不等式への招待 第３章
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0852１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 23:12:360853850
2009/04/07(火) 21:04:51ぢゃあ もう一題
〔問題322'〕
Let a,b,c be positive real numbers satisfying the condition a+b+c=s.
Prove that
(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ 2,
0854１３２人目の素数さん
2009/04/07(火) 23:31:17忙しいので、とりあえずﾊｧﾊｧしておく！
(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ…
＝（ｘ－１）（ｘ－４）（ｘ－９）（ｘ－１６）（ｘ－２５）／１２０ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）（ｘ＋５）。
0856１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 00:09:21？
0857１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 01:16:17a=b=c=1/2とかで不等式が成立しない気が
0858１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 23:41:08スマン。↓に訂正。
(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ (2/3)ｓ,
0859１３２人目の素数さん
2009/04/09(木) 19:57:31(pa-qb)/(a-b) =X, (pb-qc)/(b-c) =Y, (pc-qa)/(c-a) =Z,
とおくと、
X^2 + Y^2 + Z^2 = p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 ≧ p^2 + q^2,
本問では p=4, q=3,
0860１３２人目の素数さん
2009/04/09(木) 21:05:57(左辺)={a-abs/(as+bs+3ab)}+{b-bcs/(bs+cs+3bc)}+{c-cas/(cs+as+3ca)}
≧{a-(b+a+s/3)/9}+{b-(c+b+s/3)/9}+{c-(a+c+s/3)/9} (-調和≧-相加)
=(2/3)s
0861１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 16:55:30a≧b≧c,x≧y≧z,X≧Y≧Zのとき
a/(y+Z)+b/(z+X)+c/(x+Y)≧a/(x+X)+b/(y+Y)+c/(z+Z)
が成り立てば示せるが…
成り立つ？
0862１３２人目の素数さん
2009/04/11(土) 16:35:09X = {p+q+(p-q)x}/2, Y = {p+q+(p-q)y}/2, Z = {p+q+(p-q)z}/2,
とおくと
X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX)
= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX)
= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx)
= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1),
ところで、題意から
x = (a+b)(a-b), y = (b+c)/(b-c), z = (c+a)/(c-a),
∴ xy + yz + zx + 1 = 0,
0863１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 01:49:31３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ
ヘロンでどぞー
0864１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 02:05:160865１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 10:54:55⊿ = (1/2)ab･sin(C) = (1/2)bc･sin(A) = (1/2)ca･sin(B),
でも解けるお。
⊿ = (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3)
≦ (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 (相加･相乗平均)
≦ (1/2)(abc)^(2/3)･sin((A+B+C)/3) (0～πで上に凸)
= (1/2)(abc)^(2/3)･sin(π/3)
= (√3)/4･(abc)^(2/3), (等号成立はA=B=C(正三角形)のとき.)
⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
0866１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 11:52:00せっかくのヒントなのでヘロンで･････
本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
≦ √{s(s/3)^3} (相加･相乗平均)
= (1/√27)s^2
= (√3)/4･{(a+b+c)/3}^2
≦ (√3)/4･(abc)^(2/3), (相加･相乗平均)
⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
0867１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 11:54:39無視してください。
0868１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 11:55:550869１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 13:48:390870866
2009/04/18(土) 23:39:33せっかくのヒントなのでヘロンで･････
本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。また
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおく。
⊿ = √(su)
= {s･(√su)･u}^(1/3)
≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) (3su≦t^2)
≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) (*)
= (√3)/4･(abc)^(2/3),
※ st-u ≧ (8/9)st ≧ 8u より
st≦(9/8)(st-u), u≦(1/8)(st-u),
0871１３２人目の素数さん
2009/04/22(水) 19:51:53(1) 2数 x、y の和、積を考え
x+y=p、xy=q この p、q が共に整数ならば
x^n + y^n は整数であることを証明せよ。
(2) x>0、y>0 のとき
( (x+y)/2 )^n ≦ (x^n + y^n )/2 であることを証明せよ。
0872１３２人目の素数さん
2009/04/22(水) 20:57:26馬鹿か？
0873１３２人目の素数さん
2009/04/22(水) 22:15:48〔命題〕
a,b,c >0, x,y,z >0 のとき
f(x,y,z) = a/(b+cx) + b/(c+ay) + c/(a+bz) - 9/(x+y+z+3) ≧0,
が成り立てば示せるが…
成り立つ？
f(0,0,0) = (a/b) + (b/c) + (c/a) -3 ≧0,
x,y,z のいずれかが∞となるとき、(右辺) → 0 で成立。
f(,,)に極値があるとすれば
∂f/∂x = -ca/(b+cx)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
∂f/∂y = -ab/(c+ay)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
∂f/∂z = -bc/(a+bz)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
b+cx >0, c+ay >0, a+bz >0, x+y+z+3 >0 から
a/(b+cx) = 3{√(a/c)}／(x+y+z+3),
b/(c+ay) = 3{√(b/a)}／(x+y+z+3),
c/(a+bz) = 3{√(c/b)}／(x+y+z+3),
に限る。この点でf(,,)が極大なら (←これが問題だが････)
f(x,y,z) ≧ 3{√(a/c) + √(b/a) + √(c/b) -3}／(x+y+z+3) ≧0,
0874１３２人目の素数さん
2009/04/22(水) 23:47:37馬鹿か？
0875１３２人目の素数さん
2009/04/23(木) 08:55:270876１３２人目の素数さん
2009/04/23(木) 09:10:06ところSOS不等式って何ですか？
0877１３２人目の素数さん
2009/04/23(木) 10:24:04sum of squares inequality: Σa_k^2 ≧ 0
「任意の非負有理式は有理式の自乗和で書ける」というArtinの結果があるので，
有理式≧0 は，左辺を記述する有理式の自乗和を構成する方法で必ず証明できる．
（もちろん，それを見つけるのが簡単とか難しいとかはあるけれど）
0878１３２人目の素数さん
2009/04/23(木) 13:53:03SOS不等式ってもは初めて聞いたし、877の解説が面白くて、ネタに見えて仕方がないんだけど…
0879１３２人目の素数さん
2009/04/23(木) 15:32:04SOS不等式と呼ばれている不等式が何種類かあって紛らわしいから，
普通は前後の脈絡無しに「SOS不等式」って言うことはないんだけど，
最近最適化の専門家の間で >>877 の「SOS不等式」が盛んに研究されてて，
個人的にも今その辺がホットだから，勢いで書いちゃった．
数学的な内容としては >>877 の結果は正しくて，
特にここ10年くらいで，この方法を使った多項式の最小値を計算する
アルゴリズムが実用的になってきてる．
興味があるなら，古典的な話題はHilbertの第17問題で調べるとよくて，
最近は Pablo A. Parrilo って人が活発にやってる．
0880１３２人目の素数さん
2009/04/24(金) 00:09:49勉強になりますた！
0881１３２人目の素数さん
2009/05/07(木) 21:53:59xが自然数 のとき
3^(x-1) ≧ LCM(1,2,3,････,x) ≧ 2^(x-1),
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/857
東大入試作問者スレ１６
0882１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 03:29:09一応、有名不等式(Weighted AM-GM,Cauchy-schwartz,Holder,Rearrangement,
Jensen,Muirhead,Schur,etc...)などについての知識やその証明は理解したのですが
実際に問題に取り組む時に「どんな場合にどの有名不等式を用いるべきか」が見えてきません。
不等式が得意な方々の解法などを眺めていても妙に突拍子なアイディアにしか見えないんです。
数多くの問題に当たってるうちにこういう直観的なものは磨かれどれをいつ適用するかなど
見えてくるものなんでしょうか？
0883１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 03:44:16そうです！
甘ったれないで下さい！
0884１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 19:20:05職人芸修行 文献を大量に勉強してどの方法はどこで使うか博覧強記
イメージ戦略 解きたい問題が解けると信じる直観的理由と同じ意味の不等式を利用
試行錯誤 各場面毎に片端から使って出てくる不等式をノートに蓄積
他にもあるが時間が無くなったので
0885１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 23:26:18とりあえず、片っ端から不等式とその証明（別解も全て）をコレクションし、Texでまとめるんだ！
