不等式への招待 第３章
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0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0731１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 19:32:27a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺 は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする
a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1 …(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0 …(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1 …(3)
s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0 …(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)
t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2) …(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■
0732731
2009/02/08(日) 22:58:40× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて
因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること
0733１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 23:03:070734１３２人目の素数さん
2009/02/09(月) 16:59:31x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.
X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.
0735734
2009/02/09(月) 20:55:190736１３２人目の素数さん
2009/02/09(月) 21:01:400737１３２人目の素数さん
2009/02/11(水) 22:32:08s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと >>728
(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。
〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).
0738１３２人目の素数さん
2009/02/12(木) 00:57:10自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数
108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは 等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n について たす。
n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),
0739１３２人目の素数さん
2009/02/14(土) 00:12:52〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、 |⊿| = xy(x+y), s = 3m+2x+y, t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴ t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。
>>727
(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,
0740１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 03:25:55n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,
(略証)
・左側
(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/555
京大入試作問者スレ①
0741１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 03:52:110742１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 18:13:33とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・
0743１３２人目の素数さん
2009/02/26(木) 13:49:15分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ
0744１３２人目の素数さん
2009/02/26(木) 23:01:51楽しみだぜ！
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0745１３２人目の素数さん
2009/03/02(月) 17:46:170746１３２人目の素数さん
2009/03/03(火) 23:52:29http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50
0747１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 00:07:59Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
に避難しました。
0748１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 00:23:39グッジョブ！
0749１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 00:32:35√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
0750１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 00:47:23ネタバレになるから回答しないように。
0751１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 01:18:18簡単すぎ
0752１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 01:38:52過去に解いたことがある
入試問題かな？
0753１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 03:06:05泥沼にはまった予感
0754１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 01:59:49の最大値の求め方って何通りありますかね？
0755１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 02:21:410756１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 17:02:58勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。
その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。
雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。
しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。
リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」
しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。
0757１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 21:51:51(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)
(2) 次の不等式を示せ.
0.9999^101<0.99<0.9999^100
0758１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 22:02:25なんで命令形なの？むかつくんだけど
0759１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 22:38:50今年の東大入試の第５問のコピペだから。
0760１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 23:20:42消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
0761１３２人目の素数さん
2009/03/06(金) 12:53:46これに30分もかけなければ今頃俺は
0762１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 00:22:41(1) f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x^2) > g(x),
x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
x･g(x^2) < x･g(x),
f(x^2)/x < f(x),
(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),
0763１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 00:43:26(1) f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x) > g(x^2),
x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
x･g(x) < x･g(x^2),
f(x) < f(x^2)/x,
log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
1-x < (1-x^2)^(1/x),
(2) (1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....
0764１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 02:06:150765１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 02:11:03落ちてそうだから死にたい。
0766１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 08:45:08最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)
0767１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 22:26:28(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。
0768１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 01:00:22f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。
(1) f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。
(2) x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。
0769１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 16:10:21(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2
0770１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 19:05:38もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな
0771１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 19:57:440772１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 23:43:39ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…
0773１３２人目の素数さん
2009/03/09(月) 00:02:16他の議論をしているときに「たまたま現れました」っていう不等式や、
もっと洗練されたものの特殊ヴァージョンじゃないのか？
0774１３２人目の素数さん
2009/03/09(月) 00:15:14例えば、(「不等式への招待」)第５章「不等式の作成と証明法」
の例題１の不等式が本当にそのまま論文で出版されているのか、
ということを聞いた訳さ。
ちょっと読みにくかったり曖昧に書かれている箇所がところどころあるんだがな。
0775１３２人目の素数さん
2009/03/09(月) 22:50:15(2)
|x| << 1 のとき、マクローリン展開から
(1 + 1/x)log(1-x^2) = -x - x^2 -O(x^3),
log(1-x) = -x -(1/2)x^2 -O(x^3),
(1/x)log(1-x^2) = -x -O(x^3),
･･･ぢゃあダメだろうな。
0776１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 00:00:411文字消して微分したらできたけど全く愉快じゃないので、
かっこいい解法をお願いします。
0777１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 00:10:000778776
2009/03/11(水) 00:33:11(√(ax),√(bx)) と (1/√x,1/√y) にCauchy-schwarzってことですね。
かっこいいす。ありがとう。
0779１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 21:00:44受験ではいらないってことか
他の不等式を学びたい場合はどんな本がいい？
0780１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 23:00:18>>2を読め！
0781１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 23:28:000782１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 23:34:100783１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 16:40:420784１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 20:10:07これいいよ
0785１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 20:46:55Fa=(2a+b).5/()^.5=0 a=-.5b
Fb=0 b=-.5a
F(a,b)=(a^2-.5a^2+.25a^2)^.5=(.75)^.5a
a=rcost,b=rsint a>b>0->cost>sint>0
F=r(1+costsint)^.5
0786１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 23:45:213/15締め切りです。
0787１３２人目の素数さん
2009/03/14(土) 23:52:56（1）L、Sが一定のときVのとりうる値を答えよ
（2）L、Vが一定のときSのとりうる値を答えよ
（3）S、Vが一定のときLのとりうる値を答えよ
0788１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 00:22:26〔問題〕
0 < x のとき e^x > 3sin(x) を示せ。
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/19
0789１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 03:04:09グラ…接…
0790１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 20:34:14後四時間で解禁
0791１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 20:56:470792１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 20:57:410793１３２人目の素数さん
2009/03/15(日) 23:03:12〔出題87〕
正数列 a[n] >0 の初項から第n項までの総和を S[n] とおく:
S[n] = Σ[k=1,n] a[k].
