不等式への招待 第３章
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0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0033１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 13:27:45まとめwikiの過去スレミラーから探せ。
0034１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 15:13:37a_1,a_2,…,a_n >0 のとき、…
* nに関する帰納法
Part1 の 257, 263(1), 269, 271
数セミ増刊「数学の問題 = 第①集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(本文)
* 対称式, Muirhead
第２章の 800, 810-818
http://www.ams.org/proc/2004-132-09/S0002-9939-04-07384-8/home.html
* 微分法
Part.1 の 480-481
数セミ増刊「数学の問題 = 第①集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(追補)
E.F.Beckenbach and R.Bellman: "Inequalities, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete", Band 30, Springer-Verlag, Berlin (1961) p.11
003523
2007/06/02(土) 15:27:17亀レスだが…
Q. ゼロ面(node) xy+yz+zx =0 はどんな形?
A. 座標軸を回して Z=(x+y+z)/√3 とし、(X,Y,Z)で直交系をなすようにすれば
xy+yz+zx = {(x+y+z)^2 -x^2 -y^2 -z^2}/2 = {3Z^2 -X^2 -Y^2 -Z^2}/2 = Z^2 -(X^2 +Y^2)/2,
よって、円錐面で、主軸はZ軸 すなわち x+y+z の方向。
0036１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 18:31:58ﾅﾙﾎﾄﾞﾅｰ
003716
2007/06/02(土) 21:30:14http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/
シュワちゃんスレ
0038１３２人目の素数さん
2007/06/03(日) 11:25:41√{z/(x+y)} = z/√{z(x+y)} > 2z/{(x+y)+z}, (← 相乗･調和平均)
循環的にたす.
0039１３２人目の素数さん
2007/06/03(日) 12:20:48見事。
0040１３２人目の素数さん
2007/06/03(日) 19:53:07(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0041１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 03:02:02[C.851]
b^2 +c^2 +bc = (3/4)(b+c)^2 + (1/4)(b-c)^2 ≧ (3/4)(b+c)^2,
a√(b^2 +c^2 +bc) ≧ {(√3)/2}(ab+ca),
循環的にたす。
[C.844]
Σ[k=1,n] 1/k -γ -log(n) = ε(n) とおくと,
Σ[n=1,N] ε(n)/n = log(N)ε(N) + (1/2)ε(N)^2 - (1/2)γ^2 + (1/2)Σ[n=1,N] (1/n^2) + {(1/2)log(N)^2 - Σ[k=1,N] log(k)/k }
→ -(1/2)γ^2 + (1/2)ζ(2) - L (N→∞).
0042１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 15:02:00すげー実力ｗ
0043１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 17:59:410044１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 18:26:30不等式マニア
0045１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 18:37:23不等式ヲタは共同体で連続体で群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだYO！
0046１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 18:46:090047１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 21:51:55(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (xy+yz+zx)^3 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3.
0048１３２人目の素数さん
2007/06/05(火) 01:12:09[C.846]
(1/n)Σ[k=1,n] {C[n,k]}^(-k) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2).
(略解)
・n=1,2 は直接確かめる。
・n≧3 のとき、k=n の項だけ残す。
n^2 ≦ 2^(n+1),
n+1 ≦ 2^(n-1),
(左辺) ≧ 1/n ≧ (1/2)^((n+1)/2) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2) = (右辺).
0049１３２人目の素数さん
2007/06/05(火) 01:52:56(右辺)-(左辺)=(3/2)(xy+yz+zx)^2((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
より不等式は成立。
等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z
0050１３２人目の素数さん
2007/06/05(火) 02:32:32H_k=∫[0,1]Σ[j=0,k-1]t^j dt=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt
n!/Π[j=0,n](k+j)=Γ(n+1)Γ(k)/Γ(n+k+1)=Β(k,n+1)=∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt
これらから
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt
=[∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dt]_[x=0,1]
部分積分を使うことで
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx
+∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx
を得る。
kについてこれらの和を取る。(極限の順序交換の大雑把さは大目に見てください)
Σ[k=1,∞]∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx
=∫[0,1]∫[0,x] Σ[k=1,∞] {t^k-(tx)^k}/{t(1-x)}*(1-t)^n dtdx
=∫[0,1]∫[0,x](1-t)^(n-1)/(1-tx) dtdx
=∫[0,1]∫[t,1](1-t)^(n-1)/(1-tx) dxdt (積分の順序交換)
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt
同様に
Σ[k=1,∞]∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx
=-∫[0,1]log(1-x^2)*(1-x)^(n-1)/x dx
=-∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt (変数をtに書き換えた)
以上から
Σ[k=1,∞]H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt -∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt
=-∫[0,1]log(1-t)*(1-t)^(n-1)/t dt
=∫[0,∞]y*e^(-ny)/{1-e^(-y)} dy ( y=-log(1-t) と変数変換)
=∫[0,∞]Σ[j=n,∞]y*e^(-jy) dy
=Σ[j=n,∞]1/j^2=π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2
ゆえ
Σ[k=1,∞]H_k/Π[j=0,n](k+j)=1/(n!)*{π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2}
0051１３２人目の素数さん
2007/06/05(火) 04:11:21A.422、B.3987、B.3989、C.892 （C.892は昔、入試問題で解いたような…）
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200703&t=mat&l=en
A.425、B.3997、B.4000
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200704&t=mat&l=en
0052１３２人目の素数さん
2007/06/05(火) 23:57:18△ABCが sin2A/5 = sin2B/4 = sin2C/3 をみたすとき、 Aの値を求めよ。
問54_3
http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai06-07.html
0053１３２人目の素数さん
2007/06/06(水) 01:32:46A,B,C は同時に鋭角、直角または鈍角。
3つとも鈍角、直角は不合理なので、鋭角3角形。
A=arctan(1)=45ﾟ, B=arctan(2), C=arctan(3).
