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不等式への招待第３章

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0001１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:00:00

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

0366１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:53:25

a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1+3abc
=S1^3-2*S1*S2+3*S3

(s1-a)(s1-b)(s1-c)=S1^3-(a+b+c)S1^2+(ab+bc+ca)S1-abc
=S1*S2-S3

0367１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:57:14

>>366
続き教えてください

0368１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:58:19

S1*S2/S3≧6{S1^3-2*S1*S2+3*S3}/{S1*S2-S3}

S1*S2*{S1*S2-S3}-6*S3*{S1^3-2*S1*S2+3*S3}≧0

0369１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 22:02:04

-6*S3*S1^3+S2^2*S1^2+13*S2*S3*S1-18*S3^2≧0

0370１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 22:08:15

>>369
それが常に成り立つことの証明は？

0371１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 23:05:37

>>360

　(分子) = Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n),
　(分母) = Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n],
より
　(左辺) = {2^(2n)}/C[2n,n] = b[n]
とおく。
　b[1] = 2 = √(2n),
　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
　　< √{n/(n-1)}.
∴　b[n]/√(2n) は単調減少。
なお、
　b[n]/√(2n) → (√π)/2,　　　　(n→∞)

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/239

0372371

2008/07/10(木) 23:08:51

　b[1] = 2 = 2√n,
　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
　　< √{n/(n-1)}.
∴　b[n]/(2√n) は単調減少。
なお、
　b[n]/(2√n) → √(π/2),　　　　(n→∞)

0373１３２人目の素数さん

2008/07/11(金) 10:14:37

a,b,cは0より大きく1/2より小さい実数でa+b+c=1を満たすとする。このとき
(7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18

0374１３２人目の素数さん

2008/07/11(金) 10:15:47

>>373
0＜a,b,c≦1/2 で考えてください。m(_ _)m

0375１３２人目の素数さん

2008/07/13(日) 11:09:47

∫[-1,1]|x^2+ax+b|dx≧1/2
を示せ

0376１３２人目の素数さん

2008/07/13(日) 18:12:00

今までで一番綺麗だと思った不等式は何ですか

0377１３２人目の素数さん

2008/07/13(日) 20:49:27

>376
シュワルツの不等式

0378１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 21:51:14

>>375
(ア)　[-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は
　a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。

(イ)　[-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！
　(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx
　　　= {(1/6)(3β-α)α^2 + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)}
　　　= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3　　　　　　　　　　　　(αβ≧0 のときは明らかに ≧2/3)
　　　= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2　(← 以下、α≦0≦β とした.)
　　　= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2
　　　≧ 1/2.
等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終)

いくら何でもマンドクセ？

0379１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 22:40:32

>>342
B.4097.
　(x,y) = (6,2), (50,10), (294,42).

>>377
　さようなら。
　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/

>>378　　　　(← 注釈無用)

0380379

2008/07/14(月) 22:44:37

〔問題〕は↓でつ･･･

B.4097.
Solve the following equation on the set of integers:
　　　2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1.

0381１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 23:29:34

>>380
そういや、まだ考えてなかった…

0382１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 13:27:24

Jensenの不等式で
f(t_1･x_1+…+t_n･x_n)<=t_1･f(x_1)+…+t_n･f(x_n)
が証明されて、特に
t_1=…=t_=1/n
とおけば
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
ですが、
t_1+…+t_n=1
の場合を示さないで、直接
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
を示すことは可能なんですかね？

0383１３２人目の素数さん

2008/07/16(水) 23:32:04

入試問題でも貼ろうか？

0384１３２人目の素数さん

2008/07/16(水) 23:36:21

不等式ならドンと来い

0385１３２人目の素数さん

2008/07/16(水) 23:59:00

2S|x^2+ax+b|>2S|(1+a)x^2+b|>2S|x^2+b|>2S|x^2|>2/3|x|>2/3>1/2

0386１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 01:05:11

>>380
x,yは整数でy≠0よりx≠0、さらに2^(x/y)は整数よりy|xかつｘ≧y≧1
あとはゴリ押しで、任意の正整数nに対して
x=(2/3)(2n+1)((2^n)-1)((2^n)+1)、y=(2/3)((2^n)-1)((2^n)+1)
が求める整数解となる

