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不等式への招待第３章

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0001１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:00:00

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

0296KBumDUXdQj

2008/02/28(木) 11:50:58

pUNSrO <a href="http://khiyeukbkpro.com/">khiyeukbkpro</a>, [url=http://tozwceqtvhzs.com/]tozwceqtvhzs[/url], [link=http://sisigqwdtxhd.com/]sisigqwdtxhd[/link], http://yllgcklstqui.com/

0297１３２人目の素数さん

2008/03/08(土) 20:45:38

自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。
a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2}
を示せ。

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/69

（補注）
n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。

0298１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 00:29:56

同スレからもう一題。

82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30
【補題】
x,y>0 のとき
　x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0,
　等号成立は x=y のとき。

(略証)
　(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k,　より明らか。
　{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より}

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/82

-------------------------------------------------------

(別証)
　(左辺) = (x-y)S,
ここに
　S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k,
とおいた。
x>y>0 のとき S >0,
　(左辺) = (x-y)S >0.
y>x>0 のとき S <0,
　(左辺) = (x-y)S >0.　(終)

0299１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 04:31:35

入試レベルの不等式キボンヌ

0300１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 04:34:48

ヘルダーの不等式を証明汁

0301１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 08:50:42

>>300
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%d8%a5%eb%a5%c0%a1%bc%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

0302１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 22:15:52

同スレからもう一題。

【問題】(改作)
n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。
半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。
半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/162, 165

0303１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 22:23:59

>302
(略解)
各点の座標を
　O = (0,0,…,0),　　原点
　A_1 = ( r,0,…,0),　A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r),
　B_1 = (-r,0,…,0),　B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r),
　P = (x_1,x_2,…,x_n)
とおく。題意より
　OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'.
Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。
　(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
　　　　　　　　 * {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i)
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2,
i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。
　(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4,
等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。
題意より OP≦r', n≧2 だから、
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2),
とくに r'=r のとき
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n),

(例)
　n=2, r'=r のとき 2r^4,
　n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6.

0304１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 23:25:16

半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を
単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。
(距離の積の２乗)
=Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2}
≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗）
={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n
={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n
よって右辺はr=1で最大となるから
距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n)
のとき最大値(4-4/n)^(n/2)

0305１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 23:26:15

ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz

0306１３２人目の素数さん

2008/03/28(金) 01:59:51

同スレからもう一題…

〔問題244〕(改作)
三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。
　R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3,　等号成立は R√3 =a=b=c のとき。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/244

0307１３２人目の素数さん

2008/03/29(土) 00:24:53

>306
(略解)
　a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。
　a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2)
　　　= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) 　　　(←第2余弦定理)
　　　= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)}
　　　= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　(*)
　　　= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)
　　　≦(9R^2).

(*)　exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。

〔補題〕
　三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8,　等号成立は A=B=C=60ﾟのとき。
(略証)
　・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0,
　・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0,
　　相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3
　　　　= (1/2)^3 = 1/8,　　　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)　　　(終)

0308307

2008/03/29(土) 03:10:13

訂正。スマソ。
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3

0309１３２人目の素数さん

2008/03/30(日) 16:20:16

相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ

0310１３２人目の素数さん

2008/03/30(日) 23:25:44

>>309
君がしたまえ！

0311１３２人目の素数さん

2008/03/31(月) 23:11:01

>>306
[同スレ262]

既に解かれているが別解。

a ≦ b ≦ c として考えてよい。
R = abc/4S　　（S は三角形の面積）
　= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}　　（∵ヘロンの公式）
　= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3
∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

0 = 左辺 - 右辺
　= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2
　= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2)
　≧ 0　　（∵ a ≦ b ≦ c）
だから等号は成り立っていなければならない。
等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。
このとき R = a/√3。

0312１３２人目の素数さん

2008/05/05(月) 23:07:28

801

0313１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 00:59:34

age

0314１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 17:50:09

>>309

n個の正の数 {a,b,c,…} の相乗平均をGとする。
すべての要素がGに等しい場合を除いて、 a < G < b となるような要素a,bがある。ここで
　a' = G, b' = a･b/G,
と変更しても相乗平均はGのまま。一方、相加平均は
　(G + a･b/G)/2 - (a+b)/2= -(G-a)(b-G)/G <0
より減少する。
この変更操作を繰り返すと、(n-1)回以内にすべての要素がGに等しくなり、相加平均もGになる。
しかし相加平均は減り続けた筈だから、元々の相加平均Aは Gより大きかった。(終)