0054１３２人目の素数さん
2007/06/06(水) 13:40:180055１３２人目の素数さん
2007/06/06(水) 16:42:24ﾊｧﾊｧできればいいのさ
>53
過程がよくワカリマセン
0056１３２人目の素数さん
2007/06/07(木) 01:28:47S_n = (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)……(k+n)] とおき、
S_1 = (π^2)/6 と S_n - S_(n+1) = 1/(n^2) から
S_n = (π^2)/6 -1 -1/(2^2) - … - 1/{(n-1)^2}
を示す。
S_1 = Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)]
= Σ[k=1,∞) (H_k){1/k - 1/(k+1)}
= Σ[k=1,∞) {(H_k)/k - H_(k-1)/k} (← H_0 = 0 )
= Σ[k=1,∞) 1/(k^2)
= ζ(2)
= (π^2)/6.
S_n - S_(n+1) = Σ[k=1,∞) (H_k){ (n!)/[k(k+1)…(k+n)] - (n+1)!/[k(k+1)…(k+n+1)] }
= (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[(k+1)……(k+n+1)]
= (n-1)!Σ[k=1,∞) (H_k){1/[(k+1)…(k+n)] - 1/[(k+2)…(k+n+1)] }
= (n-1)!Σ[k=1,∞) { (H_k)/[(k+1)…(k+n)] - H_(k-1)/[(k+1)…(k+n)] } (← H_0 =0)
= (n-1)!Σ[k=1,∞) 1/[k(k+1)…(k+n)]
= (n-1)!Σ[k=1,∞) (1/n){ 1/[k(k+1)…(k+n-1)] - 1/[(k+1)…(k+n)] }
= (n-1)!(1/n)(1/n!)
= 1/(n^2).
0057１３２人目の素数さん
2007/06/07(木) 21:52:14[A.422]
Let x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1) be positive real numbers with x_1+x_2+…+x_n = x_(n+1).
Prove that
Σ[i=1,n] √{x_i[x_(n+1) - x_i]} ≦ √{ Σ[i=1,n] x_(n+1)[x_(n+1) - x_i]},
(略解)
(左辺) ≦ (1/n){Σ[i=1,n] √x_i)}{Σ[j=1,n] √(x_{n+1} - x_j)} (← 逆順序積 ≦ 乱順序積)
≦ √{Σ[i=1,n] x_i}･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)} (← コーシー)
= √(x_{n+1})･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}
= √{Σ[j=1,n] x_{n+1}[x_{n+1} - x_j]}
= (右辺).
[B.3989]
a,b,c are positive real numbers, such that a^2 +b^2 +c^2 +abc = 4.
Prove that a+b+c ≦ 3.
(略解)
1-a,1-b,1-c のうち2つは同符号、よって (1-b)(1-c) ≧0 としてもよい。
3(3-a-b-c) + (a^2 +b^2 +c^2 +abc -4)
= (1/2)(2-a-b)^2 + (1/2)(2-b-c)^2 + (1/2)(2-c-a)^2 -(1-a)(1-b)(1-c)
= (1/4)(3-2c-a)^2 + (1/4)(3-2b-a)^2 + (1/2)(1-a)^2 + a(1-b)(1-c)
≧ a(1-b)(1-c).
[C.892]
Prove that if x,y,z are positive real numbers and xyz=1, the values of the expressions
1/(1+x+xy), y/(1+y+yz), xz/(1+z+xz)
cannot all be greater than 1/3.
(略解)
1/(1+x+xy) = yz/(1+y+yz) = z/(1+z+xz),
xy/(1+x+xy) = y/(1+y+yz) = 1/(1+z+xz),
x/(1+x+xy) = 1/(1+y+yz) = xz/(1+z+xz),
辺々たす.
