不等式への招待 第３章
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0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0628１３２人目の素数さん
2008/11/07(金) 19:37:45>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。
0629>>615訂正
2008/11/07(金) 19:53:16n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。
0630１３２人目の素数さん
2008/11/07(金) 20:07:16どこの山から出てきたんだ？
0631１３２人目の素数さん
2008/11/07(金) 20:09:400632１３２人目の素数さん
2008/11/07(金) 23:55:05少し黙ってろ！
0633１３２人目の素数さん
2008/11/08(土) 03:26:54（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ
0634１３２人目の素数さん
2008/11/08(土) 03:32:44f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。
0635１３２人目の素数さん
2008/11/08(土) 09:53:36それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。
0636１３２人目の素数さん
2008/11/08(土) 20:04:091-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.
>>633 (中)
f(a) = 1 - (1+a)/√2, (a≦0)
= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2), (0≦a≦1)
= -1 + (1+a)/√2, (a≧1)
0637１３２人目の素数さん
2008/11/08(土) 22:43:41それf(a)求めただけやん(笑)
0638１３２人目の素数さん
2008/11/08(土) 23:55:39具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない
0639１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 01:17:19おまいはテレパスか！
0640１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 02:10:10上教えてちょ
0641636
2008/11/09(日) 21:47:35f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･
0642１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 22:10:22部分積分を使うらしい･･･
∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).
0643１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 23:17:35解いたことがある。もう忘れてたけど。
0644ヘルマンワイル先生生誕記念カキコ
2008/11/09(日) 23:48:180645446
2008/11/10(月) 23:33:38g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．
0646１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 08:00:001/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.
0647１３２人目の素数さん
2008/11/13(木) 03:04:120648１３２人目の素数さん
2008/11/13(木) 06:56:52名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？
0649１３２人目の素数さん
2008/11/13(木) 13:03:58てふでまとめていますが何か？
0650１３２人目の素数さん
2008/11/14(金) 07:59:40もううｐせざるを得ないだろう
0651１３２人目の素数さん
2008/11/14(金) 10:04:110652１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 23:21:5164 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),
(略証)
スターリングの不等式
(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),
65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/113
さくらスレ２３５
66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65
log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),
log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),
log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8, (n→∞)
0653１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 23:56:52任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.
(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/202
0654１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 00:26:14|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
(略証)
(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}
0655１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 16:36:21おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ
0656１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 22:37:59ワイルの一様分布定理から、
〔補題〕 a/π≠整数 ならば、
(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π. (m→∞)
0657656
2008/11/20(木) 22:30:32〔補題〕 a/π ≠有理数 ならば、
0658１３２人目の素数さん
2008/11/24(月) 20:12:49(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。
(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
定数mの値の範囲は-6<m<3である。
これを証明してください。
0659１３２人目の素数さん
2008/11/24(月) 22:18:03お前は勉強をやめた方がいい。
0660１３２人目の素数さん
2008/11/24(月) 23:23:19荒ら砂！
質問は質問スレに池！
0661１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 01:34:421/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ
0662１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 21:32:470663１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 22:31:04ﾋ‐=r=;' ∬ 口を慎みたまえ！
'ヽニ/ っ━~~ 君は不等式王の前にいるのだぞ！
＿と~,, ~,,,ﾉ_ ∀
ﾐ,,,,/~). │ ┷┳━
￣￣￣.じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
0664１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 09:56:45納k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
0665１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 23:22:39[751] 微分法を使う。
g(t) = log(sin(e^t)) とおくと
g '(t) = (e^t)/tan(e^t) は単調減少(*)
g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}
(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
より、x/tan(x) は単調減少。
[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.
0666１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 23:24:24それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
0667665
2008/11/27(木) 23:57:46f(x) = log(sin(x)) なので、
log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
0668１３２人目の素数さん
2008/11/28(金) 05:13:490669１３２人目の素数さん
2008/11/28(金) 23:42:33おまえには教えてやらねーよ！
0670１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 00:20:540671１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 12:07:583abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2
∧_∧
_ ( ﾟ∀ﾟ) たぶん、出したことないと思う…
|≡(つc□≡|
`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ
0672１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 18:50:59(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,
(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],
(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].