参考文献[3] の p.71-72

0315１３２人目の素数さん

2008/05/07(水) 00:27:35

0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1の範囲で
{(x+y+z)/3}+√{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)}
のとりえる値の最大値を求めよ。

0316１３２人目の素数さん

2008/05/08(木) 09:06:26

半径rの球面上を4点A，B，C，Dが動く．このとき，
　　AB↑･AC↑+AC↑･AD↑+AD↑･AB↑
の最小値をrで表せ．

0317１３２人目の素数さん

2008/05/08(木) 11:22:51

>>316
0

0318１３２人目の素数さん

2008/05/10(土) 19:26:12

>>315
(x+y+z)/3 =A の断面で考える。　Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積より
　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A),
よって
　(与式) ≦ A + √[3A(1-A)]
　= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] }
　= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2,
等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。

>>316
球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。
　(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ)
　　= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ)
　　= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ)　　　(← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ)
　　= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)　　　(← 平方完成)
　　≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2)
　　= -(1/2)r^2,
等号成立はＳ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａのとき。
　(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).)

0319１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:01:17

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0320１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:01:34

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0321１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:01:49

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0322１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:02:03

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0323１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:46:36

ん？タン虫は４連で終わり？
つまらん！

１０００までやりゃいいのに

0324１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 21:44:03

宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。

不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。
っていう問題です。

3≦2a-1/3＜4　を満たす　a　
を求めればよい。となっていますが、
5/3≦a＜13/6 となり
a＝２　と答はなりますが。。

解き方として

2a-1/3＜4　は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが
2a-1/3≧3　がどうして３がでてくるのか分かりません。

機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は
　　　整数値をBとした場合
　　　　B-1≦式＜B 　と機械式に覚えるのでしょうか。

また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は
　　　　整数値をCとした場合
　　　　C＜式≦C+1　　と機械式に覚えるのでしょうか。

　　　　

0325１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 22:20:06

>>324
2a-1/3＜4　は成り立つが
2a-1/3＜3　は成立たない。（← 4は最小値）

0326１３２人目の素数さん

2008/05/20(火) 20:20:39

a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式
　(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1])
　≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}
　　+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
が成立することを証明せよ.
（出典；数学セミナー）

0327１３２人目の素数さん

2008/05/21(水) 00:48:10

ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`)

0328１３２人目の素数さん

2008/05/23(金) 15:21:27

>>327
低脳は書き込まないように。

0329１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 00:15:18

>>328

0330１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 14:15:32

>>328

0331１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 14:16:56

>>328

0332１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 21:01:37

>>314
蛇足だが…

その変更操作によって調和平均は
　2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-⊿) > 2ab/(a+b),
により増加する。
　……
しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終)

0333１３２人目の素数さん

2008/05/28(水) 17:29:13

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/79
から転載

nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ
ただしnPkは順列の個数を意味する

0334１３２人目の素数さん

2008/05/31(土) 20:35:13

>>333

nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n,
　 C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。
∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]),

〔補題〕
　C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2),
　等号成立は n=2 のとき。
(略証)
nについての帰納法による。
n=1,2 のとき成立。
nが偶数のとき、n=2m,
　C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1),
　C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。
　C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2),
nが奇数のとき、
　C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2),　　　(終)

※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。

0335１３２人目の素数さん

2008/06/04(水) 02:51:52

>>334 の補足

　C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),

　(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)},
(略証)
　2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0,

0336１３２人目の素数さん

2008/06/08(日) 22:07:04

〔問題83〕(改作)
a,b,c>0 とする.
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3),
を示せ。

東大入試作問者スレ１５
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/83

---------------------------------------------------------

(略証)
左端
　(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2,
　巡回的にたす。
中央左
　(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc,
　巡回的にたす。
中央右
　(1/2)(b+c) ≧ √(bc),
　巡回的にたす。
右端
　√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3),

0337１３２人目の素数さん

2008/06/08(日) 23:13:45

ﾊｧﾊｧ…

0338１３２人目の素数さん

2008/06/14(土) 19:02:42

>>326

a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。
　(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1)
ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から
　　≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1)
　　= Σ_{k=1,n} b[k]
　　= (左辺).
ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。
ぬるぽ

http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html

0339１３２人目の素数さん

2008/06/23(月) 23:58:44

a,b,c を実数，ｎを自然数としたとき，次の不等式を示せ．

|a+b+c|^{2n/n+1} ≦ 3^{2n/n+1} { |a|^{2n/n+1} + |b|^{2n/n+1} + |c|^{2n/n+1} }

0340１３２人目の素数さん

2008/06/24(火) 01:01:32

>>339　|a+b+c|≦3*max{|a|, |b|, |c|}　から明らか。

0341１３２人目の素数さん

2008/06/26(木) 05:30:00

0342１３２人目の素数さん

2008/06/26(木) 05:31:02

【f(x)】
A.450
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200803&t=mat&l=en
B.4060
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200801&t=mat&l=en