このとき，
{a[1]/S[n+1]}^(1/n) + 納m=1,n+1] {a[m]/(n･S[m])} ≦ 1 + (1/n),
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/87, 121
0794１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 00:04:470795１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 00:22:04〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
H = 2xy/(x+y), G = √(xy), A = (x+y)/2, Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1) H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2) G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。
--------------------------------------------
H,G,A は等比数列だから
(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G) ････ (*)
よって
G ≦ A ≦ Q,
Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
Q-A ≦ A-G,
あとは
G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/95, 100
0796１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 01:18:31a+b≧cであるとき
a^3+b^3+3abc≧c^3
0797１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 01:53:36湘南工科大レベル
0798１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 01:59:183乗の因数分解の公式そのもの。
レベル０
高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
0799１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 02:00:00ｄ＝０。
ｂ＝０。
ｄ＝０。
0800１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 02:55:19これはひどい
こんなのが出るのが今の入試は
0801１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 02:57:010802１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 03:12:29http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tohoku/zenki/sugaku_ri/mon1.html
0803１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 03:33:06ガセネタかと思ったら、マジかよ！
オ㍗ル
0804１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:01:210806１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:08:35アー、アー、キコエマスカー？
どの辺が難しいのかな？
因数分解の公式かな？
それともその後の平方完成の仕方かな？
0807１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:10:09ウソだろ・・・高1の1学期の中間レベルだと・・・？
0808１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:10:12Ｆランのお前には難しいのだろう
国立行けるレベルの理系には簡単すぎるよ
0809１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:14:480810１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:16:330811１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:20:19そのとおり。
言うほど簡単じゃない。模範解答見ればやさしいけどね。
問い１としての難易度は適切だと思う。
良問かどうかはわかりかねるが、東北大の入試の倍率が３倍だとすると、
この問い１で受験生のうち下３分の１くらいは落とせるんじゃないかな。
0812１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:25:08どこが難しいのかｋｗｓｋ
0813１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:25:12a+b>=c ＜＝＞ a^3+b^3+3ab(a+b)>=c^3
として、a+bをｃで置き換えて証明終わり
とする（東北大入試の）受験生はでてくる。
そういった論理性の欠ける人を落とすのがひとつの目的だと推測
0814１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:27:21え？
0815１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:30:04（２）は不等号だから、だめ。
講評では（１）がヒントになる、と書いてあるけれど、かえって（１）の
おかげで間違える人も１０％（いいすぎか５％）はいると思う。
0816１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:32:04>>798
>3乗の因数分解の公式そのもの。
>レベル０
>高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
は言いすぎだろ。
0817１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:34:27え？高1はじめの中間に出るレベルだけど？
0818１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:40:21問題５（１）だけで、あとは、値を求めさせる問題。
問題１は、証明がちゃんと書けるか、を見るのがねらいなんじゃないの？
問題１がなかったら、論証がいいかげんで答えを見つけるのが得意な
人だけが入ってきちゃう。
それに、数学科志望生だけが受けるレベルじゃないからね。
>>817
でも、中間テストでみんなが満点なわけじゃないと思うよ。
しかも公式を習った直後で範囲が狭まっている時に出題すれば
得点率上がるのは当たり前。
君は高１か？予備校の模試受けたら（できれば東北大限定模試）、
各問題の平均点見てみ。
そんなに高くないよ。制限時間内ではね。
問題１としては適当。（６題全部がこれだったらやさしいけどね。）
0819１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:42:16君の学校は、始業式の翌日に中間テストをやるのか？
0820１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:48:50そうだね
ごめん
0821１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 04:54:54河合は標準、駿台はやや易だった
0822１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 05:01:08＞今年東北落ちた人か？
落ちてない。落ちるほどの学力なら、あぁ、俺には難しいけど、
受かった人にとっては簡単なのかも、、と思って難易度は断定できない。
＞河合は標準、駿台はやや易だった
そうだろ、標準か、やや易、だろ。そんなもんだ。
びっくりするほど易しすぎはしない。入試問題として。
0823１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 07:56:31>>817のどこに始業式の翌日にやるってかいてあるんだよ
0824１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 07:59:47真剣な話、どこが難しいのかな？
>>819
入学式の翌日に実力テストをやりましたが何か？
範囲は２次関数の終わりまで。
0825１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 08:06:160826１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 08:40:090827１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 09:17:11つうかこのスレは大学入試問題レベルの簡単な問題を
扱うような感じじゃないと思うけど。
0828１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 09:21:55因数分解の公式なんて忘れても，基本対称式で書こうとするだけでいい．
0829１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 19:32:170830１３２人目の素数さん
2009/03/16(月) 22:31:37G-H ≦ Q-A を示そう。
(A-H) = (A^2 -G^2)/A = (Q^2 -G^2)/(2A) = (Q-G){(Q+G)/(2A)},
(Q-A) - (G-H) = (Q-G) - (A-H) = (Q-G){1-(Q+G)/(2A)} = {(Q-G)/(2A)}{(A-G)-(Q-A)} ･･････ (**)
∴ Q-A は G-H と A-G の間にある(G-H寄り)。
**) 右辺の係数は 0 < (Q-G)/(2A) ≦ (Q+G)/(2A) < 1,
よって
(3) (Q-A)-(G-H) ≦ (A-G)-(Q-A),
〔問題〕
3変数(x,y,z) のときは (1) のみが成り立つことを示せ。
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