不等式への招待 第３章
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0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0484１３２人目の素数さん
2008/08/30(土) 01:12:12「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。
0485１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 06:57:59f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x}, (a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。
〔補題〕 a<1, j>0 ならば
(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j, 等号成立は x=j/(1-a) のとき。
0486１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 15:45:53流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より
(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz
0487１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 18:52:13を示す巧い方法ありますかね？
0488１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 18:56:09成り立たないだろ
0489１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 20:16:27凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。
0490１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 20:47:20とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。
0491１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 21:03:580492１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 01:12:43cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0
log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) ) (∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)
log(x)の単調増加性から cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から 1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2
0493１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 01:15:39cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。
右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。
[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。
0494１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 13:37:35↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ
0495１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 13:46:11三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される
0496１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 01:06:12それ、ハイ理にあったような
0497１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 01:15:31ハイ理とは何ぞや？
>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？
0498１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 02:04:14ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?
0499１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 02:31:50( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...
----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
S = abc/(4R) を用いる
(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)
(3) チャップル・オイラーの定理を用いる
(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------
私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…
その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します
不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...
0500１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 03:12:31>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする
0501１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 07:55:04外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す
0502１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 18:39:01それ、チャップル・オイラー
0503１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 02:33:320504１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 02:38:270505１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 02:53:30聞いたことないのは不勉強？
0506１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 03:09:02>>505
ヴィルティンガーつったらspellはwirtingerだろうからぐぐろうぜ
0507１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 17:32:260508１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:01:53ぐぐった結果、動画ファイルなどを見つけて聞いたのならOK
0509１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:12:16何その詭弁
空気読めないねって良く言われるだろ
0510１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:54:23死ねｗ
0511１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:57:09聞いたことはないが知ってるってやつ
0512１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:58:30KY1級
0513１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 16:23:44θ=(360/11)°の時(1/cosθ)+(1/cos2θ)+(1/cos3θ)+(1/cos4θ)+(1/cos5θ)の値を求めよ
お願いします
0514１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 16:49:420515１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 17:38:470516１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 18:31:11ヒント：2倍して1を足せ
0517１３２人目の素数さん
2008/09/14(日) 07:01:32次の恒等式を考える。 (11倍角公式)
cos(11t) = T_11(cos(t)),
ここに T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x,
T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2,
∴ cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。
∴ 1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。
(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32,
根と係数の関係より、
(与式) = -6.
0518１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 11:17:09>>121-122
0519１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 12:15:13左辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する.
(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺),
ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S) を使った。
0520１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 12:43:00中辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入して計算すると
(中辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc),
ここで、
√{( a-b+c)(a+b-c)} = √{a^2 -(b-c)^2} ≦ a,
√{(-a+b+c)(a+b-c)} = √{b^2 -(c-a)^2} ≦ b,
√{(-a+b+c)(a-b+c)} = √{c^2 -(a-b)^2} ≦ c,
辺々掛けて
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ≦ abc,
0521519
2008/09/15(月) 21:24:35ヘロンの公式も使った。
s = (a+b+c)/2 とおくと、S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},
http://ja.wikipedia.org/wiki/ヘロンの公式
http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
遠山 啓, 数学セミナー, √{(三辺の和の半)×(同－第一辺)(同－第二辺)(同－第三辺)} (1977)
宮沢賢治, 和賀郡二子村・花巻農学校 齋藤貞一あて 封書 (1927)
0522１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 22:19:32x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3
△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)
0523１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 22:49:30>>ヘロンの公式
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない
0524１３２人目の素数さん
2008/09/16(火) 15:30:46\[
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36)
\]
\[
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11)
\]
.
Prove the following inequality.
\[
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6.
\]
0525１３２人目の素数さん
2008/09/16(火) 21:58:34そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。
0526１３２人目の素数さん
2008/09/17(水) 00:56:06(上) コーシーの不等式より
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,
(中)
f(x) = x･log(x) とおく。
f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。
0527１３２人目の素数さん
2008/09/17(水) 22:00:51∫[-1→1]{f(x)/√(1+x^2)}dx≧0
0528１３２人目の素数さん
2008/09/17(水) 22:34:51(0＜a＜b、X、Y、Zはいずれもa以上b以下であるー)「X+Y+Z=a+2b⇒XYZ≧ab＾2」を示せ
0529１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 07:08:59(Toth の証明)
Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,
一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。
文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162
0530１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 09:25:58S08-4 が不等式の手強い問題。
既に応募締切は過ぎてるけど…。
0531１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 22:03:270532１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 22:04:08(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
(右辺) < 3/5.
