出題した証明を名無しが解くスレ

0001１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 20:35:49

いろいろな証明を暇つぶしに誰かが解くスレ。
数学　または　物理の証明でよろしく。
スレタイの　ｎは　ｎ=（0，1，2，・・・）

宿題スレではないので、宿題の投下は禁止

最初の証明は、√5が無理数であることを証明せよ。

0002１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 20:38:02

受験坊やドモ、いい加減にしろや

0003１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 20:47:02

√5はMURISUであるを公理とする
よって√5はMURISUである

証明おわり

0004１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 20:48:25

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0005１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 20:56:18

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0006１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 20:57:54

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0007１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 21:02:24

>>3 は√2さえ証明できなさそうだな

0008１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 21:03:51

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0009１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 21:39:42

a(n+1)=(an +5/an)/2,a1=3を満たす無限数列{an}は狭義単調減少列で、
an>√5,an∈Q,an→√5なので√5は無理数。

0010１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 22:41:29

俺の知識不足が原因だが、
>>9でなぜ√5が無理数であると証明できるのかがわからない。

0011１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 23:02:48

いや証明できてないでしょ。

0012１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 23:22:49

(0から1までの有理数)は有限であることを示せ。

0013１３２人目の素数さん

2007/05/14(月) 00:44:27

>>12
発散しないか？

0014１３２人目の素数さん

2007/05/14(月) 01:29:37

ありきたりだけど背理法でやるのが一番簡単？

0015１３２人目の素数さん

2007/05/14(月) 03:16:18

>>12
(1/k)

0016１３２人目の素数さん

2007/05/14(月) 05:53:53

>>12
Σ(1/2+(1/2)^n) > Σ(1/2) = ∞

0017１３２人目の素数さん

2007/05/14(月) 19:27:22

1/2以上の有理数が可算個あるわけだから、当然。
一般に任意の実数ε＞0について、(0からεまでの有理数)は無限

0018１３２人目の素数さん

2007/05/14(月) 19:34:16

その当然を証明してみなさい

0019１３２人目の素数さん

2007/05/14(月) 20:13:42

1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ･･･よりデカイから

0020１３２人目の素数さん

2007/05/14(月) 23:30:35

>>12は発散するな。
1+1/2+1/3+2/3+1/4+3/4+1/5+2/5+3/5+4/5+・・・
だから、発散する。

0021１３２人目の素数さん

2007/05/15(火) 00:48:31

任意の二つの無理数の間には有利数が無数に存在する。

0022１３２人目の素数さん

2007/05/15(火) 00:59:36

f(x)が可測関数ならA={x|f(x)≦c}は可測集合であるか。

0023１３２人目の素数さん

2007/05/15(火) 06:51:15

皆さん、宿題は質問スレで。

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0024１３２人目の素数さん

2007/05/15(火) 11:47:45

>>12は宿題じゃないだろ、こんな変な問題出す奴見たこと無い
>>22も宿題じゃないな、こんなのほとんど定義なので、宿題ではださない

0025１３２人目の素数さん

2007/05/15(火) 22:47:20

>>1
（証明）
√5が有理数であると仮定する。
√5が有理数であることから、　√5=a/b　とおける。ただし、a/bは既約分数とする。
√5b=a
両辺を二乗する。
5b＾2=ａ＾2
これより、a＾2は5の倍数である。ｎの２乗が5の倍数ならば、nも５の倍数であることから、
a=5k　とおける。
5b＾2=（5k）＾2
5b＾2=25k＾2
b＾2=5k＾2
したがって、b＾2も5の倍数である。このことから、bも5の倍数である。
a　も　b　も5の倍数であることから、a/b　は5で割り切れる。
しかし、これはa/b が既約分数であることと矛盾する。
したがって、√5は無理数である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Q.E.D.）

0026１３２人目の素数さん

2007/05/16(水) 01:52:26

fn(x)＝Σ[i＝0～n](－x)^n , f(x)＝1/(1＋x) (x∈[0,1])とおく。ルベーグの
収束定理を用いてlim[n→∞]∫[0,1]fn(x)dx＝∫[0,1]f(x)dx となることを示し、
Σ[i＝1～∞]{(－1)^(i－1)}/i＝log2 を導け。

a.e という概念の有り難さを感じた。

0027１３２人目の素数さん

2007/05/16(水) 11:00:32

いずれにしても

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0028１３２人目の素数さん

2007/05/17(木) 00:24:05

>>27
理由を聞きたいage

0029１３２人目の素数さん

2007/05/17(木) 19:09:23

何でも終了させたい厨なので理由なんて無い

0030１３２人目の素数さん

2007/05/17(木) 23:10:55

>>26を誰か証明してくれage

0031１３２人目の素数さん

2007/05/21(月) 23:34:08

難しすぎて、わかりません。＞＞26さんは、よっぽどの
つわものですね。

0032１３２人目の素数さん

2007/05/22(火) 00:01:40

は？明らかじゃん。

0033１３２人目の素数さん

2007/05/26(土) 04:13:43

どこが明らかなの？だったらここでサクっと導いてみてよ。
高飛車になるのはみっともないゾ。

0034１３２人目の素数さん

2007/05/26(土) 05:37:45

>>26
「微積分　基礎の極意」という本に載ってた．

>>32
人による．

0035１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 13:00:48

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0036１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 18:45:36