0886１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 23:31:21休憩が終わったら、他スレの不等式をここに貼る作業に戻るんだ！
>>882
休憩が終わったら、刺身の上にタンポポを乗せる仕事に戻るんだ！
>>884
休憩が終わったら、不等式を証明する作業に戻るんだ！
>>885
休憩が終わったら、不等式まとめサイトを更新する作業に戻るんだ！
>>886
休憩が終わったら、不等式を収集する作業に戻るんだ！
0887１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 03:49:35SOS を具体的に用いて解いた解法は >>699 にありますよ。
簡単に言ってしまえば SOS ineq は
それぞれ S[a], S[b], S[c] は a, b, c の関数とし,
S = f(a, b, c) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
とおいたとき, S≧0 を証明するために使われる手法です。
>>887, >>889 で言われているものも SOS ineq ですが, >>876 さんが知りたいのはこういう類の方の ineq ですよね？
0888１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 21:46:04a,b,c,p,q >0, 1/2 ≦ p/q ≦ 2 のとき
a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) ≧ (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
≧ (1/3)(a+b+c){1/(pb+qc) + 1/(pc+qa) + 1/(pa+qb)}
≧ 3/(p+q),
(Shapiro不等式の一拡張)
0889１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 21:59:17見かけほど難しくない(?)
左側:
a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) - (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
= {(2p-q)(2q-p)F_1 + (p+q)(2p-q)G + (p+q)(2q-p)H}/{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} ≧ 0,
ここに
F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0,
G = F_1 + (st-9u+3⊿)/2 = a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,
H = F_1 + (st-9u-3⊿)/2 = a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + c(c-b)^2 ≧ 0,
ここに
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, 基本対称式
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a), 差積
中央と右側:
pb+qc = x, pc+qa = y, pa+qb = z, とおく。
a+b+c = (x+y+z)/(p+q),
よって 相加･調和平均より
(x+y+z)^3 /(9xyz) = (x+y+z){F_0 + 3(xy+yz+zx)}/(9xyz) ≧ (1/3)(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) ≧ 3,
これを (p+q) で割る。ここに
F_0 = (x-y)(x-z) + (y-z)(y-x) + (z-x)(z-y)
= (x^2 + y^2 + z^2) - (xy+yz+zx)
= (1/2){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
0890１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 20:17:25(n+2)角形A1A2……AnA(n+1)A(n+2)について、面積をS
正整数kに対して辺AkA(k+1)の長さをx(k)とする。
このとき
納k=1_n] {(k^2-k+1)*(x(k))^2} + n*x(n+1)^2 ≧4S
を示せ。
0891１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 20:28:43正の実数a,b,cに対して不等式
a／{(s/3)+2b} + b／{(s/3)+2c} + c／{(s/3)+2a} ≧ 1,
が成立することを示せ。 ただし、s = a+b+c.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/895
東大入試作問者スレ１６
a/{(s/3) +2b} = a/{s +2(b -s/3)} ≧ a{s -2(b -s/3)}/(s^2) = a(5s-6b)/(3s^2),
巡回的にたす。
(左辺) ≧ {5s^2 -6(ab+bc+ca)}/(3s^2) = (3s^2 +2F_0)/(3s^2) ≧ 1,
ここに
F_0 = s^2 - 3(ab+bc+ca) = (a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
0892１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 22:56:21つ problem.322
ttp://www.math.ust.hk/excalibur/v14_n1.pdf
0893１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 02:26:44ab+bc+ca ≦ (1/3)s^2,
f(x) = 1/{(s/3)+2x} は単調減少かつ下に凸。
(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ s･f((ab+bc+ca)/s) ≧ s･f(s/3) = 1,
0894１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 02:34:510895１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 03:26:07(n+2)角形 A1A2……AnA(n+1)A(n+2) について、面積をS,
正整数kに対して、辺AkA(k+1) の長さをx(k)とする。(1≦k≦n+1)
このとき
(1/2)納1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,
を示せ。
0896１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 05:00:000897１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 23:27:15180度より大きい内角が存在するような図形も考慮するの？
0898１３２人目の素数さん
2009/05/16(土) 15:02:41Problem 322.