0058１３２人目の素数さん
2007/06/07(木) 21:58:46[B.3997]
x,y,z are real numbers. Prove that if xyz=u, then
x^4 + y^4 + z^4 + x^2･y^2 + y^2･z^2 + z^2･x^2 ≧ 2u(x+y+z).
(略解)
(左辺) - (右辺) = (1/2)(x^2 -y^2)^2 + (1/2)(y^2 -z^2)^2 + (1/2)(z^2 -x^2)^2
+ (x^2)(y-z)^2 + (y^2)(z-x)^2 + (z^2)(x-y)^2.
ハァハァ
0059１３２人目の素数さん
2007/06/07(木) 22:47:53[C.892]の解答みて思い出した。
俺は この問題を解いて（いや解けずに答えを見て）、
不等式の世界に入ったんだ（いや囚われの身になったんだ）！
ﾊｧﾊｧ・・・
0060１３２人目の素数さん
2007/06/08(金) 15:06:36a,b,c>0
ab+bc+ca=1で
(1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2a^2)/(c+a)^2≧5/2
を誰か解決してくれ。もうノート２冊分くらいぐるぐるしてる。
ちなみにいじってるうちに
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧(a-b)^2/(a+b)^2+(b-c)^2/(b+c)^2+(c-a)^2/(c+a)^2
と同値とか、わきにそれてばかりいる。
大体、２文字対称不等式だと、大抵そんなむずかしくはないし、使う式も大体
決まってるんだが、どうも、３文字対称不等式はめんどくさい。誰か解いてくれ。
それから、不等式もそろそろ分類してもいい頃あいだと思うんだが、、、。
むずかしそうで、ルーチンで解ける物、それ以外（これが多いから収集したりする
訳だが、、、）。
結局、相加相乗平均を使うだけの問題も多いと思う。
0061１３２人目の素数さん
2007/06/08(金) 16:44:59(1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2 ＋ a^2)/(c+a)^2≧5/2
でいいんだよな
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて
(t^2+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t^2+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t^2+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4
を示す
t^2+a^2+b^2=t^2-2ab+(a+b)^2等を使えば
(t^2-2ab)/(a+b)^2+(t^2-2bc)/(b+c)^2+(t^2-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値
左辺=f/(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2とすれば、根性で対称式で書いて
4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2
=4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su)
st-u≧0は容易、
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は
３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件
s^2-3t≧0はその解がすべて０以上の条件で、終り
間違ってるかもしれん。正しい／いい解法は実力者を待て
0062１３２人目の素数さん
2007/06/08(金) 16:55:22s^2-3t≧0
合わせて実数解条件だったかもしれん
正の解の条件ではないな、
まあなんか本を見ておくれ
0063１３２人目の素数さん
2007/06/08(金) 17:07:40a new look at newton's inequalities (結構面白い、webで拾えると思う）
によると
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は実数解条件でwell-knownだそうだ
s^2-3t=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
は理くつ不要だった
スレ汚しすまん
0064１３２人目の素数さん
2007/06/08(金) 17:13:51なんかボロボロorz
0065１３２人目の素数さん
2007/06/08(金) 19:30:22a,b,c>0に対し、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて
(t+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4
を示す。これはt+a^2+b^2=t-2ab+(a+b)^2等を使えば
(t-2ab)/(a+b)^2+(t-2bc)/(b+c)^2+(t-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値。
左辺=f/((a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2)とすれば、
4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2
=4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u)
と基本対称式で書ける。（一応乱数入れてチェックしてみた）
ここで、s^2-3t=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)≧0...(*)、
st-u=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
≧3(abc)^(1/3)・3(ab・bc・ca)^(1/3)-abc=8abc>0であり、
D_3=18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u≧0は
３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件で
a,b,cがこの方程式の３解だから満たされている
等号条件は(*)よりa=b=cが必要で、このとき実際成立する。
0066１３２人目の素数さん
2007/06/08(金) 21:44:08あまり考えてないけど、x=b+c, y=c+a, z=a+b と置き換えて
(ab+bc+ca+a^2+b^2)/(a+b)^2
をx,y,zで表したらどうなる？
0067１３２人目の素数さん
2007/06/08(金) 22:49:39これでおじゃるかな？
( ﾟ∀ﾟ)つ http://www.emis.de/journals/JIPAM/article111.html?sid=111
0068１３２人目の素数さん
2007/06/09(土) 04:33:02そうです、ありがと
やってみたらたまたまできた？だけなんで
素人の力づく解法でみっともないかもしれない
このスレすごい人がいるから期待してる
0069１３２人目の素数さん
2007/06/09(土) 06:09:48それでうまく行きますね、俺何やってんだか・・・やっぱりみっともなかったｗ
0070１３２人目の素数さん
2007/06/09(土) 14:26:36[M.1769]
Determine a formula for the coefficient of x^i･y^j in
P_n(x,y) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] x^(n-k)･(x+y)^k.