不等式とか関係ない気がするが

0387１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 02:16:55

ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０，ａ＋ｂ≧ｃのとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ
｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛ｂ／（１＋ｂ）｝≧ｃ／（１＋ｃ）
（５３群馬大，５９中部工大）

２数ａ，ｂがａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１を満たすとき，
｛ａ＋（１／ａ）｝＾２＋｛ｂ＋（１／ｂ）｝＾２≧２５／２
を証明せよ（５２茨城大）

３つの正数ｘ，ｙ，ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすとき，不等式
｛２＋（１／ｘ）｝｛２＋（１／ｙ）｝｛２＋（１＋ｚ）｝≧１２５
が成り立つことを示せ（５８東京女大・数理）

ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ＋ｎ）｝
の最大値を求めよ（５８東京理科大）

暇潰しにもならないと思うがどうぞ

0388１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 02:20:48

訂正
ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ／ｎ）｝
の最大値を求めよ（５８東京理科大）

0389１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 03:40:53

フハハハハ…、解ける、解けるぞ！

0390１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 07:02:42

(1-25/3n)^3
2*2.5^2=2*5^2/2>25/2
2(c/2+2/c)^2=(4+c^2)^2/2c^2>c/(c+1)

　2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1
2^(x/y-1)=1+(3/2)y=(2+3y)/2
2^(x/y)=2+3y
(x/y)log2=log(2+3y)
xlog2=ylog(2+3y)
x=ylog(2+3y)/log2

log(2+3y)=klog2
2+3y=2^k
y=(2^k-2)/3=2(2^(k-1)-1)/3
2^(k-1)-1=3m
k-1=log(3m+1)/log2
k=log(3m+1)/log2+1
y=(2^k-2)/3=2(2e^log(3m+1)-2)/3=2(2(3m+1)-2)/3=4m
x=ylog(2+3y)/log2=4mlog(2+12m)/log2

0391１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 22:10:13

私にも解けますた…

>>387
(1)　a/(1+a) + b/(1+b) ≧ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) = (a+b)/(1+a+b) ≧ c/(1+c).　　　{← x/(1+x) は単調増加}
　　∵ (a+b)(1+c) - (1+a+b)c = (a+b) - c ≧ 0.

(2)　a+b=s, b-a=d とおくと
　(左辺) = {a+(1/a)}^2 + {b+(1/b)}^2
　　= (a^2 + b^2) + {(1/a)^2 + (1/b)^2} + 4
　　= (a^2 + b^2){1 + (1/ab)^2} + 4
　　= (1/2)(s^2 + d^2){1 + 16/(s^2 - d^2)^2} + 4
これは d^2 について単調増加。d=0 のとき最小値
　(1/2)(s^2){1 + (2/s)^4} + 4 = 2{(s/2)+(2/s)}^2.
　(別法)　f(x) = {x + (1/x)}^2 = x^2 + 2 + 1/(x^2)　は下に凸だから
　　f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2) = 2f(s/2) = 2{(s/2)+(2/s)}^2.

(3)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
　(xy+yz+zx)/(xyz) = t/u ≧ 3*(3/s),
　(x+y+z)/(xyz) = s/u ≧ 3*(3/s)^2,
　1/(xyz) = 1/u ≧ (3/s)^3,
　(左辺) = {2+(1/x)}{2+(1/y)}{2+(1/z)} = {8xyz + 4(xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1}/(xyz)
　　= 8 + 4(xy+yz+zx)/(xyz) + 2(x+y+z)/(xyz) + 1/(xyz)
　　≧8 + 12*(3/s) + 6*(3/s)^2 + (3/s)^3
　　= {2 + (3/s)}^3

>>388
(4) 相乗相加平均より
　(与式) ≦ {1 - (x+y+z)/(3n)}^3 = {1 - s/(3n)}^3.