a+b+c=3 のとき、
a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,
(略証)
a+b+c=s とする。
D = (a+b+ab)/(b+1) + (b+c+bc)/(c+1) + (c+a+ca)/(a+1)
= (a+1) -1/(b+1) + (b+1) -1/(c+1) + (c+1) -1/(a+1)
= s + 3 -1/(a+1) -1/(b+1) -1/(c+1),
ところで、
1/(x+1) = 1/{2 + (x-1)} ≧ (1/4){2 - (x-1)} = (3-x)/4,
より
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ (9-s)/4,
あるいは、y=1/(x+1) は下に凸だから、
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ 3/(s/3 +1) = 9/(s+3),
よって
D ≦ s+3 - (9-s)/4 = (5s+3)/4 = 9/2, あるいは
D ≦ s+3 - 9/(s+3) = 9/2,
コーシー不等式より
(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(5s+3)/4} = 2, あるいは
(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(s+3) -9/(s+3)} = 2,
0899１３２人目の素数さん
2009/05/16(土) 15:58:00Problem 322.
a,b,c>0, a+b+c=3 のとき、
a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,
(略証)
xy ≦ (1/4)(x+y)^2, より
(左辺) = (a-1) + (a+b)/(a+b+ab) + (b-1) + (b+c)/(b+c+bc) + (c-1) + (c+a)/(c+a+ca)
= s-3 +(a+b)/(a+b+ab) + (b+c)/(b+c+bc) + (c+a)/(c+a+ca)
≧ s-3 + 1/{1 + (a+b)/4} + 1/{1 + (b+c)/4} + 1/{1 + (c+a)/4}
≧ s-3 + 9/(3 + s/2) (← 相加･調和平均)
= 2,
0900１３２人目の素数さん
2009/05/16(土) 16:43:25凸でない場合は、凸でない部分を折り返すことで
辺の長さの構成を変えずにより面積を大きくできるので
凸の場合を考えればよい。
(n+2)角形を、点A1を端点の一つとする対角線で分割し
それぞれで三角不等式を用いて上からおさえれば示せる。
0901１３２人目の素数さん
2009/05/16(土) 18:33:49正解でつ!!
