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不等式への招待 第３章

レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001１３２人目の素数さん2007/05/13(日) 05:00:00
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド （Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
09609592009/06/13(土) 00:42:37
>>957 上
　a^3 + b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
　≧ 3{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2　　　　　　　　　　(← a,b,c≧1)
　≧ (1/a + 1/b + 1/c){[(a-b)/ab]^2 + [(b-c)/bc]^2 + [(c-a)/ca]^2}/2　　(← 1≧1/a,1/b,1/c)
　= 1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) - 3/(abc),

>>957 下
　√a = A, √b = B, √c = C とおくと、
　(左辺)*(a-c) = (A-C)(A+B+C)/{(A+B)(B+C)ABC},
　(左辺) = (A+B+C)/{(A+B)(B+C)(C+A)ABC} >0,
0961１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 02:28:42
f(a)=f(b)=0
f’’(x)≧0 （a≦x≦b）
なら，なぜ
f(x)≦0 （a≦x≦b）なんですか？
0962１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 02:50:39
不等式ヲタ＝関数方程式ヲタ＝整数ヲタ＝ＣのΣヲタ
0963１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 03:45:15
>>961
ほとんど明らか
0964１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 04:49:24
π＞3.05であることを示せ。
0965１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 05:37:48
>>962
ほとんど明らか
0966１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 09:33:18
>>961
ロルの定理から、
　f '(ξ) = 0,
なるξが (a,b) にある。
　a<x≦ξ では f '(x) = f '(ξ) -∫[x,ξ] f "(x)dx ≦ f'(ξ) = 0,
　　　　　　f(x) = f(a) + ∫[a,x] f '(y)dy ≦ f(a) = 0,
　ξ≦x<b では f '(x) = f '(ξ) +∫[ξ,x] f "(x)dx ≧ f'(ξ) = 0,
　　　　　　f(x) = f(b) - ∫[x,b] f '(y)dy ≦ f(b) = 0,
0967１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 13:18:11
これって入試にそのまま使っていいのか悩んだ記憶がある
0968１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 17:06:22
最近じゃヘロンの公式も入試で使っていいのかダメなのか議論されている
0969１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 17:47:53
使っていいに決まってんじゃん
0970１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 19:28:20
それが最近はダメだという意見もあるそうだ
0971１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 20:55:32
ロルの定理使ったらダメなら平均値の定理も使ったらダメになるwww
0972１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 23:09:24
>>970
どこのヌケ作が言っているんだ？ボケ！
0973１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 23:33:34
プロレスの三沢光晴さん、リングで頭強打し死亡

　１３日午後８時４５分頃、広島市中区の広島県立総合体育館グリーンアリーナで、
プロレスリング・ノアの試合中、社長でプロレスラーの三沢光晴さん（４６）が
相手選手にバックドロップをかけられ、頭部を強打した。
　三沢さんは救急車で市内の病院に運ばれたが、間もなく死亡した。
　三沢さんは２代目タイガーマスクとして人気を集め、
全日本プロレスやプロレスリング・ノアで中心選手として活躍してきた。

（2009年6月13日23時24分 読売新聞）

http://www.yomiuri.co.jp/sports/news/20090613-OYT1T01053.htm?from=top
0974１３２人目の素数さん2009/06/13(土) 23:50:11
不等式で頭を挟み撃ちにされたわけだな
0975１３２人目の素数さん2009/06/14(日) 16:04:44
ロルの定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/ロルの定理
http://mathworld.wolfram.com/RollesTheorem.html
高木: 解析概論 (改訂第三版) 第2章, §18. 定理19, p.47 (1961) 岩波

ヘロンの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/ヘロンの公式
http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm
0976１３２人目の素数さん2009/06/14(日) 23:06:06
>>974
かわいいオニャノコに､挟み撃ちにされたいです
0977１３２人目の素数さん2009/06/15(月) 11:04:47
>>972
荒らすなヌケ作ボケ！
0978１３２人目の素数さん2009/06/15(月) 19:10:00
不等式への招待 第４章
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
0979１３２人目の素数さん2009/06/15(月) 23:24:53
nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ


Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds （t1≦t≦t2）
を満たすならば
f(t)≦Kexp(∫[t1→t]g(s)ds) （t1≦t≦t2）
が成り立つことを示せ
0980１３２人目の素数さん2009/06/16(火) 05:00:00
二年三十四日。
0981１３２人目の素数さん2009/06/16(火) 14:43:59
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ >>977,980
0982１３２人目の素数さん2009/06/16(火) 16:19:53
A,B,C>0，A+B+C=πのとき
sinA+sinB+sinC≦4sinAsinBsinC
を示せ
0983１３２人目の素数さん2009/06/16(火) 18:56:12
>>981
荒らすなヌケ作ボケ！
0984１３２人目の素数さん2009/06/16(火) 22:57:58
0 < a, b, c, d < 1 のとき、以下の不等式を示せ！

(1) 1+ab > a+b
(2) 1+abc > ab+bc+ca
(3) 1+abcd > abc+abd+acd+bcd
(4) 一般化せよ

お久しぶりです。( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ！
0985１３２人目の素数さん2009/06/16(火) 23:00:45
>>982
改造せずにはいられない… (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ

三角形ABCに対して、
0 < sin2A + sin2B + sin2C < sinA + sinB + sinC ≦ (3√3)/2
0986１３２人目の素数さん2009/06/17(水) 05:00:00
二年三十五日。
0987１３２人目の素数さん2009/06/17(水) 21:37:10
>>982

