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不等式への招待第３章

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0001１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:00:00

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

0710１３２人目の素数さん

2008/12/28(日) 08:06:19

>>708
どうやったんだよ

0711１３２人目の素数さん

2008/12/28(日) 13:22:09

>>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。

>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
　c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
　　　　　　　　= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また　(c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
　S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
　S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
　　= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)}　　(← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
　　= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
　S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。

0712１３２人目の素数さん

2008/12/29(月) 18:19:53

[A.435] の拡張　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、　
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
　等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。

そこで >>672 に習って
　b+c-a = a',　c+a-b = b',　a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
　a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
　b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
　c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･

[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
　6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
　ここに s = a'+b'+c'.
　等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。

【系】
a,b,c ≧0 のとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/677

0713712

2008/12/29(月) 18:24:36

訂正、すまそ。

【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

0714Shapiro

2009/01/03(土) 19:56:03

>>712
　Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。

[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
　Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,

0715１３２人目の素数さん

2009/01/16(金) 19:05:31

数セミ2月号出たね

0716１３２人目の素数さん

2009/01/16(金) 23:11:26

>>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)

0717１３２人目の素数さん

2009/01/17(土) 23:53:44

>>598 (593,596)

〔問題〕
abc = d^3,　√3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
　1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},

(略証)
　abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0

　(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
　　= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3,　T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2,　T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。

・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,

・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,

0718717

2009/01/17(土) 23:56:03

>>598

〔補題〕↑ のようにおくとき
　S ≧ T1 ≧ 3xyz,　S ≧ T2 ≧ 3xyz,

(左側)　チェビシェフ不等式から、あるいは
　(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
　(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,

(右側)も　相加・相乗平均。

0719１３２人目の素数さん

2009/01/20(火) 00:55:25

>>2に追加

数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号

0720１３２人目の素数さん

2009/01/28(水) 07:31:59

http://web.mit.edu/~tmildorf/www/Inequalities.pdf

0721１３２人目の素数さん

2009/01/28(水) 13:41:41

>>720 　　　　ﾊｧﾊｧ　　　∩　　　　　　　　　　　不等式と聞ゐちゃぁ
　　　　　　　　　　　　　　 ( ⌒)＿　　 ∩_ _　　　　　黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿　／/,. ノ≧　＼ .i　.,,E）__　　　
　　　　　／ nCr　＼| /　/＼ .／　|/　/ cos ＼　ﾊｧﾊｧ　　　　／/
　　_n 　.|::::＼ .／　　|/　/(●　(● |　ノ＼ .／　|　　　　　　／　/＿＿＿
　（　l　　|::●)　●)　.|　/:::... .ワ ....ノ／(●　(● |　　　　　./ 　／　 Σ　＼
　＼＼ヽ:::::.∀ 　 .ノ　　　　　　／ヽ:::::... .▽....ノ　　n　　 / ∩.|:::: ＼ .／　|
　　　ヽ__￣　　　ノヽ　　　　　 |　￣　　　＼　　（ E） /　.| | |　(●　(●）|＿
　　　　　/ 　　/　　＼　　　　ヽﾌ　　　 / ヽヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ　ノ／

0722１３２人目の素数さん

2009/01/30(金) 20:57:27

非等式と不等式の違いはなんですか。

0723１３２人目の素数さん

2009/01/30(金) 21:43:48

a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27

0724１３２人目の素数さん

2009/02/05(木) 00:42:33

他スレで見かけたお。

次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個

↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}

面白い問題おしえて～な十五問目
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/99

0725１３２人目の素数さん

2009/02/07(土) 20:47:34

このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思

0726１３２人目の素数さん

2009/02/07(土) 23:07:15

>>725
分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う

0727１３２人目の素数さん

2009/02/08(日) 03:05:54

次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。

任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3

もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。

0728１３２人目の素数さん

2009/02/08(日) 04:40:48

s、t、uでズコバコするといいよ

0729１３２人目の素数さん

2009/02/08(日) 09:00:45

>>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略

0730１３２人目の素数さん

2009/02/08(日) 09:01:38

問題見まちがった

0731１３２人目の素数さん

2009/02/08(日) 19:32:27

>>727 力づくで解いた

a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする

a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1　…(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0　…(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1　…(3)

s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0　…(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)

t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2)　…(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■

0732731

2009/02/08(日) 22:58:40

いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3

あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて

因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること

0733１３２人目の素数さん

2009/02/08(日) 23:03:07

0734１３２人目の素数さん

2009/02/09(月) 16:59:31

>>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.

X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.

0735734

2009/02/09(月) 20:55:19

とはしてみたものの、もうだめかもわからんね

0736１３２人目の素数さん

2009/02/09(月) 21:01:40

5行で証明できたのかと思って一瞬驚愕した

0737１３２人目の素数さん

2009/02/11(水) 22:32:08

>>734-735
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと　　　　　>>728
　(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。

〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).

