1001コメント391KB

不等式への招待第３章

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

0001１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:00:00

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

0747１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 00:07:59

>>745
Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
に避難しました。

0748１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 00:23:39

>>746
グッジョブ！

0749１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 00:32:35

a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

0750１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 00:47:23

>>749は今月号の大数の宿題。
ネタバレになるから回答しないように。

0751１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 01:18:18

>>749
簡単すぎ

0752１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 01:38:52

>>749
過去に解いたことがある
入試問題かな？

0753１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 03:06:05

>>749
泥沼にはまった予感

0754１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 01:59:49

√(x^2)＋√(1－x^2)
の最大値の求め方って何通りありますかね？

0755１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 02:21:41

0756１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 17:02:58

鳥取市の誘致企業リコーマイクロエレクトロニクスにアルバイトに行っていた。
勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。

その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。

雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。

しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。

リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」

しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。

0757１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 21:51:51

(1) 実数xが-1<x<1,x≠0を満たすとき,次の不等式を示せ.

(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)

(2) 次の不等式を示せ.

0.9999^101<0.99<0.9999^100

0758１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 22:02:25

>>757
なんで命令形なの？むかつくんだけど

0759１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 22:38:50

>>757-758
今年の東大入試の第５問のコピペだから。

0760１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 23:20:42

>>758
消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ

0761１３２人目の素数さん

2009/03/06(金) 12:53:46

>>757
これに30分もかけなければ今頃俺は

0762１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 00:22:41

>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x^2) > g(x),
　x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
　x･g(x^2) < x･g(x),
　f(x^2)/x < f(x),
　(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),

0763１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 00:43:26

>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
　平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x) > g(x^2),
　x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
　x･g(x) < x･g(x^2),
　f(x) < f(x^2)/x,
　log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
　1-x < (1-x^2)^(1/x),

(2)　(1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....

0764１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 02:06:15

みんな解いた問題って保存してるの？

0765１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 02:11:03

>>757を改めて試験中の様にエレガントに解いてみせようとしたら間違いに気づいた。
落ちてそうだから死にたい。

0766１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 08:45:08

>>764
最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)

0767１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 22:26:28

>>763 (2) の左側

(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。

0768１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 01:00:22

>>754
　f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。

(1)　f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。

(2)　x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
　f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。

0769１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 16:10:21

コーシー・シュワルツから
(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2

0770１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 19:05:38

>>757
もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな

0771１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 19:57:44

不等式は嫌いなんだ

0772１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 23:43:39

>>771
ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…

0773１３２人目の素数さん

2009/03/09(月) 00:02:16

この本に出てくる形の不等式って本当にそのまま論文で出版されてんのか？
他の議論をしているときに「たまたま現れました」っていう不等式や、
もっと洗練されたものの特殊ヴァージョンじゃないのか？

0774１３２人目の素数さん

2009/03/09(月) 00:15:14

>>773だがさ、蛇足するが、
例えば、(「不等式への招待」)第５章「不等式の作成と証明法」
の例題１の不等式が本当にそのまま論文で出版されているのか、
ということを聞いた訳さ。
ちょっと読みにくかったり曖昧に書かれている箇所がところどころあるんだがな。

0775１３２人目の素数さん

2009/03/09(月) 22:50:15

>>757 >>763
(2)
　|x| << 1 のとき、マクローリン展開から
　(1 + 1/x)log(1-x^2) = -x -　　 x^2 -O(x^3),
　　　　　　 log(1-x) = -x -(1/2)x^2 -O(x^3),
　　　(1/x)log(1-x^2) = -x 　　　　　-O(x^3),
･･･ぢゃあダメだろうな。

0776１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 00:00:41

xとyはともに正の実数でx+4y=3のとき、1/x+1/yの最小値は。

1文字消して微分したらできたけど全く愉快じゃないので、
かっこいい解法をお願いします。

0777１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 00:10:00

(1^(1/2)+4^(1/2))^2<=(x+4y)(1/x+1/y).

0778776

2009/03/11(水) 00:33:11

はやっ。
(√(ax),√(bx)) と (1/√x,1/√y) にCauchy-schwarzってことですね。
かっこいいす。ありがとう。

0779１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 21:00:44

モノグラフって調和平均とか重みつきとかないよね
受験ではいらないってことか
他の不等式を学びたい場合はどんな本がいい？

0780１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 23:00:18

>>779

>>2を読め！

0781１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 23:28:00

>746のprime_132ってこのスレの住人？

0782１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 23:34:10

あぁ、だがそれ以上は詮索しないでもらいたい

0783１３２人目の素数さん

2009/03/13(金) 16:40:42

そろそろ>>749の大数の宿題は〆切？

0784１３２人目の素数さん

2009/03/13(金) 20:10:07

http://books.google.com/books?printsec=frontcover&id=1tHgb5oIidcC#PPP1,M1

これいいよ

0785１３２人目の素数さん

2009/03/13(金) 20:46:55

F(a,b)=√（a^2+ab+b^2）
Fa=(2a+b).5/()^.5=0 a=-.5b
Fb=0 b=-.5a
F(a,b)=(a^2-.5a^2+.25a^2)^.5=(.75)^.5a
a=rcost,b=rsint a>b>0->cost>sint>0
F=r(1+costsint)^.5