三角形 Ａ1ＡjＡ(j+1) の面積は
(1/2)Ａ1Ａj･x_j･sin(∠Ａ1ＡjＡ(j+1)) ≦ (1/2)Ａ1Ａj･x_j ≦ (1/2){x_1 + x_2 + ･････ + x_(j-1)}x_j
これを j=2 から j=n+1 までたす。
x_(n+2) を含まないところがミソ。この辺が重なるように2つ並べると･･･
〔系〕
点対称または線対称な2n+2角形の 面積を S, 周長を
L = 2(x_1 + x_2 + ･････ + x_n + x_(n+1)),
とすると、
{n/(8(n+1))}L^2 ≧ 納1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,
※ 等周問題からは {1/(4π)}L^2 ≧ S, (等号成立は円のとき)
0902１３２人目の素数さん
2009/05/26(火) 03:04:31Π(k=0_n) 1/{1+a^(2^k)}{1+b^(2^k)}{1+c^(2^k)} ＞ 8abc
を示せ。
0903１３２人目の素数さん
2009/05/26(火) 09:33:40難解すぐる…
0904１３２人目の素数さん
2009/05/26(火) 21:46:19左辺に
1 + a^(2^k) = {1 - a^(2^(k+1))}/{1 - a^(2^k)}, 等
を代入して
Π(k=0,n) 1/{1 + a^(2^k)} = (1-a)/{1 - a^(2^(n+1))} > 1-a, 等(0<a,b,c<1)
ここで a+b+c = s とおくと、
(左辺) - (右辺) > (s-a)(s-b)(s-c) - 8abc
= s(ab+bc+ca) - 9abc
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,
ハｧハｧ
0905１３２人目の素数さん
2009/05/27(水) 01:16:53ふ、ふつくしい…
0906１３２人目の素数さん
2009/05/27(水) 02:20:23(1/a^2+1/b^2+1/c^2)(a^2+b^2)≧5
を示せ。
0907１３２人目の素数さん
2009/05/27(水) 02:39:42a,bを固定すると、c^2が最大のとき左辺は最小。
鈍角が無いからc^2=a^2+b^2が最大値である。
一般性を失うことなくa^2+b^2=1とすると、
左辺=1/a^2+1/b^2+1 なので、
a^2=b^2=1/2のときに最小値を取る。
0908１３２人目の素数さん
2009/05/27(水) 07:01:24左辺に c^2 がないから、タイプミスかと思っていたぜ…
0909１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 01:42:000910１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 05:48:50全てだ！
0911１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 15:20:08z/(y-x)≧4
を示せ。
0912１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 15:29:02xy(y-x)≦1/4 を示せばよいことがわかる。
相加相乗平均の関係式より x(y-x)≦y^2/4 なので、
xy(y-x)≦y^3/4≦1/4.
0913１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 19:58:50nが自然数のとき、
√(2π)･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。
できれば代数的に･･･
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/50
東大入試作問者スレ１７
0914１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 22:08:23代数的とは？
0915１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 22:50:08ビブンのことはしない、ってことぢゃね？
0916１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 23:07:100917１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 23:42:26expをどうやって定義しようか。
0918１３２人目の素数さん
2009/05/29(金) 05:18:05オイラーの無限解析に書いてあるよとか確認せずに言って見るテスト
0919１３２人目の素数さん
2009/05/29(金) 06:10:07責任もって確認してくるように！
0920１３２人目の素数さん
2009/05/30(土) 23:38:14ノート派ですか？ルーズリーフですか？
□□□示すべき不等式□□□
（証明）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
（証明2）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
こんな感じで書いてるんですが、皆さんはどうですか？
0921１３２人目の素数さん
2009/05/30(土) 23:56:10TeXで書いて、別の証明があったら付け加えて…、の繰り返しだわな… ( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ！
0922１３２人目の素数さん
2009/05/31(日) 00:48:23（a＾a）（b＾b）（c＾c）≧（abc）＾2
0923１３２人目の素数さん
2009/05/31(日) 08:50:57たいすうとってちぇびしぇふ
0924１３２人目の素数さん
2009/05/31(日) 10:07:41なるほど，上手いね！
0925１３２人目の素数さん
2009/05/31(日) 23:08:05は C≦90ﾟ ならおk.