(略解)
{(1+u)^(2n+1) - (1-u)^(2n+1)}/(2u) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] (u^2)^k = Q(u^2)
とおくと,
P_n(x,y) = (x^n)Q({x+y}/x) = Σ[i=0,n] C[n+i,n-i] (4x)^i･y^(n-i) = Σ[j=0,n] C[2n-j,j] (4x)^(n-j)･(y^j).
ﾃﾍｯ
0071１３２人目の素数さん
2007/06/09(土) 19:52:22ｷﾀｯ！ｗﾍ√ﾚｖ-(ﾟ∀ﾟ)-ﾍ√ﾚ- !! ｽﾝﾊﾞﾗｽｨ！
0072訂正>>60
2007/06/10(日) 16:03:35ごめんなさい。
0073１３２人目の素数さん
2007/06/10(日) 19:28:51( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
0074１３２人目の素数さん
2007/06/10(日) 20:28:38[A.425]
Let n≧2 and let a_1,a_2,…,a_n, x_1,x_2,…,x_n be positive real numbers such that a_1+a_2+ … +a_n =A, x_1+x_2+ … + x_n =X.
Prove that
2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j ≦ {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {a_i/(A-a_i)}(x_i)^2.
(略解)
コーシーより
Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)} (x_i)^2 ≧{Σ[k=1,n] x_k}^2 /{Σ[j=1,n] (A-a_j)/A } = {1/(n-1)}X^2,
よって
(右辺) = {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)}(x_i)^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2
≧ {(n-2)/(n-1)}X^2 + {1/(n-1)}X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2
= X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2
= 2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j
= (左辺).
[B.3997] >>58
[B.4000]
Find the smallest possible value of x^2 +y^2, given that x and y are real numbers, x≠0 and xy(x^2 -y^2) = x^2 +y^2.
(略解)
(1/4)(x^2 +y^2)^2 = (1/4){(2xy)^2 + (x^2 -y^2)^2} ≧ (1/2)(2xy)(x^2 -y^2) = xy(x^2 -y^2)
と与式から
x^2 +y^2 ≧ 4,
等号成立は 2xy = x^2 -y^2,
(x,y) = (±√(2+√2), ±√(2-√2)), (±√(2-√2), 干√(2+√2)) 〔複号同順〕
ハｧハｧ
0075１３２人目の素数さん
2007/06/15(金) 09:35:26tanA tanB tanC ≧ 3√3
を示せ。
0076１３２人目の素数さん
2007/06/15(金) 10:23:38tanA=x tanB=y tanC=zとおく。
△ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。
また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy) ゆえ
z-xyz=-x-y すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。
x/(xyz)^(1/3)>0 ,y/(xyz)^(1/3)>0, z/(xyz)^(1/3)>0
について、相加相乗平均から
(x+y+z)/(xyz)^(1/3)≧3{xyz/(xyz)}^(1/3)=3
x+y+z=xyzから (xyz)^(2/3)≧3 ゆえxyz≧3√3
等号成立はx=y=zのとき、それは
0<θ<π/2でのtanθの狭義単調増加性から
A=B=Cのときなので△ABCが正三角形のとき。
0077１３２人目の素数さん
2007/06/15(金) 11:19:19tanA=x tanB=y tanC=zとおく。
△ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。
また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy) ゆえ
z-xyz=-x-y すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。
…までは>>76と同じで，ここからはtan xの凸不等式でおしまい。
0078１３２人目の素数さん
2007/06/15(金) 11:51:32コピペの上に「～でおしまい。」って。
人の事馬鹿にしてるのじゃなければ
もう少し書き様って物があるんじゃないですか?
0079１３２人目の素数さん
2007/06/15(金) 12:28:50解析的な証明。
tanA=x tanB=yとおく。
まず，A,B<π/2よりx,yは正の数。
また，C<π/2 なので，tan(π-(A+B))=-(x+y)/(1-xy)>0 だから xy>1
つまり，x,y>0, xy>1 の条件下において，xy(x+y)/(xy-1)≧3√3 を示すことになる。
s=x+y, t=xy とおくと，s,t の変域は s>0，t>1，s^2-4t≧0.