相乗･相加平均 と 上に凸 より
　{sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)}^(1/3) ≦ {sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2)}/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = sin(π/6) = 1/2,
∴　1 ≧ 8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),
∴　sin(A) + sin(B) + sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) ≧ 4sin(A)sin(B)sin(C),
　(不等号が逆向き････)

>>985
(左側&中央)
　sin(2A) + sin(2B) + sin(2C) = 4sin(A)sin(B)sin(C),

(右側)　sin は上に凸だから
　sin(A) + sin(B) + sin(C) ≦ 3sin((A+B+C)/3) = 3sin(π/3) = (3√3)/2,
0988１３２人目の素数さん2009/06/18(木) 00:49:47
>>984
成り立たない
0989１３２人目の素数さん2009/06/18(木) 05:00:00
二年三十六日。
0990１３２人目の素数さん2009/06/18(木) 16:37:06
>>984
nは正整数
0<a[i]<1で
n-1+Π[k=1_n]a[k]≧Σ[k=1_n]a[k]
と言いたかったのかな
0991１３２人目の素数さん2009/06/18(木) 18:45:57
>>990
俺はこう思った
1+ab>2(a+b)/2
1+abc>2(ab+bc+ca)/3
1+abcd>2(abc+abd+acd+bcd)/4
1+abcde>2(abcd+abce+abde+acde+bcde)/5
0992１３２人目の素数さん2009/06/18(木) 20:46:56
新数学スタンダード演習にあった問題です
1. x<y<zのときxyy-xxy+yzz-yyz+zxx-zzx>0を示せ
2. 1<a<b<cのとき　log[a](c/b)+log[b](a/c)+logc[b/a]>0を示せ.
解答では1.でxについて整理、2.では1.を利用としています.
ここの住人の方々にエレガントで驚愕できる美しい解答をお願いしたいです.
0993１３２人目の素数さん2009/06/18(木) 21:11:29
>>992
とりあえず、1. の方だけ。
A=y-x B=z-y とおいて式を整理すると、
xy^2 - x^2y + yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x
= xyA + yzB - zx(A+B) = x(y-z)A + z(y-x)B = (z-x)AB > 0
0994１３２人目の素数さん2009/06/18(木) 22:57:05
>>984
すまぬ、こう書きたかった…

0 < a, b, c, d < 1 のとき、以下の不等式を示せ！

(1) 1+ab > a+b
(2) 1+2abc > ab+bc+ca
(3) 1+3abcd > abc+abd+acd+bcd
0995１３２人目の素数さん2009/06/18(木) 22:57:20
ダメだ，対称性がありすぎて普通にしか解けん．．．

1. x<y<zより 0<y-x, z-y, z-x なので乗じて (y-x)(z-y)(z-x)>0．
これを展開すれば与式となる．

2. 1<a<b<c の自然対数(常用対数でも可)をとって 0<log a<log b<log c
それぞれx,y,zと見立てて 第1式に代入し, logA-logB＝log(A/B) という規則を用いたのち， (log a)(log b)(log c)>0 で両辺割れば
{log(c/b)}/log(a)+{log(a/c)}/log(b){log(b/a)}/log(c)>0
最後に logB/logA＝log[A](B) という規則を用いれば与式となる．
0996１３２人目の素数さん2009/06/19(金) 00:40:43
>>994
(1) 1+ab > a+b：
(1-a)(1-b)>0を展開．

(2) 1+2abc > ab+bc+ca
(1)式両辺にcを乗じると c+abc > ca+bc=(与右辺)-ab
両辺に (1-c+abc) を足すと (与左辺)>(与右辺)-ab+(1-c+abc)
最後の部分 abc+1-ab-c は(1)を用いると0より大きいので，結局上式の右辺は与右辺より大きくなり(2)が成立．
(∵ 0<a,b,c<1より0<ab,c<1)

一般化すると
1+(n-1)(a1a2…an)>Σ[j=1,n]{(a1a2…an)/aj} (0<ai<1) ――― (*)
右辺は a1〜an の積が1項欠けたモノの和．

帰納法で示す．n=2 の場合は(1)で示した．
今 n で成り立つとする．
(*)の両辺に a(n+1) を乗じると
a(n+1)+(n-1)(a1a2…an･a(n+1)) > a(n+1) {Σ[j=1,n]{(a1a2…an)/aj}} = Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}-(a1a2…an)
両辺に 1-a(n+1)+(a1a2…an･a(n+1) を足すと
(左辺)=1+n(a1a2…an･a(n+1))
(右辺)=Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}+[1+(a1a2…an･a(n+1)-a(n+1)-(a1a2…an)]
0<ai<1 より 0<a(n+1),(a1a2…an)<1 がいえて，右辺第2項に(1)を用いれば
(右辺)＞Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}
以上合わせて 1+n(a1a2…an･a(n+1))>Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}
となり n+1 でも成立

【コメント】
(2)(3)ともにaについて整理してて，前の結果を変形してやれば (n-1)(a1a2…an) が出ることに気付いた．
(a1a2…an) 足りないけど気にせずやってたらいい感じに．
0997１３２人目の素数さん2009/06/19(金) 05:00:00
二年三十七日。
0998１３２人目の素数さん2009/06/19(金) 05:01:00
二年三十七日一分。
0999１３２人目の素数さん2009/06/19(金) 05:02:00
二年三十七日二分。
1000１３２人目の素数さん2009/06/19(金) 05:03:00
二年三十七日三分。
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