蛇足だが、C>90ﾟ も許すと、
(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)(a^2 + b^2) > 9/2,
(略証)
コーシーより
(1/a^2 + 1/b^2)(a^2 + b^2) = 4 + (a/b - b/a)^2 ≧ 4,
c<a+b より
c^2 < (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2) - (a-b)^2 ≦ 2(a^2 + b^2),
(1/c^2)(a^2 + b^2) > 1/2,
0926１３２人目の素数さん
2009/06/01(月) 03:22:29ルーズリーフに大きく不等式を書いてセクションみたくして
次ページから証明を書けばよい
そうすれば後から追加し放題じゃね？
0927１３２人目の素数さん
2009/06/01(月) 14:42:43なるほどなー
TeXが使えなかったら、きっとそうしていたね！
0928926
2009/06/02(火) 10:42:43ただしページが倍になる．．．
0929１３２人目の素数さん
2009/06/02(火) 22:12:20C≧90ﾟ のときは
cos(C) ≦ 0,
c^2 = a^2 + b^2 -2ab･cos(C) ≦ {1-cos(C)}(a^2 +b^2), 第二余弦定理
(1/c^2)(a^2 + b^2) ≧ 1/{1-cos(C)},
(906の左辺) ≧ 4 + 1/{1-cos(C)},
0930１３２人目の素数さん
2009/06/02(火) 22:15:36？？？
0931926
2009/06/02(火) 22:35:55>>926>>928方式だと
ルーズリーフの
1枚目表： 不等式(1)
2枚目表： 証明(1)
・・・3枚証明に割く・・・
5枚目表： 証明(2)
・・・2枚証明に割く・・・
7枚目表： 不等式(2)
8枚目表： 証明(1)
・・・以下続く・・・
不等式(1)の証明が増えたら，7枚目の前に入れていく．
セクションとは区切りね．不等式ごとに区切る．物理的という意味ではないが，目印として付箋貼っとくとかインデックスシール貼るとか，そのまんまルーズリーフ区切り入れるとか
0932１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 02:06:48どのくらいのレベルの不等式から取捨選択するかによって大きく異なりそう
長方形ABCDの辺AD,CD(頂点は除く)上にそれぞれ点P,Qをとる
PB+PQ<AB+AQ
a,b,cは自然数とする
2^(a+b)+2^(b+c)+2^(c+a)≧2^(a+b+c+1)+1
0933１３２人目の素数さん
2009/06/04(木) 01:12:43(略証)
A,B,C≧0 のとき
(2+A)(2+B)(2+C) +4 -(2+A)(2+B) -(2+B)(2+C) - (2+C)(2+A) = AB+BC+CA + ABC ≧ 0,
0934１３２人目の素数さん
2009/06/05(金) 23:06:39／ ＼ 宿題が終わらないお
／ _ノ ヽ､_ ＼
／ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ＼
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／´ ｀＼
/ / l l .＿＿＿
＿_l l_¶＿＿＿＿＿＿/＿/＿_/ ヽ
＼, ´-'ヽ ￣|￣￣￣￣| l二二二二l
ヾ＿ノ | '''' ' | l二二二二l
| 9=ε-8. | '''..-- | l二二二二l:::..
| ..'' | ''-. ,|
0935１３２人目の素数さん
2009/06/06(土) 00:57:382^(a+b)φ(c) + 2^(b+c)φ(a) + 2^(c+a)φ(b) ≦ 2^(a+b+c) + 4φ(a)φ(b)φ(c),
(略証)
2^a - 2φ(a) = A, 2^b -2φ(b) = B, 2^c -2φ(c) = Cとおくと、
題意により A,B,C≧0,
2^(a+b+c) + 4φ(a)φ(b)φ(c) - 2^(a+b)φ(c) - 2^(b+c)φ(a) - 2^(c+a)φ(b)
= {2φ(a)+A}{2φ(b)+B}{2φ(c)+C} + 4φ(a)φ(b)φ(c) - φ(c){2φ(a)+A}{2φ(b)+B} - φ(a){2φ(b)+B}{2φ(c)+C} - φ(b){2φ(c)+C}{2φ(a)+A}
= ABφ(c) + BCφ(a) + CAφ(b) +ABC ≧ 0,
(例)
φ(x) = 1, x, (x^2 -x+2)/2, ･････, Σ[k=0,n] Ｃ[x-1,k], ････
0936１３２人目の素数さん