【nCr】
B.4091
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200804&t=mat&l=en

【other】
B.4046
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en
B.4035
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en
B.4031
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en
B.4097
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en

雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ

0343１３２人目の素数さん

2008/06/28(土) 14:55:09

【問題148】(改作)
　sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/148

---------------------------------------------------
(略解)
・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より
　|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ),
・cosθ ≦0 のとき
　-1 ≦ cosθ ≦0,
　sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ),

0344１３２人目の素数さん

2008/06/28(土) 21:48:06

>>341
A.435ムズイな…

0345１３２人目の素数さん

2008/06/28(土) 21:58:18

>>341
やさしいのは･･･

B.4019.
　　1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)),
　より
　　(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4.
　なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･

B.4035. 積和公式
　2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x),
を使うと
　(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2),
　x=(2/11)nπ, 　　(nは整数, 但し11の倍数を除く.)

B.4043.
　(a,b,c,d) = (1,3,5,11)　(1,2,8,17)

B.4046.
　(a,b) = (169/9, 196/9)　　順不同
　|a-b|=3,

0346345

2008/06/28(土) 22:07:34

〔問題〕は↓でつ･･･

B.4019. Prove that
　　　1/(3^2) + 1/(5^2) + ･･･ + 1/(2n+1)^2 < 1/4,
　for every positive integer n.

B.4035. Solve the following equation:
　　　2cos(5x) + 2cos(4x) + 2cos(3x) + 2cos(2x) + 2cos(x) + 1 = 0.

B.4043. For what pairwise-different positive integers is the value of
　　　a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) + d/(d+1) = 3, or
　　　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1 ?

B.4046. Solve the following simultaneous equations:
　　　a√a + b√b = 183,
　　　a√b + b√a = 182,

0347１３２人目の素数さん

2008/06/29(日) 00:50:11

私のコレクションの中にも無いなぁ…

0348１３２人目の素数さん

2008/06/30(月) 22:51:51

A436とか微妙におもしろいね。不等式ならでは。解析ならでは。

0349１３２人目の素数さん

2008/07/02(水) 01:21:20

中心がＯで半径１の円に内接する△ＡＢＣがある。
↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃ
とするとき

↑ａ・↑ｂ＋↑ｂ・↑ｃ＋↑ｃ・↑ａ

の取りうる値の範囲を求めよ。

0350１３２人目の素数さん

2008/07/02(水) 20:57:26

>>341

B.4040.
　a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2)　　　　(0<A,B,C<π)
とおく。附帯条件から
　cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0,
　A+B+C = π,
　ABCは三角形をなす。

(1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき
　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3)　　(← 上に凸)
　　　　= 3cos(π/3) = 3/2.
(2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。
　　　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C)　(← 上に凸)
　　　　= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2
　　　　= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2　　(← sin(C/2) > 1/√2)

0351350

2008/07/02(水) 21:18:08

〔問題〕は↓でつ･･･

B.4040.
　a,b,c are positive real numbers, and ab+bc+ca=1. Prove that
　(1-a^2)/(1+a^2) + (1-b^2)/(1+b^2) + (1-c^2)/(1+c^2) ≦ 3/2.

0352１３２人目の素数さん

2008/07/03(木) 01:31:20

>>351
ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、
　 1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4
を示せばよい。

s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、
　（右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0
等号成立条件は a=b=c．

なぜならばっ！なぜならばっ！
　 s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係）

蛇足、t=1 より
　 s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0
　 s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0

　　　　　　　　　　＿＿＿　　
　　　　|┃三　.／　　≧　＼
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　久々の出番だね！
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

0353350-351

2008/07/03(木) 23:28:16

>>352
　成る程。 >>350 は牛刀だったか･･･orz.