0738１３２人目の素数さん

2009/02/12(木) 00:57:10

107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/11(水) 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数

108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
　k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
　= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
　(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
　= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n についてたす。
　n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),

0739１３２人目の素数さん

2009/02/14(土) 00:12:52

>>737
〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),

(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、　|⊿| = xy(x+y),　s = 3m+2x+y,　t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y),　s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴　t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。

>>727
　(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
　≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,

0740１３２人目の素数さん

2009/02/21(土) 03:25:55

〔問題〕
n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
　{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,

(略証)
・左側
　(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
　(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/555
京大入試作問者スレ①

0741１３２人目の素数さん

2009/02/21(土) 03:52:11

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

0742１３２人目の素数さん

2009/02/21(土) 18:13:33

不等式に興味が出たんだけど
とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・

0743１３２人目の素数さん

2009/02/26(木) 13:49:15

>>742
分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ

0744１３２人目の素数さん

2009/02/26(木) 23:01:51

前スレ49が気になったので注文した…
楽しみだぜ！

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

0745１３２人目の素数さん

2009/03/02(月) 17:46:17

ミラーみれなくね？

0746１３２人目の素数さん

2009/03/03(火) 23:52:29

【不等式 | 高校数学】
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50

0747１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 00:07:59

>>745
Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
に避難しました。

0748１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 00:23:39

>>746
グッジョブ！

0749１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 00:32:35

a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

0750１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 00:47:23

>>749は今月号の大数の宿題。
ネタバレになるから回答しないように。

0751１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 01:18:18

>>749
簡単すぎ

0752１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 01:38:52

>>749
過去に解いたことがある
入試問題かな？

0753１３２人目の素数さん

2009/03/04(水) 03:06:05

>>749
泥沼にはまった予感

0754１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 01:59:49

√(x^2)＋√(1－x^2)
の最大値の求め方って何通りありますかね？

0755１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 02:21:41

0756１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 17:02:58

鳥取市の誘致企業リコーマイクロエレクトロニクスにアルバイトに行っていた。
勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。

その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。

雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。

しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。

リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」

しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。

0757１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 21:51:51

(1) 実数xが-1<x<1,x≠0を満たすとき,次の不等式を示せ.

(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)

(2) 次の不等式を示せ.

0.9999^101<0.99<0.9999^100

0758１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 22:02:25

>>757
なんで命令形なの？むかつくんだけど

0759１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 22:38:50

>>757-758
今年の東大入試の第５問のコピペだから。

0760１３２人目の素数さん

2009/03/05(木) 23:20:42

>>758
消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ

0761１３２人目の素数さん

2009/03/06(金) 12:53:46

>>757
これに30分もかけなければ今頃俺は

0762１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 00:22:41

>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x^2) > g(x),
　x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
　x･g(x^2) < x･g(x),
　f(x^2)/x < f(x),
　(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),

0763１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 00:43:26

>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
　平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x) > g(x^2),
　x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
　x･g(x) < x･g(x^2),
　f(x) < f(x^2)/x,
　log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
　1-x < (1-x^2)^(1/x),

(2)　(1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....

0764１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 02:06:15

みんな解いた問題って保存してるの？

0765１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 02:11:03

>>757を改めて試験中の様にエレガントに解いてみせようとしたら間違いに気づいた。
落ちてそうだから死にたい。

0766１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 08:45:08

>>764
最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)

0767１３２人目の素数さん

2009/03/07(土) 22:26:28

>>763 (2) の左側

(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。

0768１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 01:00:22

>>754
　f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。

(1)　f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。

(2)　x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
　f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。

0769１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 16:10:21

コーシー・シュワルツから
(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2

0770１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 19:05:38

>>757
もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな

0771１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 19:57:44

不等式は嫌いなんだ

0772１３２人目の素数さん

2009/03/08(日) 23:43:39

>>771
ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…

0773１３２人目の素数さん

2009/03/09(月) 00:02:16

この本に出てくる形の不等式って本当にそのまま論文で出版されてんのか？
他の議論をしているときに「たまたま現れました」っていう不等式や、
もっと洗練されたものの特殊ヴァージョンじゃないのか？

0774１３２人目の素数さん

2009/03/09(月) 00:15:14

>>773だがさ、蛇足するが、
例えば、(「不等式への招待」)第５章「不等式の作成と証明法」
の例題１の不等式が本当にそのまま論文で出版されているのか、
ということを聞いた訳さ。
ちょっと読みにくかったり曖昧に書かれている箇所がところどころあるんだがな。

0775１３２人目の素数さん

2009/03/09(月) 22:50:15

>>757 >>763
(2)
　|x| << 1 のとき、マクローリン展開から
　(1 + 1/x)log(1-x^2) = -x -　　 x^2 -O(x^3),
　　　　　　 log(1-x) = -x -(1/2)x^2 -O(x^3),
　　　(1/x)log(1-x^2) = -x 　　　　　-O(x^3),
･･･ぢゃあダメだろうな。

0776１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 00:00:41

xとyはともに正の実数でx+4y=3のとき、1/x+1/yの最小値は。

1文字消して微分したらできたけど全く愉快じゃないので、
かっこいい解法をお願いします。

0777１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 00:10:00

(1^(1/2)+4^(1/2))^2<=(x+4y)(1/x+1/y).