この条件下で，st/(t-1)≧3√3 を示せばよい。
言い換えれば，t>1, s≧2√t ⇒ s≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。
つまり，t>1 ⇒ 2√t≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。
f(t)=2√t - 3√3 (1-1/t) とおけば，f'(t)=0 となるのは t=3 のときで，このとき最小値をとる。
よって f(t)≧f(3)=0 なので示された。
0080１３２人目の素数さん
2007/06/15(金) 12:39:16だってほんとにtan xの凸不等式でおしまいじゃん。ｗ
0081１３２人目の素数さん
2007/06/15(金) 12:49:29凸不等式を知っているかね？ オービーくんッ！
0082１３２人目の素数さん
2007/06/15(金) 18:07:05見通しの悪い駄解答を書き込んですまんかったな。
わざわざコピペ引用までして晒し上げたうえに
あてつけの一言まで頂いたけるとは思わなかったよ。
0083１３２人目の素数さん
2007/06/15(金) 23:55:340084１３２人目の素数さん
2007/06/16(土) 07:16:19コピペして各板に貼り付けよう 知人にも話そう 政治板もたまには覗こう
小泉純一郎
・戦前大臣を務めた祖父小泉又次郎は純粋な日本人とされる。だが、純一郎の帰化朝鮮人である父が鮫島姓を買い取り
又次郎の娘をたぶらかして婿として小泉家に入る そこで小泉家は帰化朝鮮人である純一郎の父に乗っ取られた
参照http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E6%B3%89%E7%B4%94%E4%B9%9F
・父親の純也は、鹿児島加世田の朝鮮部落の出身者といわれる 日大卒業名簿には、純也の日本名はなく、
見知らぬ朝鮮名が書かれているという
純也は朝鮮人の帰国事業、地上の楽園計画の初代会長であった
・結婚後、子供をもうけ即離婚した宮本佳代子は在日企業エスエス製薬創業者の孫
・小泉の元秘書官の名前は飯島勲←注目 帰化朝鮮人
・派閥のドン森喜朗も生粋の朝鮮人 ←森も帰化人がよく使う通名
・小泉は、横須賀のヤクザ、稲川会と関係が深い
安倍晋三
・岸家 毛利元就が陶晴賢と厳島沖で戦い大勝を収めた際、寝返って毛利方についた船の
調達人が「ガン」と称する帰化人であったという 毛利はその功績によって「ガン」を
田布施周辺の代官に召したてた このガンを岸家の先祖とする説がある
・祖父岸信介が文鮮明と共に 反共団体 国際勝共連合（統一教会）を設立
・官房長官時代統一教会「合同結婚式」に祝電を送り、話題に
・安倍のスポンサーは、下関の朝鮮人パチンコ業者である
・グリコ森永事件時、明らかになった帰化朝鮮人企業森永のご令嬢と結婚
・そのわが国のファーストレディーは電通（会長成田豊、半島生まれの帰化人）勤務という分かりやすい
経歴の持ち主の朝鮮の血筋
・韓国、中国の留学生に日本の企業に入ってもらうために住居費分、学費免除分、生活費など月計２０万～３０万円相当の支給
日本人のワーキングプア層を全く省みない また帰化系在日系朝鮮人が日本の企業で技術を盗み、半島の現代などの企業に
伝授していることが深刻な問題になっている
・多くの朝鮮人が差別を主張し、警察、原発、自衛隊で職を得ている
0085１３２人目の素数さん
2007/06/18(月) 00:26:37[C.847]
面積を ⊿ とおくと、
r=⊿/s, 4R = 2a/sin(A) =abc/⊿,
(⊿^2)/s = (s-a)(s-b)(s-c) (← ヘロン)
より
(左辺) = (r^2･s)^(1/3) = {(⊿^2)/s}^(1/3) = {(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3),
(中辺) = √{(4R+r)r /3} = √{[abc + (⊿^2)/s] /(3s)} = √{[(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a)] /3},
(右辺) = s /3 = {(s-a) + (s-b) + (s-c)} /3.
以下ry)
まとめ
[C.844] >>41 [C.846] >>48 [C.847] ↑ [C.851] >>41 [C.854] >>50, >>56 [M.1769] >>70
ﾊｧﾊｧ
008657
2007/06/18(月) 00:46:37[B.3987]
Let n≧4 be an integer, and let a_1,a_2,…,a_n denote non-negative real numbers.
Prove that
Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1} + a_{k+2})^2 ≧ (2^n)Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1})^2,
where a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2.
｛略解(in Hungarian)｝
(a+t)(t+d) = t(a+t+d) + ad ≧ t(a+t+d),
に t=b+c を入れて
(a+b+c)(b+c+d) ≧ (b+c){(a+b)+(c+d)} ≧ (b+c)・2√{(a+b)(c+d)}. (←相加･相乗平均)
循環的に掛ける。
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B3987&l=en
ｺﾞﾎｺﾞﾎ
0087１３２人目の素数さん
2007/06/21(木) 01:36:20a,b,c>0 のとき，
(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ √((a^2+b^2+c^2)/3)
が成立することを示せ。
0088１３２人目の素数さん
2007/06/21(木) 14:06:45(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧(√2/3)(a^2/√(b^2+c^2)+...)