>>34さんにちょっと質問。ルベーグ積分って微積分（しかも基礎）の範囲
に入るんですか？どうも納得いかないんですけど…。

0037１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 18:56:05

リーマン積分版の収束定理を証明すればいいんじゃね？

Iを有界な閉区間とし、fn,f：I → Rはリーマン可積分な関数とする。
さらに、ある定数Mが存在して
|fn(x)|≦M (∀n,有限個のxを除いた全てのx)
lim[n→∞]fn(x)＝f(x)　(有限個のxを除いた全てのx)
が成り立つとする。このとき、lim[n→∞]∫[I]fn(x)dx＝∫[I]f(x)dxが成り立つ。

たぶん正しいと思う。誰か証明しる。

0038１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 19:04:36

いやいや…いわゆる「ルベーグの収束定理」を使えば、正しいに決まってるか。
問題は、リーマン積分の範囲の手法だけを用いて証明できるかどうかだな…

0039１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 21:37:15

大学入試問題なんだが

0040１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 21:44:17

>>39
何も分かってないオマエはもう消えていい。

0041１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 21:59:51

>>40
|∫[0,1]fn(x)dx　-∫[0,1]f(x)dx|≦1/(n+2)
くらいすぐ出るだろ

0042１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 22:05:14

f(x)=納k=0,∞]ak*exp(kx) と展開できるためのf(x)の条件とanを求めよ。

0043１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 22:23:09

>>41
ルベーグの収束定理を使って証明せよ、という問題で
「 |∫[0,1]fn(x)dx　-∫[0,1]f(x)dx|≦1/(n+2) くらいすぐ出るだろ」
と言ったところで意味が無い。

0044１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 23:38:51

>>43
それをなんで>>37-38に言わなかったの？

0045１３２人目の素数さん

2007/05/27(日) 23:55:39

>>44
>>37-38は>>36に対してのレスであって、>>26に対してのレスじゃないだろ。

0046１３２人目の素数さん

2007/05/28(月) 00:03:14

悪問にマジになっても仕方あるまいｗ

0047１３２人目の素数さん

2007/05/28(月) 00:09:26

私のために喧嘩しないで＞＜

0048１３２人目の素数さん

2007/06/21(木) 13:16:43

保守

0049１３２人目の素数さん

2007/06/26(火) 15:21:17

>>37

この場合、fn の極限 f がリーマン可積分であると言う保証が無い。
たとえば、I 内の有理数全体を (r_n) と並べて、

f_n (r_i) = 1 (i＜n)
f_n (x) = 0 (x≠r_i, 1≦i＜n )

と置けば、f_n の極限は、よく知られた Diricret の関数になる。

0050１３２人目の素数さん

2007/06/26(火) 18:39:18

>>47
(♯＾ω＾)ﾋﾞｷﾋﾞｷ

0051１３２人目の素数さん

2007/06/26(火) 21:26:48

よし、じゃあいっちょ東大過去問でも出すか

2次方程式 x~2-4x-1=0の2つの実数解のうち大きいものをα、小さいものをβとおく。
n=1,2,3,･････に対しSn=α~n+β~nとおく

(1) S1,S2,S3を求めよ。またn>=3に対し、SnをSn-1とSn-2で表せ。
(2)β~3以下の最大の整数を求めよ
(3)α~2003以下の最大の整数の一の位の数を求めよ。

まぁこの板の住人なら簡単すぎる問題だろ

0052１３２人目の素数さん

2007/06/26(火) 21:33:39

(1) をやってみた

αβ = -1
S1 = α+ β = 4
S2 = α^2 + β^2 = (α+β)^2 - 2αβ = 16 - 2 * (-1) = 18
S3 = α^3 + β^3 = (α+β)(α^2+β^2-αβ) = 4 * (18 - (-1)) = 76
Sn = α^n + β^n = (4α+1)α^(n-2) + (4β+1)β^(n-2) = 4S_{n-1} + S_{n-2}

0053１３２人目の素数さん

2007/06/26(火) 22:28:39

(2)
x~2-4x-1=0
α=2+sqr(5)　β=2-sqr(5)
-1<β<0
-1<β~3<0よりβ~3以下の最大の整数＝ -1

0054１３２人目の素数さん

2007/06/26(火) 22:35:54

(3)
-1<β~(2n+1)<0　0<β~(2n)<1
α~2003 = S_{2003} + c (0<c<1) と表せる

>>52がSn = 4S_{n-1} + S_{n-2}を示したから
Snの下一桁はn=1から4,8,6,2,4,8,6,2,...と繰り返す
S_{2003}の下一桁は6
α~2003以下の最大の整数の一の位は6

0055１３２人目の素数さん

2007/06/27(水) 07:08:36

x~2-4x-1=0
x^2=4x+1
x^2n=(4x+1)^n=a2nx+b2n
x^2n+1=x(4x+1)^n=a2nx^2+b2nx=(4a2n+b2n)x+(a2n+b2n)=a2n+1x+b2n+1
a2n+1=4a2n+b2n
b2n+1=a2n+b2n

0056１３２人目の素数さん

2007/06/27(水) 07:42:50

>>51なんだけど
ｺﾞﾒﾝ、証明問題出さないといけないのに証明問題じゃないの出してた。
申し訳ない

0057１３２人目の素数さん

2007/07/01(日) 14:11:04

使われてないよりましだからおｋじゃない？

0058１３２人目の素数さん

2007/07/23(月) 21:11:40

質量を持ったものが光速を超えられないことを証明せよ。

0059１３２人目の素数さん

2007/07/23(月) 21:16:54

数学的には質量をもったものが光速を超えようが
時速100000000000000000000000000000000000キロメートルだそうがなんら問題は無い。

0060１３２人目の素数さん

2007/08/31(金) 18:15:14

0061１３２人目の素数さん

2007/10/30(火) 12:07:05

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