2009/06/06(土) 14:43:04辺CD上に、CA '= QD なる点A 'をとる。
辺CDの延長線上に、B 'D = DQ なる点B 'をとる。
A 'B '= AB かつ A 'B '//BA ゆえ、ABA 'B 'は平行4辺形。
AD上の点Pは、その内部にある。〔系〕により
BP ＋PB '< BA + AB ',
∴ BP ＋PQ < BA + AQ,
〔補題〕 点Pが △XYZ の内部にあれば PY + PZ < XY + XZ,
(略証) YPの延長線とXZの交点をP 'とおく。三角不等式により PY + PZ < P 'Y + P 'Z < XY + XZ,
〔系〕 点Pが 平行四辺形ABA 'B 'の内部にあれば、BP + PB ' < BA + AB ',
0937１３２人目の素数さん
2009/06/06(土) 15:04:12△PQR が △XYZ に含まれるならば PQ+QR+RP ≦ XY+YZ+ZX,
0938１３２人目の素数さん
2009/06/06(土) 23:09:59(・∀・) ｼﾞﾒｲ…のような気もするが・・・
0939１３２人目の素数さん
2009/06/06(土) 23:19:48△PQR を相似拡大して △XYZ に内接させる。
（△XYZ を相似縮小して △PQR に外接させる）
かな？
0940１３２人目の素数さん
2009/06/06(土) 23:40:00凸多角形の辺ＡＢのＡの側の延長と閉曲線の共有点の一つをＣ
Ｂの側の延長と閉曲線の共有点の一つをＤとすると
閉曲線のＣＤの部分を線分ＣＤに置き換えると閉曲線の長さは長くはならない。
この置き換えを凸多角形の全ての辺に対して順に行う。
最初の閉曲線の長さ≧最後の閉曲線の長さ＝凸多角形の周の長さ。
0941１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 01:01:29(1+x^2)/x(y+z)+(1+y^2)/y(z+x)+(1+z^2)/z(x+y)≧3
0942１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 01:12:45x,y,z≠0も追加で
0943１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 13:00:55>>941 で正の数x,y,z
っていってるから、
それはなくていいんでわ？
0944１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 20:48:48朝日新聞5月26日朝刊の6面に掲載された「核兵器をめぐる現状」という地図に「核保有５大国」にアメリカ、ロシア、イギリス、フランス、中国に赤色に染められているほか、
なんと台湾まで赤色になっているのだ。台湾は中国領土という見解なのか、6月5日に「おことわり」として紙面に掲載。その内容は以下のようなものだ。
おことわり
5月26日付「闇市場に関与指摘次々」の記事で核不拡散条約（NPT）で認められた核保有5大国などを地図に示しました。
その中で台湾については核保有国と同様の色分けでしたが、台湾は核兵器を保有していません。（原文ママ）
このことに疑問に思った購読者が朝日新聞に電話突撃攻撃。録音した内容を『YouTube』や『ニコニコ動画』にアップしている。
朝日新聞の対応も酷く受話器を放置してそのまま仕事をしたり「名前は名乗っていませんー」と名前も名乗らない対応。
電突者が「一流企業の広報とは思えない対応」というとその後は音信不通になりまたも受話器を放置される始末。
対応の状況をまとめると以下の様な感じだ。
・「おことわり」の意味を聞いても「読んで理解しろ」と言われる
・「おことわり」は訂正では無い（動画10:25～）
・ガキレベルの対応（動画10:25～）
・「ほかにも電話入っているので失礼します！」と強制的に切ろうとする（動画12:50）
・お名前は？ 「名前は名乗っておりませんー」（動画15:27）
19分と長い戦いになるが、この動画を観れば大企業、朝日新聞社の対応の凄さがわかるぞ。
何回も電話を掛け直し、この対応に耐え抜いた忍耐力は凄いものである。
http://news.livedoor.com/article/detail/4190772/
★動画：朝日新聞に電凸 ６月５日
http://www.nicovideo.jp/watch/sm7255107
http://www.youtube.com/watch?v=ThGlsJBtlM0 http://www.youtube.com/watch?v=WQxexTEOduQ
0945１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 01:26:51対称性から考えようとしたけどうまくいかない。。。
1/x + 1/y + 1/z -3 + 2/(1-x) + 2/(1-y) + 2/(1-z)