よってa^2=x等とおいて、
(√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))≧√((x+y+z)/3)
を示せばよい。
k>0に対し、f(x)=x/√(k-x)は0<x<kで凸であるから、k=x+y+zとしておけば、
(√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))=√2・(f(x)+f(y)+f(z))/3
≧√2f((x+y+z)/3)=√((x+y+z)/3)
0089１３２人目の素数さん
2007/06/22(金) 00:19:04(2/3){a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3}.
(略証)
左側
(左辺)*{(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2} ≧ (2/3)(a^2 +b^2 +c^2)^2, (←コーシー)
(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 ≦ (2/3)(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2), (← 逆順序積 ≦ 乱順序積)
辺々割る。
右側
(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 ≦ 3(a^2 +b^3 +c^2),
∴ 1/(a+b+c) ≧ 1/√{3(a^2 +b^2 +c^2)}.
ﾊｧﾊｧ
009189
2007/06/22(金) 00:39:29(左辺) ≧ (2/9)(a^2 +b^2 +c^2){1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)} (← 同順序積 ≧ 乱順序積)
≧ 2(a^2 +b^2 +c^2) / {(b+c) + (c+a) + (a+b)} (← 相加･調和平均)
= (a^2 +b^2 +c^2) / (a+b+c).
0092１３２人目の素数さん
2007/06/24(日) 01:39:02〔系〕 a,b,c>0 のとき
(2/3){a^2/(b+c) +b^2/(c+a) +c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3} ≧ (a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3).
2. (IMO 1995 Canada)
Let a,b,c be positive real numbers such that abc=u. Prove that
1/{a^3･(b+c)} + 1/{b^3･(c+a)} + 1/{c^3･(a+b)} ≧ (3/2)u^(-4/3).
(略証) 上式の a→1/a, b→1/b, c→1/c, u→1/u とおく。
0093１３２人目の素数さん
2007/06/25(月) 00:14:52ｎ！個の式のうち一番大きくなるは正順で、一番小さくなるのが逆順ですが
残りの中間の不等式で大小関係がはっきりつくグループは何個なんでしょうか？
ｎ＝３ のときは中間の３！－２＝４個の式が２個のグループに分けられるみたいですが。
0094１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 13:14:08面白いね、これって論文１本書ける問題じゃないのかな
専門家のコメント希望
0095１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 13:31:10n=4 のときにやってみたらハッセ図？みたいのが出来たけど、、
0096１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 13:56:250097１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 14:54:06a>0 とする。
関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=a, f(a)=0 を満たすとする。
また、関数g(x)は、0≦g(x)≦a を満たす連続関数とする。
このとき次の不等式が成り立つことを示せ（下記不等式中にある積分は全て区間[0,a]の定積分とする)。
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx + a^2 ≦ 2∫f(x)dx.
* f(x)の微分可能性は保証されていません。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/58-61
東大入試作問者スレ９
0098１３２人目の素数さん
2007/07/01(日) 15:02:42∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx.
(略解)
max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと
(右辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma,
題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、折れ線 (0,f(0))－(h,M)－(a,0) より上側にある。
(左辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma.
009998
2007/07/01(日) 15:13:30>97
(略解)
max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと
(左辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma,
題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、y=f(x)+x のグラフは 折れ線 (0,f(0))－(h,M)－(a,a) より上側にある。
(右辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma.