0392１３２人目の素数さん

2008/07/18(金) 19:46:07

とりあえずIMO

'08 2
(1)x,y,z∈R-{1}, xyz=1のとき, x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1を示せ。
(2)(1)で、等号が成立する有理数の組(x,y,z)が無限に存在することを示せ。

0393１３２人目の素数さん

2008/07/19(土) 00:09:16

>>392
(1)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
　{x(y-1)(z-1)}^2 + {(x-1)y(z-1)}^2 + {(x-1)(y-1)z}^2 - {(x-1)(y-1)(z-1)}^2
　= 3u^2 -4tu +2t^2 -2(st-3u) + (s^2 -2t) - (u-t+s-1)^2
= (t-3)^2 + 2(u-1)(u-t-s+5),
　= (t-3)^2　　　　　　　　　　 (← 題意より u=1)
　≧ 0,
これを {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 >0 で割る。

(2)　等号条件は t=3, u=1. なので･･･

0394１３２人目の素数さん

2008/07/20(日) 08:47:38

とりあえず、>>373-374が解ければA.435が解けることが分かった。

0395１３２人目の素数さん

2008/07/20(日) 15:21:54

そろそろ、３文字の対称式に対する不等式に対して一般的解法をここへ載せてもいい時期ではないか？
表立って現れて来ない条件は３文字が実数を現すって事だけで、後は問題の条件が付け加われば
もう、解法に使える条件式は本質的にはないのだから、後はその式が少々煩雑で
一般的にはそれほどよく目にしないってだけの話なんだから、、、。
そうして、文字の次数をあげれば、それはそれで一般的な理論への道が開けている。

そうして、事はそれほどには単純明快にはならないだろうが、、、。
ここらへんから先には幾何や代数もからんで来て数学を学んで視野や地平線を広げていくのには
格好の話題になると思う。

別に不等式だけからでも、数学の全分野に近い範囲を見渡す事だってできると思うし、
そいつは結構おもしろい旅路だと思うよ。

0396１３２人目の素数さん

2008/07/21(月) 00:10:03

>>395
さあ！

0397１３２人目の素数さん

2008/07/23(水) 01:01:13

a,b,c≧1のとき、次の不等式を証明せよ。
4(a+b+c)≧(1+a)(1+b)(1+c)
・・・なんか間違ってるような気がするんだが、
どのようなものと間違えたか心当たりある人いる？

0398１３２人目の素数さん

2008/07/23(水) 01:38:49

>>397
a = b = c = 2 のとき左辺 = 24、右辺 = 27 にて不成立

0399１３２人目の素数さん

2008/07/24(木) 23:12:44

頭悪いので次の式が成り立つのが分かりません。
C>1、nが正の整数であるとき、C<=(1+((C-1)/n))^n
教えてください。引き算と割り算のどちらからも
数学的帰納法をうまく使えませんでした。

0400１３２人目の素数さん

2008/07/24(木) 23:21:20

数式部分を書き直すと、
Ｃ＞１で、nが正の整数であるとき、
C≦(1+((C-1)/n))^n

0401１３２人目の素数さん

2008/07/24(木) 23:31:57

>>399
x ≧ 0 について (1 + x)^n = 1 + n x + ... ≧ 1 + n x なので
x = (C - 1)/n を代入するだけ。

0402399

2008/07/25(金) 11:47:10

早速のご回答ありがとうございます。リロードするのを忘れて
レスが付いたのに気づくのが遅れました。２項定理でしたか。
なるほど。ありがとう。

0403１３２人目の素数さん

2008/07/26(土) 18:28:48

図書館に
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
あったから借りてきた
受験参考書っぽくてよさげ