までは変形したんだけど
0946１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 02:20:00（１＋ｘ＾２）／ｘ（３－ｘ）≧（１＋ｘ）／２。
0947１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 21:11:031/x, 1/(1-x) は下に凸から、あるいは相加･調和平均から
1/x + 1/y + 1/z = (9/s) + (st-9u)/(su) ≧ 9/s,
1/(1-x) + 1/(1-y) + 1/(1-z) ≧ 9/(3-s),
(左辺) ≧ (9/s) -3 +18/(3-s),
>>946
(1+x^2)/{x(1-x)} = 1/x -1 +2/(1-x)
は下に凸だから x=1/3 での接線の上側にある。
∴ (1+x^2)/{x(1-x)} = (13-9x)/2 + (1-3x)^2･{(2-x)/(2x(1-x))} ≧ (13-9x)/2,
(左辺) ≧ 3(13-3s)/2,
0948１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 22:05:51であることを示せ．ただし，π=3.14…は円周率，e=2.71…は自然対数の底である．
エレガントな解を求む．
0949１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 22:13:00_,, -－─‐,ｒ'",ｒ''"´￣￣｀"''－、｀ ｰ 、
,ｒ'" 〈 ヽ ヽ、
／ ヽ、 !
, ｨ ＼ ﾞ 、
,ｒ' / !:. く） ⌒ヽ､_ .厂￣i
ノ ,イ ﾞ､::. ｒ ￣"'''ー--------一'" ,'
／／ ,' ..::'"⌒ヽ、 !::.. ,' , ヘ､__ _ノ
/ / !:. ﾞ、 ﾄ､::.. ﾉ:::...＿厶_ _＞ﾞーーー‐‐‐‐‐‐‐一''"´
（ ( |:::.. i::. !::｀'''ー-一＜´厂 ￣
ヽ､） !::::... !::::... ﾞ､::.. ﾞ 、
人:::::::.. ﾞ､::::::::.......＿＿_,,ゝ､:::.. ヽ
/::::...＼::::::.... ヾ￣￣ /::::..ヽ､:::.. ＼
,'::::::::::::....ヽ､:::::.... ﾞ、 ノ::::::::::::::...＼::::... ヽ
〈:::::::::::::::::::::/｀ヽ､:::::..... 〉 〈:::::::::::::::::::::...人:::::::::..... 〉
｀ー─一'" ｀ー─一'ﾞ ｀ー－一'" ｀ー─一'ﾞ
0950１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 22:59:25誰がエレファントなＡＡを貼れと言った！
0951１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 02:57:13(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+…+(a[n]/a[1])
≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}+…+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
f(x)は微分可能かつf'(x)が連続で,f(0)=f(π)=0のとき
∫[0,π](f(x))^2dx≦∫[0,π](f'(x))^2dx
a,b,c>0,ab+bc+ca=1において
{(1-a^2)/(1+a^2)}+{(1-b^2)/(1+b^2)}+{(1-c^2)/(1+c^2)}≦3/2
0952１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 23:44:18地道にやると･･･
∫ e^x･(sinx)^2 dx = ∫ e^x･{1-cos(2x)}/2 dx = e^x･{(1/2) - (1/10)cos(2x) -(1/5)sin(2x)},
(与式) = (2/5)(e^π - 1) だが、 この後が････
>>951 (下)
a^2 + b^2 + c^2 = ab+bc+ca + F_0 ≧ ab+bc+ca,
(左辺) = 2/(1+a^2) + 2/(1+b^2) + 2/(1+c^2) -3
≦ 6/{1 + (a^2 + b^2 + c^2)/3} -3 (← 2/(1+x) は下に凸)
≦ 6/{1 + (ab+bc+ca)/3} -3,
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。