不等式への招待 第３章
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0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0993１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 21:11:29とりあえず、1. の方だけ。
A=y-x B=z-y とおいて式を整理すると、
xy^2 - x^2y + yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x
= xyA + yzB - zx(A+B) = x(y-z)A + z(y-x)B = (z-x)AB > 0
0994１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 22:57:05すまぬ、こう書きたかった…
0 < a, b, c, d < 1 のとき、以下の不等式を示せ！
(1) 1+ab > a+b
(2) 1+2abc > ab+bc+ca
(3) 1+3abcd > abc+abd+acd+bcd
0995１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 22:57:201. x<y<zより 0<y-x, z-y, z-x なので乗じて (y-x)(z-y)(z-x)>0．
これを展開すれば与式となる．
2. 1<a<b<c の自然対数(常用対数でも可)をとって 0<log a<log b<log c
それぞれx,y,zと見立てて 第1式に代入し, logA-logB＝log(A/B) という規則を用いたのち， (log a)(log b)(log c)>0 で両辺割れば
{log(c/b)}/log(a)+{log(a/c)}/log(b){log(b/a)}/log(c)>0
最後に logB/logA＝log[A](B) という規則を用いれば与式となる．
0996１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 00:40:43(1) 1+ab > a+b：
(1-a)(1-b)>0を展開．
(2) 1+2abc > ab+bc+ca
(1)式両辺にcを乗じると c+abc > ca+bc=(与右辺)-ab
両辺に (1-c+abc) を足すと (与左辺)>(与右辺)-ab+(1-c+abc)
最後の部分 abc+1-ab-c は(1)を用いると0より大きいので，結局上式の右辺は与右辺より大きくなり(2)が成立．
(∵ 0<a,b,c<1より0<ab,c<1)
一般化すると
1+(n-1)(a1a2…an)>Σ[j=1,n]{(a1a2…an)/aj} (0<ai<1) ――― (*)
右辺は a1〜an の積が1項欠けたモノの和．
帰納法で示す．n=2 の場合は(1)で示した．
今 n で成り立つとする．
(*)の両辺に a(n+1) を乗じると
a(n+1)+(n-1)(a1a2…an･a(n+1)) > a(n+1) {Σ[j=1,n]{(a1a2…an)/aj}} = Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}-(a1a2…an)
両辺に 1-a(n+1)+(a1a2…an･a(n+1) を足すと
(左辺)=1+n(a1a2…an･a(n+1))
(右辺)=Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}+[1+(a1a2…an･a(n+1)-a(n+1)-(a1a2…an)]
0<ai<1 より 0<a(n+1),(a1a2…an)<1 がいえて，右辺第2項に(1)を用いれば
(右辺)＞Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}
以上合わせて 1+n(a1a2…an･a(n+1))>Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}
となり n+1 でも成立
【コメント】
(2)(3)ともにaについて整理してて，前の結果を変形してやれば (n-1)(a1a2…an) が出ることに気付いた．
(a1a2…an) 足りないけど気にせずやってたらいい感じに．
0997１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 05:00:000998１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 05:01:000999１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 05:02:001000１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 05:03:001001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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