0404１３２人目の素数さん

2008/07/26(土) 23:38:37

>>403
すばらしい！
くれ！

0405１３２人目の素数さん

2008/07/26(土) 23:42:40

どこの大学にもあるんじゃね？
うちの大学にもあるが数学科が借りてるらしい

0406１３２人目の素数さん

2008/07/27(日) 18:03:41

うちの大学って言われても……

0407１３２人目の素数さん

2008/07/28(月) 03:43:15

復刊希望ンヌ！

0408１３２人目の素数さん

2008/07/30(水) 23:03:59

他スレから１題･･･

〔問題396〕実数 a,b,c が条件
　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 60,
を満たすとき、
　S = |a-b| + |b-c| + |c-a| の最大値と最小値を求めよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/396 ,442

0409１３２人目の素数さん

2008/07/30(水) 23:07:48

>>408

(略解)
　b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0,
∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。
題意より　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0,
{x,y,z} の2つは正、1つが負である。
x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。
　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y),

(最小値)
軸を45ﾟ回して
　S/(√8) = (x+y)/√2,　
　d = (x-y)/√2,
とおくと、
　3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S,
題意より、
　0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S),　　　（F は単調増加函数）
　S ≧ 4･10^(1/3),
　等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。

(最大値) なし
　x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0,　S=2(x+y) →∞.

0410１３２人目の素数さん

2008/08/02(土) 12:58:58

π^4+π^5<e^6を示せ

0411１３２人目の素数さん

2008/08/02(土) 13:39:34

グーグルで計算したら殆ど同じだった。
でも少しだけe^6が大きかった。
これはただの偶然か？

0412１３２人目の素数さん

2008/08/02(土) 14:24:28

これだけ近い値だと近似して示すのは無理ぽいな
なんかうまい方法があるのかな

0413１３２人目の素数さん

2008/08/02(土) 23:05:28

π^4 + π^5 ≒ e^6 は有名な近似式でつ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

0414１３２人目の素数さん

2008/08/03(日) 02:29:53

スゲーΣ(0д０`ノ)ノ
誰がこんな近似思いついたんだ！

0415１３２人目の素数さん

2008/08/03(日) 02:49:01

持ってる本で一つ、>>410関連のことをごく短く書いてあるのがあったな

「数のエッセイ」（一松信、ちくま学芸文庫）
のP.236（ただし、俺の持ってるのは第二刷発行のものなので、それ以外はわからん）で、
文庫本編のエッセイに対する補足説明の部分の一文なのだが、

――――もっとおもしろいのは
π^4 + π^5 ＝ 403.4267758… ≒ e^6 ＝ 403.4267934…
であろう。
最後の式（↑の式のこと）はカナダでT^3（電卓研究会）が開かれたとき（2003年）、
現地の年配の女性教員から教えられた。

と書いてあった
他にも何かの本で見たような気がするが、ちょっと思い出せないな

0416１３２人目の素数さん

2008/08/03(日) 04:36:00

別にすごくないでしょ。
eやπでの近似を考えて掛けたり割ったりしていれば
e^6をπで割っていってe^6/π^4を見れば気づく。

0417１３２人目の素数さん

2008/08/03(日) 05:33:41

>>416
じゃあ、eとπだけを使って
π^4+π^5≒e^6
みたいに小さい数で見た目のキレイな誤差0.0001以下の近似を作ってみな
どうせ作れないから

0418１３２人目の素数さん

2008/08/03(日) 06:39:02

>>417
　20 + π - e^π ≒ 0.0009000208 1052423273 3557015330 9555･･･
　e^6 - π^5 - π^4 ≒ 0.0000176734 5123210920 5537811247 561872･･･