0786１３２人目の素数さん

2009/03/13(金) 23:45:21

>>783
3/15締め切りです。

0787１３２人目の素数さん

2009/03/14(土) 23:52:56

ある直方体の12辺の長さの和を4L、表面積をS、体積をVとする
（1）L、Sが一定のときVのとりうる値を答えよ
（2）L、Vが一定のときSのとりうる値を答えよ
（3）S、Vが一定のときLのとりうる値を答えよ

0788１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 00:22:26

>746 から一題･･･

〔問題〕
　0 < x のとき e^x > 3sin(x) を示せ。

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/19

0789１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 03:04:09

>>788
グラ…接…

0790１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 20:34:14

>>749
後四時間で解禁

0791１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 20:56:47

>>749 は問題としては簡単だが，何がしか背景があるのだろう

0792１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 20:57:41

120°

0793１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 23:03:12

>746 からもう一題･･･（外出だったらスマソ）

〔出題87〕
正数列 a[n] >0 の初項から第n項までの総和を S[n] とおく:
　S[n] = Σ[k=1,n] a[k].
このとき，
　{a[1]/S[n+1]}^(1/n) + 納m=1,n+1] {a[m]/(n･S[m])} ≦ 1 + (1/n),

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/87, 121

0794１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 00:04:47

〆切あげ

0795１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 00:22:04

>746 から･･･

〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
　H = 2xy/(x+y),　G = √(xy),　A = (x+y)/2,　Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1)　H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2)　G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。

--------------------------------------------
H,G,A は等比数列だから
　(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
　G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
　⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
　(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G)　　　　　････ (*)
よって
　G ≦ A ≦ Q,
　Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
　Q-A ≦ A-G,
あとは
　G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
　G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/95, 100

0796１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 01:18:31

今年の東北大入試問題から

a+b≧cであるとき
a^3+b^3+3abc≧c^3

0797１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 01:53:36

それは易しすぎるだろ・・・
湘南工科大レベル

0798１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 01:59:18

>>796
3乗の因数分解の公式そのもの。
レベル０
高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル

0799１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 02:00:00

ｃ＝０。
ｄ＝０。

ｂ＝０。
ｄ＝０。

0800１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 02:55:19

>>796
これはひどい
こんなのが出るのが今の入試は

0801１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 02:57:01

もしかして文系学部の問題？

0802１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 03:12:29

理系だね、（１）もあったね
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tohoku/zenki/sugaku_ri/mon1.html

0803１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 03:33:06

>>802
ガセネタかと思ったら、マジかよ！
オ㍗ル

0804１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:01:21

おまえら不等式には厳しいなｗ

0805１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:02:27

>>797 >>798 >>800 >>801 >>803
勘違いしてないか？そこまで簡単じゃないよ。

0806１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:08:35

>>805
アー、アー、キコエマスカー？
どの辺が難しいのかな？

因数分解の公式かな？
それともその後の平方完成の仕方かな？

0807１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:10:09

>>796
ウソだろ・・・高1の1学期の中間レベルだと・・・？

0808１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:10:12

>>805
Ｆランのお前には難しいのだろう
国立行けるレベルの理系には簡単すぎるよ

0809１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:14:48

講評では難易度は標準って書かれてるんだけどな

0810１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:16:33

ゆとり的には標準なんじゃないか

0811１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:20:19

>>809
そのとおり。
言うほど簡単じゃない。模範解答見ればやさしいけどね。
問い１としての難易度は適切だと思う。
良問かどうかはわかりかねるが、東北大の入試の倍率が３倍だとすると、
この問い１で受験生のうち下３分の１くらいは落とせるんじゃないかな。

0812１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:25:08

>>811
どこが難しいのかｋｗｓｋ

0813１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:25:12

まず、下１０％くらいは、
a+b>=c　＜＝＞　a^3+b^3+3ab(a+b)>=c^3
として、a+bをｃで置き換えて証明終わり
とする（東北大入試の）受験生はでてくる。
　そういった論理性の欠ける人を落とすのがひとつの目的だと推測