0778776

2009/03/11(水) 00:33:11

はやっ。
(√(ax),√(bx)) と (1/√x,1/√y) にCauchy-schwarzってことですね。
かっこいいす。ありがとう。

0779１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 21:00:44

モノグラフって調和平均とか重みつきとかないよね
受験ではいらないってことか
他の不等式を学びたい場合はどんな本がいい？

0780１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 23:00:18

>>779

>>2を読め！

0781１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 23:28:00

>746のprime_132ってこのスレの住人？

0782１３２人目の素数さん

2009/03/11(水) 23:34:10

あぁ、だがそれ以上は詮索しないでもらいたい

0783１３２人目の素数さん

2009/03/13(金) 16:40:42

そろそろ>>749の大数の宿題は〆切？

0784１３２人目の素数さん

2009/03/13(金) 20:10:07

http://books.google.com/books?printsec=frontcover&id=1tHgb5oIidcC#PPP1,M1

これいいよ

0785１３２人目の素数さん

2009/03/13(金) 20:46:55

F(a,b)=√（a^2+ab+b^2）
Fa=(2a+b).5/()^.5=0 a=-.5b
Fb=0 b=-.5a
F(a,b)=(a^2-.5a^2+.25a^2)^.5=(.75)^.5a
a=rcost,b=rsint a>b>0->cost>sint>0
F=r(1+costsint)^.5

0786１３２人目の素数さん

2009/03/13(金) 23:45:21

>>783
3/15締め切りです。

0787１３２人目の素数さん

2009/03/14(土) 23:52:56

ある直方体の12辺の長さの和を4L、表面積をS、体積をVとする
（1）L、Sが一定のときVのとりうる値を答えよ
（2）L、Vが一定のときSのとりうる値を答えよ
（3）S、Vが一定のときLのとりうる値を答えよ

0788１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 00:22:26

>746 から一題･･･

〔問題〕
　0 < x のとき e^x > 3sin(x) を示せ。

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/19

0789１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 03:04:09

>>788
グラ…接…

0790１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 20:34:14

>>749
後四時間で解禁

0791１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 20:56:47

>>749 は問題としては簡単だが，何がしか背景があるのだろう

0792１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 20:57:41

120°

0793１３２人目の素数さん

2009/03/15(日) 23:03:12

>746 からもう一題･･･（外出だったらスマソ）

〔出題87〕
正数列 a[n] >0 の初項から第n項までの総和を S[n] とおく:
　S[n] = Σ[k=1,n] a[k].
このとき，
　{a[1]/S[n+1]}^(1/n) + 納m=1,n+1] {a[m]/(n･S[m])} ≦ 1 + (1/n),

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/87, 121

0794１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 00:04:47

〆切あげ

0795１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 00:22:04

>746 から･･･

〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
　H = 2xy/(x+y),　G = √(xy),　A = (x+y)/2,　Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1)　H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2)　G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。

--------------------------------------------
H,G,A は等比数列だから
　(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
　G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
　⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
　(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G)　　　　　････ (*)
よって
　G ≦ A ≦ Q,
　Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
　Q-A ≦ A-G,
あとは
　G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
　G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/95, 100

0796１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 01:18:31

今年の東北大入試問題から

a+b≧cであるとき
a^3+b^3+3abc≧c^3

0797１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 01:53:36

それは易しすぎるだろ・・・
湘南工科大レベル

0798１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 01:59:18

>>796
3乗の因数分解の公式そのもの。
レベル０
高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル

0799１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 02:00:00

ｃ＝０。
ｄ＝０。

ｂ＝０。
ｄ＝０。

0800１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 02:55:19

>>796
これはひどい
こんなのが出るのが今の入試は

0801１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 02:57:01

もしかして文系学部の問題？

0802１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 03:12:29

理系だね、（１）もあったね
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tohoku/zenki/sugaku_ri/mon1.html

0803１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 03:33:06

>>802
ガセネタかと思ったら、マジかよ！
オ㍗ル

0804１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:01:21

おまえら不等式には厳しいなｗ

0805１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:02:27

>>797 >>798 >>800 >>801 >>803
勘違いしてないか？そこまで簡単じゃないよ。

0806１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:08:35

>>805
アー、アー、キコエマスカー？
どの辺が難しいのかな？

因数分解の公式かな？
それともその後の平方完成の仕方かな？

0807１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:10:09

>>796
ウソだろ・・・高1の1学期の中間レベルだと・・・？

0808１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:10:12

>>805
Ｆランのお前には難しいのだろう
国立行けるレベルの理系には簡単すぎるよ

0809１３２人目の素数さん

2009/03/16(月) 04:14:48

講評では難易度は標準って書かれてるんだけどな

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不等式への招待 第３章

不等式への招待第３章