不等式への招待 第３章
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0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0989１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 05:00:000990１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 16:37:06nは正整数
0<a[i]<1で
n-1+Π[k=1_n]a[k]≧Σ[k=1_n]a[k]
と言いたかったのかな
0991１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 18:45:57俺はこう思った
1+ab>2(a+b)/2
1+abc>2(ab+bc+ca)/3
1+abcd>2(abc+abd+acd+bcd)/4
1+abcde>2(abcd+abce+abde+acde+bcde)/5
0992１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 20:46:561. x<y<zのときxyy-xxy+yzz-yyz+zxx-zzx>0を示せ
2. 1<a<b<cのとき log[a](c/b)+log[b](a/c)+logc[b/a]>0を示せ.
解答では1.でxについて整理、2.では1.を利用としています.
ここの住人の方々にエレガントで驚愕できる美しい解答をお願いしたいです.
0993１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 21:11:29とりあえず、1. の方だけ。
A=y-x B=z-y とおいて式を整理すると、
xy^2 - x^2y + yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x
= xyA + yzB - zx(A+B) = x(y-z)A + z(y-x)B = (z-x)AB > 0
0994１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 22:57:05すまぬ、こう書きたかった…
0 < a, b, c, d < 1 のとき、以下の不等式を示せ！
(1) 1+ab > a+b
(2) 1+2abc > ab+bc+ca
(3) 1+3abcd > abc+abd+acd+bcd
0995１３２人目の素数さん
2009/06/18(木) 22:57:201. x<y<zより 0<y-x, z-y, z-x なので乗じて (y-x)(z-y)(z-x)>0．
これを展開すれば与式となる．
2. 1<a<b<c の自然対数(常用対数でも可)をとって 0<log a<log b<log c
それぞれx,y,zと見立てて 第1式に代入し, logA-logB＝log(A/B) という規則を用いたのち， (log a)(log b)(log c)>0 で両辺割れば
{log(c/b)}/log(a)+{log(a/c)}/log(b){log(b/a)}/log(c)>0
最後に logB/logA＝log[A](B) という規則を用いれば与式となる．
0996１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 00:40:43(1) 1+ab > a+b：
(1-a)(1-b)>0を展開．
(2) 1+2abc > ab+bc+ca
(1)式両辺にcを乗じると c+abc > ca+bc=(与右辺)-ab
両辺に (1-c+abc) を足すと (与左辺)>(与右辺)-ab+(1-c+abc)
最後の部分 abc+1-ab-c は(1)を用いると0より大きいので，結局上式の右辺は与右辺より大きくなり(2)が成立．
(∵ 0<a,b,c<1より0<ab,c<1)
一般化すると
1+(n-1)(a1a2…an)>Σ[j=1,n]{(a1a2…an)/aj} (0<ai<1) ――― (*)
右辺は a1〜an の積が1項欠けたモノの和．
帰納法で示す．n=2 の場合は(1)で示した．
今 n で成り立つとする．
(*)の両辺に a(n+1) を乗じると
a(n+1)+(n-1)(a1a2…an･a(n+1)) > a(n+1) {Σ[j=1,n]{(a1a2…an)/aj}} = Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}-(a1a2…an)
両辺に 1-a(n+1)+(a1a2…an･a(n+1) を足すと
(左辺)=1+n(a1a2…an･a(n+1))
(右辺)=Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}+[1+(a1a2…an･a(n+1)-a(n+1)-(a1a2…an)]
0<ai<1 より 0<a(n+1),(a1a2…an)<1 がいえて，右辺第2項に(1)を用いれば
(右辺)＞Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}
以上合わせて 1+n(a1a2…an･a(n+1))>Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}
となり n+1 でも成立
【コメント】
(2)(3)ともにaについて整理してて，前の結果を変形してやれば (n-1)(a1a2…an) が出ることに気付いた．
(a1a2…an) 足りないけど気にせずやってたらいい感じに．
0997１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 05:00:000998１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 05:01:000999１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 05:02:001000１３２人目の素数さん
2009/06/19(金) 05:03:001001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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