0100１３２人目の素数さん
2007/07/07(土) 00:26:28n≧1, m≧2とするとき、
Σ{k=1,n}( (1/k)^((m-1)/m) ) ＜ m n^(1/m)
0101１３２人目の素数さん
2007/07/07(土) 04:27:54左辺に
(1/k)^{(m-1)/m} < ∫[k-1,k] (1/x)^{(m-1)/m} dx
を代入するらしいお…
0102１３２人目の素数さん
2007/07/12(木) 11:14:54{(xy^2+1)^(1/3)+(yz^2+1)^(1/3)+(zx^2+1)^(1/3)}^3≧xyz+1
0103１３２人目の素数さん
2007/07/13(金) 03:23:30http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa#content_4
に３通りの解答を載せておきました。
0105102
2007/07/13(金) 09:35:05>>103ありがとうございますっ
っってどうみても>>102には右辺の定数倍が欠けてるっっorz
右辺を３倍いやむしろ２７倍してもたぶん成立するという事実
102自体も問題としてはなりたっているが…
103様、もしよろしければ解き直して、wikiのほうも追加してもらえませんか？
申し訳ない
0106１３２人目の素数さん
2007/07/13(金) 10:45:35| ∥ ﾉﾉﾉﾉ -＿_ 勘違いするなよ！
|>>102 (ﾟ∈ﾟ ) ─_＿___ ___
|∧ 从ﾉ (ミ_ (⌒＼ヽ _ __＿
（ (≡￣￣￣￣三＼⌒ノ ノ )
|(つWつ ￣￣＼ ⌒彡) ﾉ ＝＿
| ＼つ つ ＼,_＿_,ノノ
| | ) / ／ ≡＝
| | / ノ __________
| | /ノ ＿─ (´⌒(´
| | ﾐ/＝ (´⌒(´⌒;;
| ''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"''
0107１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 05:35:41(xy^2)^(1/3) =Z, (yz^2)^(1/3) =X, (zx^2)^(1/3) =Y とおくと
(X+Y+Z)/3 ≧ XYZ = xyz,
g(t) = (t^n +1)^(1/n) とおくと
g'(t) = t^(n-1) /（t^n +1)^(1 -1/n) >0, (単調増加)
g"(t) = (n-1)t^(n-2) / (t^n +1)^(2 -1/n) >0, (下に凸)
(左辺)^3 = {g(X) + g(Y) + g(Z)}/3 ≧ g((X+Y+Z)/3) ≧ g((XYZ)^(1/3)) = g((xyz)^(1/3)) = (右辺)^3,
0108107
2007/07/14(土) 08:01:35(X+Y+Z)/3 ≧ (XYZ)^(1/3) = (xyz)^(1/3),
n>1
(左辺)^(1/3) = …… = (右辺)^(1/3).
0109１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 12:41:49Jensen不等式の相乗平均verが成り立つことを
問題にしたかっただけなんだ。
迷惑かけて申し訳ない。お詫びとして
a,b,cは正の実数。このとき常に次の式が成り立つような最大のαを求めよ
a^b+b^c+c^a>α
0110１３２人目の素数さん
2007/07/14(土) 23:23:13c=a^(1/a) のとき、
(左辺) = a^b + b^c + a,
a→0 のとき c⇒0 なので,
lim[a→0] (左辺) = 0^b + b^0 + 0 = 1,
α = 1.
0111１３２人目の素数さん
2007/07/16(月) 13:40:04Q. ほんとに1以下にならない??
A.
(1) a,b,c の1つでも1以上なら おk,
(2) 0<a,b,c<1 のとき
f(x) = (1/a)^x は下に凸だから、
(1/a)^b < (1-b) + b/a = (a+b-ab)/a … ベルヌーイの不等式
a^b > a/(a+b-ab) > a/(a+b+c),
辺々たす。
http://www.nikonet.or.jp/spring/zettaiti/zettaiti.htm
0112１３２人目の素数さん
2007/07/21(土) 08:13:14a,b,c>0 のとき，
(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ ((a^3+b^3+c^3)/3)^(1/3)
が成立することを示せ。
0113１３２人目の素数さん
2007/08/02(木) 11:33:35f,g,h は [a,b] 上の実数値関数で，f は単調増加，g,h はC^1級で，
g(a)=h(a)，g(b)=h(b) を満たすものとするとき，
(∫_[a,b] f(x)g'(x)dx) (∫_[a,b] f(x)h'(x)dx)≦(∫_[a,b] f(x)√[(g(x)h(x))']dx)^2
0114１３２人目の素数さん
2007/08/16(木) 02:18:39x+y+z=1, x,y,z ≧0 のとき f(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x) ≦ 1/(6√3) を示せ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1186908806/56
分かスレ２７９
0115１３２人目の素数さん
2007/08/16(木) 02:32:44f(x,y,z)>0 となるのは 0≦x<y<z またはその cyclic の場合。
そこで、x<y<z の場合を考える。（他の場合も同様）
f(x,y,z) = (y-x)(z-y)(z-x)
は zについて単調増加、xについて単調減少。
f(x,y,z) ≦ f(0,y,z+x) = f(0,y,1-y) = y(1-y)(1-2y)
= 1/(6√3) - 2{y -(1/2) +(1/2√3)}^2･{y +(1/2) +(1/√3)} ≦ 1/(6√3),
等号成立は x=0, y=(1/2)-1/(2√3), z=(1/2)+1/(2√3) のとき。
0116１３２人目の素数さん
2007/08/16(木) 08:23:310117１３２人目の素数さん
2007/08/16(木) 22:37:32http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/634-
【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をrとする．
このとき，不等式
(a + b + c)/r ≧6√3
が成り立つことを示せ．
0118１３２人目の素数さん
2007/08/16(木) 23:54:59a/r = cot(B/2) + cot(C/2), …, …
を左辺に代入し、cotθは下に凸, A+B+C=π を使う。
0119１３２人目の素数さん
2007/08/17(金) 22:37:243辺の長さがa，b，cである三角形の外接円の半径をRとする．
このとき，不等式
(a + b + c)/R ≦ 3√3
が成り立つことを示せ．
0120１３２人目の素数さん
2007/08/17(金) 22:43:31だから
a/R = 2sin(A), …, …
を左辺に代入し、sinθ は上に凸, A+B+C=π を使うだお。
〔系〕R ≧ 2r.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/638-639
0121１３２人目の素数さん
2007/08/17(金) 23:10:15これは、球殻不等式というんだお。 （・3・）
0122１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 18:00:49㌧クス.