0419１３２人目の素数さん

2008/08/03(日) 12:07:27

>>418
「e π 整数」
とかで検索すると上の式の載ってるHPがいくつか出てくる。
それと、下の式をそんな自信満々に貼られても……移項しただけじゃん。

そろそろ不等式に戻ろうか。

0420１３２人目の素数さん

2008/08/04(月) 00:32:46

近似式がすごいのか、思いつくのがすごいのか、どっちだ？

0421１３２人目の素数さん

2008/08/04(月) 00:39:08

よく見つけるなーとは思う

0422１３２人目の素数さん

2008/08/04(月) 00:53:21

係数と定数を無視すれば、e1項とπ2項では50乗くらいまでの中で一番良い近似っぽいね
これにて終了

0423１３２人目の素数さん

2008/08/04(月) 01:34:21

結局
π^4+π^5<e^6
を示すのは電卓使わないと無理でＯＫ？

0424１３２人目の素数さん

2008/08/04(月) 07:08:35

>>423
ゼータ関数ζ(3)を求める事くらい難しいと思うからＯＫ

0425１３２人目の素数さん

2008/08/04(月) 07:26:18

>>423
その不等式を数値計算しないで示せというのが数検であったからＯＫじゃない

0426１３２人目の素数さん

2008/08/04(月) 19:46:28

>>425　kwsk

0427１３２人目の素数さん

2008/08/05(火) 19:33:24

３段の問題だな

0428１３２人目の素数さん

2008/08/06(水) 00:32:34

>>427
もっとくわしく！ (；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ

0429１３２人目の素数さん

2008/08/06(水) 07:51:39

>>415
情報グッジョブ！

0430１３２人目の素数さん

2008/08/06(水) 10:09:16

http://www.suken.net/img/2008-07dani.pdf

これか

0431１３２人目の素数さん

2008/08/06(水) 16:29:09

>回答締切平成２０年９月１２日（当日消印有効）

ここに解答書いたらまずいってことか。
ここにいる猛者なら誰かは出来たであろう

0432１３２人目の素数さん

2008/08/06(水) 19:03:52

x>1に対しd/dx (1 - √(ln(x)/x))^(√(xln(x))<0を示せ.

0433１３２人目の素数さん

2008/08/06(水) 20:48:07

(√2)+(√3)-π＞0
であることをなるべく数値計算をせずに示せ

一応、答は用意してある

0434１３２人目の素数さん

2008/08/09(土) 08:07:33

東大スレに不等式がらみのが沢山あるね

0435１３２人目の素数さん

2008/08/09(土) 18:35:34

分かスレにもある･･･

〔問題823〕
曲面Q： (x/a)^r + (y/b)^r + (z/c)^r = 1　(a,b,c,r>0)と
平面P： ax + by + cy = 0 がある。

平面Pに平行で曲面Qに接する平面P'の式と接点の座標を a,b,c,r で表わせ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1217024032/823 874

0436１３２人目の素数さん

2008/08/09(土) 23:11:58

面白スレに三角比の(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ問題があるね

0437１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 16:38:21

相加相乗平均に新証明法　高校教諭、運転中にひらめく
http://www.asahi.com/science/update/0816/OSK200808160004.html

高校の数学で習う定理の新しい証明法を県立倉敷古城池高校教諭の内田康晴さん（４９）が見つけ、オーストラリアの数学専門誌に論文が掲載された。
「高校の教育現場から論文投稿はもっと増えていい。励みになるだろう」と数学者からも喝采の声が上がっている。

証明したのは「相加相乗平均の定理」。高校１年で習うことが多い。

内田さんは、ある定理の証明で描いていた図形が、相加相乗平均の定理の証明に使えることに気づいた。さらに簡単な証明法がないかと連日、考えていたところ、
出勤途中の運転中にひらめいた。高校入学後すぐに扱う簡単な公式を使うだけの方法だった。