>>528
XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0, ････ (1)
Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0, ････ (2)
X+Y+Z -a -2b = 0, ････ (3)
(1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より
XYZ - ab^2 ≧ 0.
等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。
0533１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 22:29:420534１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 22:58:030535１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 01:11:37実際、誘導つきなんですがねえ。
0536１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 02:50:44不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。
0537５３６
2008/09/19(金) 02:55:480538１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:19:16(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²
0539１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:20:410540１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:42:06(-1+納j=1,n]x[j]x[j+1])^2 (x[n+1]=x[1])
=1-2納j=1,n]x[j]x[j+1]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(納j=1,n]x[j])^2-2納j=1,n]x[j]x[j+1]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=納j=1,n]x[j]^2+2納1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞納j=1,n]x[j]^2
0541１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:45:520542１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:46:410543KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/09/19(金) 12:30:280544１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 14:54:59＞ =(納j=1,n]x[j])^2-2納j=1,n]x[j]x[j+1]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞ =納j=1,n]x[j]^2+2納1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
これはどういう変形？
0545１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 16:20:24(納j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ
0546１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 17:52:030547１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 18:29:250548KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/09/19(金) 21:06:370549１３２人目の素数さん
2008/09/20(土) 03:45:57x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
s = 1,
納j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。
0550１３２人目の素数さん
2008/09/20(土) 08:07:350551551蓬莱
2008/09/20(土) 23:51:560552１３２人目の素数さん
2008/09/21(日) 07:57:453段の方が4段より難しかったな。
0553１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 20:27:12全ての自然数nについて
n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/620
(略証)
左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。
log(1!)=0 より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
= log(n),
b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
= log(n),
よって成立。
0554１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 23:57:110555１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 03:31:17夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)
0556１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 01:08:48みせてもらおうか！
その過程とやらを！
0557１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 01:37:22e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。
0558１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 07:12:07全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理
0559１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 09:38:47なめんなよ！
0560１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 14:07:15e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。
0561１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 20:39:17連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
f(x) = x … (1)
f(f(x)) = x … (2)
f(f(f(x))) = x … (3)
f(f(f(f(x)))) = x … (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/096, 104, 118
京都大学入試作問者スレ①
0562１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 20:41:28(略証)
f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴ g(x) は定符号。
題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …
0563１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 23:49:07評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。
0564１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 00:26:53関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0565１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 04:42:02十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）
だからこの問題は要するに
π を 誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。
2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？） 桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui%27s_%CF%80_algorithm
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。
で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。
0566１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 04:43:19これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。
Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。
円周率の公式と計算法
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi04.pdf
イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。
残りの参考サイト
円周率の公式集 暫定版
http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/
http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Pi_algorithms
http://en.wikipedia.org/wiki/Pi 記事内のリンクも参照。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2
0567１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 15:38:02と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある
0568１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 17:33:57だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。
Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。
0569１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 18:00:03もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)
0570１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 20:05:15円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
π^4+π^5≒e^6 (400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
数値計算をせずに
π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。
0571KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/10/06(月) 20:54:560572１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 23:59:10論理的になら証明できるんだけど、残念！
0573１３２人目の素数さん
2008/10/07(火) 00:09:55いかにもエレ解な問題だな
0574１３２人目の素数さん
2008/10/07(火) 01:17:05π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、
0575１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 01:17:31http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
最後の2つを参照、作成時刻にも注目
0576１３２人目の素数さん
2008/10/09(木) 21:33:02http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/121
f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）
・境界上の極大
6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。
・ 内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0 から
f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ, f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴ (a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で 極大値 18 をとる。
なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)
しかし･････後味わるいな。
0577576
2008/10/09(木) 21:47:216/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
0578１３２人目の素数さん
2008/10/10(金) 00:57:080579１３２人目の素数さん
2008/10/11(土) 00:16:100580576
2008/10/13(月) 04:25:00を解くところを補足しとく。
f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴ {x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴ 区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴ 極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
≦ 18, (1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。
なお、a=0.279000307274921･･･ には極小（鞍点、峠点）がある。
0581１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 06:28:12A.435. Prove
(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.
(略解) (>>394 を参照)
>>373-374 から,
6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,
0582１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 08:19:15B.4021
a_k = 1 + b_k, b_k≧0 とおくと
(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).
A.433 A.436 A.439 A.447 は解答付き。
0583１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 00:12:38次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．
t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。
0584583
2008/10/19(日) 00:45:17r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．
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