不等式への招待 第３章
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0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0674１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 20:11:590675１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 21:13:11(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
0676671
2008/11/29(土) 22:30:45ありがとうございます。
0677１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 20:28:22(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
たのもー( ^ิิ,_ゝ^ิ)
0678１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 22:14:560679１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 16:40:460680１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 20:31:05いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。
それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
0681１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 03:15:18>>341 の [A.435] でつね。
>>394 いわく、
とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。
>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
0682１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 11:48:570684１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 23:40:27r-q 平面のグラフが見たい････
0685１３２人目の素数さん
2008/12/07(日) 00:24:18>>680
誤解してた、すまない。
0686１３２人目の素数さん
2008/12/07(日) 04:23:34a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ
2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ
3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)
0687１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 01:45:320688１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 03:44:10(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中
0689１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 03:46:55(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した
0690１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 04:58:11(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと
与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0
a,b,c> 0よりこれは正しい。
0691１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 13:39:30E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。
0692１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 14:36:06解答PDFを作ってみた。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/48ec20d82641686f.pdf
0693１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 16:39:46自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。
0694１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 17:51:33E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。
0695１３２人目の素数さん
2008/12/18(木) 00:22:39http://www.nippyo.co.jp/magazine/maga_susemi.html
不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0696１３２人目の素数さん
2008/12/18(木) 00:37:29このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！
0697１３２人目の素数さん
2008/12/18(木) 22:53:51Q,R を >>589 のようにおくと
(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3} >>585
= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。
rを固定したときの q の下限および上限は
q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 (8≦r≦9)
= 2r-3 (r≧9)
rが大きいほど細く鋭くなる。 （素手で触るな）
r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
8<r<9 についても同様。
0698１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 22:34:058<r<9 のときは、
r-8 < r/9,
q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),
-------------------------------------
(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0 (r→∞)
0699１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 12:09:03(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).
0700１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 14:12:310701１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 14:30:590702１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 15:50:360703１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:25:07自演は初代スレから恒例だ！
もうね アホガド バナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)
0704１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:40:290705１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:49:15死因は何？
0706１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:52:472008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。
■ソース(日テレニュース24）
http://www.news24.jp/125696.html
※有志によるキャプチャ画像
http://tvde.web.infoseek.co.jp/cgi-bin/jlab-dat/s/347618.jpg
■前スレ(1の立った日時 12/24(水) 16:14:24）
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230102864/
【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230103771/
0707１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:59:52／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／
| ､ ＿ __,,／ ＼
0708１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 01:24:11max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}
0709１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:06:44なん…だと！
0710１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 08:06:19どうやったんだよ
0711１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 13:22:09誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。
>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また (c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)} (← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。
0712１３２人目の素数さん
2008/12/29(月) 18:19:53[A.435] の拡張 >>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。
そこで >>672 に習って
b+c-a = a', c+a-b = b', a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･
[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
ここに s = a'+b'+c'.
等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。
【系】
a,b,c ≧0 のとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/677
0713712
2008/12/29(月) 18:24:36【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
0714Shapiro
2009/01/03(土) 19:56:03Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。
[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,
0715１３２人目の素数さん
2009/01/16(金) 19:05:310716１３２人目の素数さん
2009/01/16(金) 23:11:26うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)
0717１３２人目の素数さん
2009/01/17(土) 23:53:44〔問題〕
abc = d^3, √3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},
(略証)
abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0
(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3, T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2, T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。
・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,
・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,
0718717
2009/01/17(土) 23:56:03〔補題〕↑ のようにおくとき
S ≧ T1 ≧ 3xyz, S ≧ T2 ≧ 3xyz,
(左側) チェビシェフ不等式から、あるいは
(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,
(右側)も 相加・相乗平均。
0719１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 00:55:25数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号
0720１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 07:31:590721１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 13:41:41( ⌒)＿ ∩_ _ 黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼ ﾊｧﾊｧ ／/
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ | ／ /＿＿＿
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ./ ／ Σ ＼
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n / ∩.|:::: ＼ .／ |
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E） / .| | | (● (●）|＿
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ ノ／
0722１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 20:57:270723１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 21:43:48(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27
0724１３２人目の素数さん
2009/02/05(木) 00:42:33次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個
↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}
面白い問題おしえて～な 十五問目
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/99
0725１３２人目の素数さん
2009/02/07(土) 20:47:340726１３２人目の素数さん
2009/02/07(土) 23:07:15分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う
0727１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 03:05:54左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。
任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3
もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。
0728１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 04:40:480729１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 09:00:45相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略
0730１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 09:01:380731１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 19:32:27a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺 は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする
a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1 …(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0 …(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1 …(3)
s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0 …(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)
t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2) …(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■
0732731
2009/02/08(日) 22:58:40× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて
因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること
0733１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 23:03:070734１３２人目の素数さん
2009/02/09(月) 16:59:31x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.