>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0, c+a-b = b' >0, a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
a = (b'+c')/2, b = (c'+a')/2, c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように s = a'+b'+c' = a+b+c, t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。
ハｧハｧ
0673１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 19:19:09移項したらSchur不等式････
(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
0674１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 20:11:590675１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 21:13:11(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
0676671
2008/11/29(土) 22:30:45ありがとうございます。
0677１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 20:28:22(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
たのもー( ^ิิ,_ゝ^ิ)
0678１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 22:14:560679１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 16:40:460680１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 20:31:05いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。
それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
0681１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 03:15:18>>341 の [A.435] でつね。
>>394 いわく、
とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。
>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
0682１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 11:48:570684１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 23:40:27r-q 平面のグラフが見たい････
0685１３２人目の素数さん
2008/12/07(日) 00:24:18>>680
誤解してた、すまない。
0686１３２人目の素数さん
2008/12/07(日) 04:23:34a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ
2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ
3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)
0687１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 01:45:320688１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 03:44:10(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中
0689１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 03:46:55(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した
0690１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 04:58:11(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと
与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0
a,b,c> 0よりこれは正しい。
0691１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 13:39:30E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。
0692１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 14:36:06解答PDFを作ってみた。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/48ec20d82641686f.pdf
0693１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 16:39:46自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。
0694１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 17:51:33E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。
0695１３２人目の素数さん
2008/12/18(木) 00:22:39http://www.nippyo.co.jp/magazine/maga_susemi.html
不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0696１３２人目の素数さん
2008/12/18(木) 00:37:29このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！
0697１３２人目の素数さん
2008/12/18(木) 22:53:51Q,R を >>589 のようにおくと
(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3} >>585
= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。
rを固定したときの q の下限および上限は
q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 (8≦r≦9)
= 2r-3 (r≧9)
rが大きいほど細く鋭くなる。 （素手で触るな）
r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
8<r<9 についても同様。
0698１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 22:34:058<r<9 のときは、
r-8 < r/9,
q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),
-------------------------------------
(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0 (r→∞)
0699１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 12:09:03(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).
0700１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 14:12:310701１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 14:30:590702１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 15:50:360703１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:25:07自演は初代スレから恒例だ！
もうね アホガド バナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)
0704１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:40:290705１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:49:15死因は何？
0706１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:52:472008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。
■ソース(日テレニュース24）
http://www.news24.jp/125696.html
※有志によるキャプチャ画像
http://tvde.web.infoseek.co.jp/cgi-bin/jlab-dat/s/347618.jpg
■前スレ(1の立った日時 12/24(水) 16:14:24）
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230102864/
【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230103771/
0707１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:59:52／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／
| ､ ＿ __,,／ ＼
0708１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 01:24:11max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}
0709１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:06:44なん…だと！
0710１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 08:06:19どうやったんだよ
0711１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 13:22:09誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。
>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また (c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)} (← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。
0712１３２人目の素数さん
2008/12/29(月) 18:19:53[A.435] の拡張 >>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。
そこで >>672 に習って
b+c-a = a', c+a-b = b', a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･
[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
ここに s = a'+b'+c'.
等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。
【系】
a,b,c ≧0 のとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/677
0713712
2008/12/29(月) 18:24:36【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
0714Shapiro
2009/01/03(土) 19:56:03Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。
[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,
0715１３２人目の素数さん
2009/01/16(金) 19:05:310716１３２人目の素数さん
2009/01/16(金) 23:11:26うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)
0717１３２人目の素数さん
2009/01/17(土) 23:53:44〔問題〕
abc = d^3, √3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},
(略証)
abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0
(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3, T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2, T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。
・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,
・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,
0718717
2009/01/17(土) 23:56:03〔補題〕↑ のようにおくとき
S ≧ T1 ≧ 3xyz, S ≧ T2 ≧ 3xyz,
(左側) チェビシェフ不等式から、あるいは
(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,
(右側)も 相加・相乗平均。
0719１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 00:55:25数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号
0720１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 07:31:590721１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 13:41:41( ⌒)＿ ∩_ _ 黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼ ﾊｧﾊｧ ／/
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ | ／ /＿＿＿
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ./ ／ Σ ＼
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n / ∩.|:::: ＼ .／ |
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E） / .| | | (● (●）|＿
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ ノ／
0722１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 20:57:270723１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 21:43:48(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27
0724１３２人目の素数さん
2009/02/05(木) 00:42:33次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個
↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}
面白い問題おしえて～な 十五問目
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/99
0725１３２人目の素数さん
2009/02/07(土) 20:47:340726１３２人目の素数さん
2009/02/07(土) 23:07:15分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う
0727１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 03:05:54左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。
任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3
もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。
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