△の3辺の中点を通る円の半径 = R/2. この円は△の3辺を切るから、半径 ≧r. (清水多門氏)
[前スレ.496-499,660,974] 文献[3] p.8 (絶版)
0123１３２人目の素数さん
2007/08/18(土) 20:10:083辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…,
が成り立つことを示せ.
等号は正3角形のとき,
直角3角形のとき 左辺は2.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/674
東大入試作問者スレ９
0124１３２人目の素数さん
2007/08/21(火) 00:06:01このスレの解答は↓になるだろうな。ちっともエレガントぢゃねぇが…
a,b,cが3角形の辺をなすとき、次の附帯条件（3角不等式）がある。
s-a >0, s-b >0, s-c >0, s=(a+b+c)/2
そこで s-a, s-b, s-c を独立変数と見れば、附帯条件は無くなる。基本対称式を
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおくと abc = st-u,
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),
r = ⊿/s = √(u/s),
R = abc/(4⊿) = (st-u) / {4√(su)},
(左辺) = {2s - (st-u)/√(su)} / √(u/s) = 2(s^1.5)/√u - (st/u) +1,
示すべき式は
{(st/u) +(右辺-1)}^2 - 4(s^3)/u = (1/t^2)H(s,t,u) ≧0,
H(s,t,u) = {st + 2(右辺-1)u}sF_(-2) + 27(7-4√3)uF_(-1) + 3(16√3 -27)sG ,
ここに F_n はSchurの不等式のF_nで,
F_(-2) = (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0,
F_(-1) = (t^2 -3su)/u ≧0,
F_0 = s^2 -3t ≧0,
G(s,t,u) = st-9u ≧0,
これより、
H(s,t,u) ≧0,
ぬるぽ
0125124
2007/08/21(火) 00:22:213角形の面積を⊿とおくと、
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su), …… ヘロンの公式
0126１３２人目の素数さん
2007/08/21(火) 11:18:250127１３２人目の素数さん
2007/08/23(木) 05:27:523辺の長さがa,b,cである鈍角*三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
(a + b + c - 4R) /r ≦ 2,
が成り立つことを示せ。 (*直角3角形も含める)
等号は直角3角形のとき.
0128１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 10:43:13r=⊿/s, R=abc/(4⊿) より,
(4R+r)r = {(⊿^2)/s + abc}/s = s^2 + (ab+bc+ca) = (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/4 (=t),
(4R+2r)^2 - (a+b+c)^2 = 16R^2 +4(4R+r)r - (a+b+c)^2
= 16R^2 + (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2) - (a+b+c)^2
= 2(8R^2 -a^2 -b^2 -c^2),
= -16R^2 cos(A)cos(B)cos(C), (← 補題)
〔補題〕
(a^2 +b^2 +c^2) -8R^2 = (a^2 +b^2 -c^2) - 2(4R^2 -c^2)
= 2abcos(C) - 2(4R^2 -c^2) (← 第2余弦定理)
= 8R^2 {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C) (← 正弦定理)
= 8R^2 {sin(A)sin(B)+cos(A+B)}cos(C) (← A+B+C=π)
= 8R^2 cos(A)cos(B)cos(C),
これは、鋭角・直角・鈍角に従って 正･0･負。(終)
(数セミ, 2007/09)
ぬるぽ
0129１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 13:25:45a,b,c は abc=G^3 を満たす正の実数である. 0≦p≦q のとき次の不等式が成り立つことを示せ.
{a^p + b^p + c^p}*G^(q-p) ≦ a^q + b^q + c^q.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/753-754 を改作
東大入試作問者スレ９
0130１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 14:54:55http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa?wiki_id=54872#content_5
0131１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 15:37:41http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/766,771
0132１３２人目の素数さん
2007/08/26(日) 16:54:33q-p = d とおくと >131 より
(左辺) ≦ (a^p + b^p + c^p)(a^d + b^d + c^d)/3 = (右辺) + {(a^p -b^p)(a^d -b^d) + (b^p -c^p)(b^d -c^d) + (c^p -a^p)(c^d -a^d)}/3 ≧ (右辺).
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