X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.
0735734
2009/02/09(月) 20:55:190736１３２人目の素数さん
2009/02/09(月) 21:01:400737１３２人目の素数さん
2009/02/11(水) 22:32:08s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと >>728
(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。
〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).
0738１３２人目の素数さん
2009/02/12(木) 00:57:10自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数
108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは 等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n について たす。
n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),
0739１３２人目の素数さん
2009/02/14(土) 00:12:52〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、 |⊿| = xy(x+y), s = 3m+2x+y, t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴ t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。
>>727
(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,
0740１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 03:25:55n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,
(略証)
・左側
(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/555
京大入試作問者スレ①
0741１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 03:52:110742１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 18:13:33とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・
0743１３２人目の素数さん
2009/02/26(木) 13:49:15分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ
0744１３２人目の素数さん
2009/02/26(木) 23:01:51楽しみだぜ！
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0745１３２人目の素数さん
2009/03/02(月) 17:46:170746１３２人目の素数さん
2009/03/03(火) 23:52:29http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50
0747１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 00:07:59Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
に避難しました。
0748１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 00:23:39グッジョブ！
0749１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 00:32:35√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
0750１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 00:47:23ネタバレになるから回答しないように。
0751１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 01:18:18簡単すぎ
0752１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 01:38:52過去に解いたことがある
入試問題かな？
0753１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 03:06:05泥沼にはまった予感
0754１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 01:59:49の最大値の求め方って何通りありますかね？
0755１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 02:21:410756１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 17:02:58勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。
その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。
雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。
しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。
リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」
しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。
0757１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 21:51:51(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)
(2) 次の不等式を示せ.
0.9999^101<0.99<0.9999^100
0758１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 22:02:25なんで命令形なの？むかつくんだけど
0759１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 22:38:50今年の東大入試の第５問のコピペだから。
0760１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 23:20:42消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
0761１３２人目の素数さん
2009/03/06(金) 12:53:46これに30分もかけなければ今頃俺は
0762１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 00:22:41(1) f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x^2) > g(x),
x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
x･g(x^2) < x･g(x),
f(x^2)/x < f(x),
(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),
0763１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 00:43:26(1) f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x) > g(x^2),
x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
x･g(x) < x･g(x^2),
f(x) < f(x^2)/x,
log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
1-x < (1-x^2)^(1/x),
(2) (1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....
0764１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 02:06:150765１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 02:11:03落ちてそうだから死にたい。
0766１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 08:45:08最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)
0767１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 22:26:28(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。
0768１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 01:00:22f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。
(1) f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。
(2) x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。
0769１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 16:10:21(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2
0770１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 19:05:38もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな
0771１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 19:57:440772１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 23:43:39ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…
0773１３２人目の素数さん
2009/03/09(月) 00:02:16他の議論をしているときに「たまたま現れました」っていう不等式や、
もっと洗練されたものの特殊ヴァージョンじゃないのか？
0774１３２人目の素数さん
2009/03/09(月) 00:15:14例えば、(「不等式への招待」)第５章「不等式の作成と証明法」
の例題１の不等式が本当にそのまま論文で出版されているのか、
ということを聞いた訳さ。
ちょっと読みにくかったり曖昧に書かれている箇所がところどころあるんだがな。
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