0438１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 16:40:34

＞「この証明方法に気づいた人はこれまでにもいたはず。
＞簡単すぎるので発表済みと思ったのかもしれない」と謙遜（けんそん）する
分かってる先生だな。

>>437の証明法ってどういう証明かご存知の方いらっしゃいますか？

0439１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 16:42:33

http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf

これじゃないでしょうか

0440１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 17:11:56

萌え死にそうでつ
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

0441１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 17:20:19

ありがとう。

0442１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 17:32:14

http://www.nhk.or.jp/special/onair/070128.html
http://video.google.com/videoplay?docid=-8960593568071128585
http://www.nhk.or.jp/special/onair/080727.html
http://www.nhk.or.jp/special/onair/070903.html

0443１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 22:13:17

>>439
あんまり簡単だとは思えないな。

0444１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 22:22:40

まぁあれだ！
不等式があれば、あと10年は戦える！

0445１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 22:28:24

実数a,b,cに対してf(x)=ax^2+bx+cとする．このとき

∫[-1,1](1-x^2){f'(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx

であることを示せ． (08京大文系)

0446１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 23:27:08

>>445
x∈[-1,1] のとき 1-x^2 < 6 だから自明？

0447１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 23:33:48

∫[-1,1](1-x^2){f’(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx

0448446

2008/08/18(月) 23:41:22

>>447
thanks
' が見えなかった

0449１３２人目の素数さん

2008/08/19(火) 01:04:57

>>439
昔すう折りの本で見た子とあるぞ

0450１３２人目の素数さん

2008/08/19(火) 08:32:28

>>437
相加相乗平均に新証明法　県立高校教諭、運転中にひらめく
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/news/1219015315/

0451１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 00:38:27

>>433
用意しといた解答書いておく

sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π　　…(*)

一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
√2 + √3 - (8sin(π/12) + 4tan(π/12))
= √2 + √3 - (2√6 - 2√2 + 8 - 4√3)
= (√2-1)^2 (2-√3)^2 (√3-√2)
これは明らかに正なので
√2 + √3 ＞ 8sin(π/12) + 4tan(π/12)　　…(**)

(*)(**) より
√2 + √3 ＞ π

0452１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 00:43:24

>>451
神過ぎる！

0453１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 01:53:34

>>452
thx
今、こんなの見つけた
ttp://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html
簡単な証明あったら、カッコ悪いと思ったけど、大丈夫だった

0454１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 03:13:45

>>451

sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3

これはどこから沸いてきた。

0455１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 04:03:37

3 次のTaylor展開を用いた不等式でしょ。

0456１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 18:36:37

ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、

｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝

を示せ。

0457１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 22:17:40

>>445
　f(x) = ax^2 +bx +c,
　f '(x) = 2ax +b,
を与式の両辺に代入する。
奇数次の項は積分すれば0である（計算するには及ばない）。
(左辺) = ∫[-1,1](1-x^2){(2ax)^2 + b^2}dx = (16/15)a^2 + (4/3)b^2,
(右辺) = 6∫[-1,1]{(a^2)x^4 +(2ac+b^2)x^2 +c^2}dx = (12/5)a^2 + 4(2ac+b^2) + 12c^2
　　　= (16/15)a^2 + 4b^2 + (4/3)(a+3c)^2
　　　≧ (16/15)a^2 + 4b^2,

0458１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 22:39:41

0<θ<π/4のとき不等式
(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。

0459１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 23:30:30

>>458
この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか

0460１３２人目の素数さん

2008/08/22(金) 01:40:53

x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。
x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。

0461１３２人目の素数さん

2008/08/22(金) 07:16:47

>>460
学校の宿題は自分で考えましょうね

0462１３２人目の素数さん

2008/08/22(金) 07:30:01

>>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。

0463１３２人目の素数さん

2008/08/22(金) 11:48:30

>>462
ですよね

0464１３２人目の素数さん

2008/08/22(金) 17:44:47

cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか

0465１３２人目の素数さん

2008/08/22(金) 18:17:06

対数とって考えてみるか・・・

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不等式への招待 第３章

不等式への招待第３章