0814１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:27:21

>>813
え？

0815１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:30:04

（１）は=だから、>>813のとおりにやって良いんだけど、
（２）は不等号だから、だめ。
講評では（１）がヒントになる、と書いてあるけれど、かえって（１）の
おかげで間違える人も１０％（いいすぎか５％）はいると思う。

0816１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:32:04

だからいくらなんでも
>>798
>3乗の因数分解の公式そのもの。
>レベル０
>高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
は言いすぎだろ。

0817１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:34:27

>>816
え？高1はじめの中間に出るレベルだけど？

0818１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:40:21

その入試問題１－６全部みるとわかるけど、問題１以外は証明問題は
問題５（１）だけで、あとは、値を求めさせる問題。
問題１は、証明がちゃんと書けるか、を見るのがねらいなんじゃないの？
問題１がなかったら、論証がいいかげんで答えを見つけるのが得意な
人だけが入ってきちゃう。
　それに、数学科志望生だけが受けるレベルじゃないからね。

>>817
でも、中間テストでみんなが満点なわけじゃないと思うよ。
しかも公式を習った直後で範囲が狭まっている時に出題すれば
得点率上がるのは当たり前。
君は高１か？予備校の模試受けたら（できれば東北大限定模試）、
各問題の平均点見てみ。
そんなに高くないよ。制限時間内ではね。
問題１としては適当。（６題全部がこれだったらやさしいけどね。）

0819１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:42:16

>>817
君の学校は、始業式の翌日に中間テストをやるのか？

0820１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:48:50

>>818
そうだね
ごめん

0821１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:54:54

今年東北落ちた人か？
河合は標準、駿台はやや易だった

0822１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 05:01:08

>>821
＞今年東北落ちた人か？
落ちてない。落ちるほどの学力なら、あぁ、俺には難しいけど、
受かった人にとっては簡単なのかも、、と思って難易度は断定できない。

＞河合は標準、駿台はやや易だった

そうだろ、標準か、やや易、だろ。そんなもんだ。
びっくりするほど易しすぎはしない。入試問題として。

0823１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 07:56:31

>>819
>>817のどこに始業式の翌日にやるってかいてあるんだよ

0824１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 07:59:47

>>811
真剣な話、どこが難しいのかな？

>>819
入学式の翌日に実力テストをやりましたが何か？
範囲は２次関数の終わりまで。

0825１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 08:06:16

そろそろどこか他のところでやってくれ。

0826１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 08:40:09

>>811は解けなかっただけだろ

0827１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 09:17:11

件の人はa^3 + b^3 + c^3 - 3abcの因数分解の公式知らんのかね。

つうかこのスレは大学入試問題レベルの簡単な問題を
扱うような感じじゃないと思うけど。

0828１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 09:21:55

少なくともこのスレ的には対称式に対する標準的な処方箋で解ける問題．
因数分解の公式なんて忘れても，基本対称式で書こうとするだけでいい．

0829１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 19:32:17

>>749の正しい問題文は何だろう

0830１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 22:31:37

>>795
　G-H ≦ Q-A　を示そう。
　(A-H) = (A^2 -G^2)/A = (Q^2 -G^2)/(2A) = (Q-G){(Q+G)/(2A)},
　(Q-A) - (G-H) = (Q-G) - (A-H) = (Q-G){1-(Q+G)/(2A)} = {(Q-G)/(2A)}{(A-G)-(Q-A)}　･･････ (**)
∴　Q-A は G-H と A-G の間にある(G-H寄り)。

**)　右辺の係数は 0 < (Q-G)/(2A) ≦ (Q+G)/(2A) < 1,

よって
(3)　(Q-A)-(G-H) ≦ (A-G)-(Q-A),

〔問題〕
　3変数(x,y,z) のときは (1) のみが成り立つことを示せ。

0831１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 23:39:12

東大入試数学過去問
http://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/t_archives.html

京大入試数学過去問
http://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/archives.html

大学入試数学過去問
http://www.densu.jp/

いくつかは不等式の問題拾えるんじゃない？

0832１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 23:49:27

そんなもん見るよりジャーナル見るほうが有意義だ

0833１３２人目の素数さん

2009/03/17(火) 00:00:13

>>830

(1)
　H = 3/(1/x + 1/y + 1/z),　G = (xyz)^(1/3),　A = (x+y+z)/3,　Q = √{(x^2 + y^2 + z^2)/3}, 　
　Q^2 - A^2 = (x^2 +y^2 +z^2)/3 - (1/9)(x+y+z)^2 = (1/9){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
　A^3 - G^3 = {(x+y+z)/3}^3 -xyz = {(x+y+7z)/2}(x-y)^2 + {(7x+y+z)/2}(y-z)^2 + {(x+7y+z)/2}(z-x)^2 ≧ 0,
　(1/H)^3 - (1/G)^3 = {[(1/x)+(1/y)+(1/z)]/3}^3 - 1/(xyz) = {(x'+y'+z')/3}^3 - x'y'z' ≧ 0,
∴　H ≦ G ≦ A ≦ Q,

(2) y=z=1 の場合を考えると
　H = 3x/(1+2x),　G = x^(1/3),　A = (2+x)/3,　Q = √{(2+x^2)/3},
　x<1 のとき　G-H > A-G > Q-A,
　x>1 のとき　G-H < A-G < Q-A,

0834830

2009/03/17(火) 00:05:05

>>833
GJ!!

