>597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。

1/(a(b+1))+1/(b(c+1))+1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))