されど、3変数のときはQよりも
　T = {(x^3+y^3+z^3)/3}^(1/3),
使った方が良くね？

0835１３２人目の素数さん

2009/03/17(火) 23:05:37

>>830, 833

(2) y=z=1 の場合は････
　0 < x < 0.00415949095310635… のとき、　　　　　　G-H < Q-A < A-G,
　0.00415949095310635… < x < 0.15064425… のとき,　Q-A < G-H < A-G,
　0.15064425… < x < 1 のとき,　　　　　　　　　　　Q-A < A-G < G-H,
　1 < x < 9.33372455･･･のとき、　　　　　　　　　　G-H < Q-A < A-G,
　9.33372455･･･ < x のとき、　　　　　　　　　　　　G-H < A-G < Q-A,
と成増とんねるず。

但し、区間の端点は
0.15064425142615432931841204604911････ = 1/{2cos(π/9)}^3,　x + 3･x^(2/3) -1 =0 の根。
9.3337245536744706772511885807731････ = {(2√3)cos([π-arccos(25/27)]/6) - 1}^3,　x + 3･x^(2/3) -6･x^(1/3) -10 =0 の根。

0836１３２人目の素数さん

2009/03/17(火) 23:15:33

a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

0837１３２人目の素数さん

2009/03/18(水) 03:27:30

a,b,cを実数とする
a+b+c=0のとき
（|a|+|b|+|c|)^2≧2（a^2+b^2+c^2)

0838１３２人目の素数さん

2009/03/18(水) 16:53:54

2(a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
≦(a^2+b^2+c^2)+2(|ab|+|bc|+|ca|) = (|a|+|b|+|c|)^2

0839835

2009/03/18(水) 22:01:22

>>830, >>833,

　0.00415949095310635… は x^3 +3x^(8/3) +3x^(7/3) +(9/2)x^2 +3x^(5/3) +3x^(4/3) +(39/8)x +(33/8)x^(2/3) + (3/4)x^(1/3) -(1/4) =0　の根。

0840１３２人目の素数さん

2009/03/19(木) 16:04:37

>>836
チェビシェフの不等式

0841１３２人目の素数さん

2009/03/19(木) 22:36:19

>>836
三角不等式

0842１３２人目の素数さん

2009/03/19(木) 23:37:37

>>749 >>799 >>829 >>836
a=1,b=1,c=0,d=0.
√（3）≧2.

0843１３２人目の素数さん

2009/03/20(金) 00:22:31

a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

じゃね？

0844１３２人目の素数さん

2009/03/20(金) 01:39:13

>>843
bingo!

0845１３２人目の素数さん

2009/03/22(日) 07:14:22

>>843

∠UOV = 120ﾟなる半直線 OU,OV を考える。 >>792
OU上に OA=a, OB=b なる点A,B をとる。
OV上に OC=c, OD=d なる点C,D をとる。

題意により、2つの線分AD, BC は交わるから、交点を X とする。2つの線分AC, BD は交わらない。
　(左辺) = AD + BC = (AX + XD) + （BX +XC) = (AX + XC) + (BX + XD) ≧ AC + BD = (右辺).

[初代スレ.068, 071] の類題ぢゃね？

0846１３２人目の素数さん

2009/03/25(水) 01:42:40

(；´д｀) ﾊｧﾊｧできそうなネタ満載
http://www.math.ust.hk/excalibur/v13_n4.pdf
http://www.math.ust.hk/excalibur/v13_n5.pdf

0847１３２人目の素数さん

2009/03/28(土) 00:40:44

>>846

Problem 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
　a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,

　Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)

Problem 312.
　a,b,c を正の実数とするき
(a+1)^4 /(b^2) + (b+1)^4 /(c^2) + (c+1)^4 /(a^2) ≧ 48,

Problem 316.
　n>6 のとき, 凸ｎ角形Ａ0Ａ1……Ａn に対して適当な i≠j が存在して
　　|cos(∠Ａi) －cos(∠Ａj)| < 1/{2(n-6)},

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

不等式への招待 第３章

不等式への招待第３章