>>349
　(与式) = ↑a･↑b + ↑b･↑c + ↑c･↑a = {|↑a + ↑b + ↑c|^2 - |a↑|^2 - |b↑|^2 - |c↑|^2 }/2
　= {|↑a + ↑b + ↑c|^2 -3}/2,
ここに
　0 ≦ |↑a + ↑b + ↑c| ≦ 3,
　-3/2 ≦ (与式) ≦ 3,
等号成立は (左側 :ABCが正三角形のとき,　右側 : A=B=C のとき）
ハｧハｧ

>>350

0354１３２人目の素数さん

2008/07/03(木) 23:58:49

>>353
牛刀も大歓迎です！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
なぜならばっ！なぜならばっ！
不等式ヲタだからです！
別解が多いほど興奮するからです！

0355１３２人目の素数さん

2008/07/04(金) 23:51:52

B.4101.
Assume xyz=8. Prove that
1/√(1+x^2) + 1/√(1+y^2) + 1/√(1+z^2) ≧ 1,

不等式スレッド　143-157

IMO-2001 (USA) Problem 2 の類題らしいよ。
http://imo.wolfram.com/problemset/index.html

0356１３２人目の素数さん

2008/07/05(土) 04:38:10

>>355
解けたけど芋のもんだいよりは簡単だった。

0357１３２人目の素数さん

2008/07/06(日) 10:42:24

>>341 , >>355 念のため･･･

B.4101.
　a=k／(x^(3/2)), b=k／(y^(3/2)), c=k／(z^(3/2)),　(k>0) とおくと
x^2 = 4bc/a^2, y^2 = 4ca/b^2, z^2 = 4ab/c^2,
　(左辺) = a/√(a^2 + 4bc) + b/√(b^2 + 4ca) + c/√(c^2 + 4ab)
　　　≧ a/√{a^2 +(b+c)^2} + b/√{b^2 +(c+a)^2} + c/√{c^2 +(a+b)^2} (← 相乗相加平均)
　　　> a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c)
　　　= 1.

0358357

2008/07/06(日) 10:49:06

>357 の訂正、ｽﾏｿ

　a=k／(x^(2/3)), b=k／(y^(2/3)), c=k／(z^(2/3)),　(k>0) とおくと

0359１３２人目の素数さん

2008/07/09(水) 17:25:53

誰かA.435解いて～

0360１３２人目の素数さん

2008/07/09(水) 17:27:45

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/231

nは自然数とする
{Σ[k=0→2n](C[2n,k])}/{Σ[k=0→n](C[n,k])^2}≦2√n
を示せ

0361１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 00:11:21

バーゼル不等式を自力で見つけた俺は普通より上

0362１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:42:46

A435
s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc
S1*S2/S3≧6{a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)}

0363１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:45:10

a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)={a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)}/{(s1-a)(s1-b)(s1-c)}

0364１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:50:42

a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1-3abc
=S1^3-S1*S2-3*S3

0365１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:53:15

>>362-364
証明になっとらん

0366１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:53:25

a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1+3abc
=S1^3-2*S1*S2+3*S3

(s1-a)(s1-b)(s1-c)=S1^3-(a+b+c)S1^2+(ab+bc+ca)S1-abc
=S1*S2-S3

0367１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:57:14

>>366
続き教えてください

0368１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:58:19

S1*S2/S3≧6{S1^3-2*S1*S2+3*S3}/{S1*S2-S3}

S1*S2*{S1*S2-S3}-6*S3*{S1^3-2*S1*S2+3*S3}≧0

0369１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 22:02:04

-6*S3*S1^3+S2^2*S1^2+13*S2*S3*S1-18*S3^2≧0

0370１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 22:08:15

>>369
それが常に成り立つことの証明は？

0371１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 23:05:37

>>360

　(分子) = Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n),
　(分母) = Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n],
より
　(左辺) = {2^(2n)}/C[2n,n] = b[n]
とおく。
　b[1] = 2 = √(2n),
　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
　　< √{n/(n-1)}.
∴　b[n]/√(2n) は単調減少。
なお、
　b[n]/√(2n) → (√π)/2,　　　　(n→∞)

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/239

0372371

2008/07/10(木) 23:08:51

　b[1] = 2 = 2√n,
　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
　　< √{n/(n-1)}.
∴　b[n]/(2√n) は単調減少。
なお、
　b[n]/(2√n) → √(π/2),　　　　(n→∞)

0373１３２人目の素数さん

2008/07/11(金) 10:14:37

a,b,cは0より大きく1/2より小さい実数でa+b+c=1を満たすとする。このとき
(7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18

0374１３２人目の素数さん

2008/07/11(金) 10:15:47

>>373
0＜a,b,c≦1/2 で考えてください。m(_ _)m

0375１３２人目の素数さん

2008/07/13(日) 11:09:47

∫[-1,1]|x^2+ax+b|dx≧1/2
を示せ

0376１３２人目の素数さん

2008/07/13(日) 18:12:00

今までで一番綺麗だと思った不等式は何ですか

0377１３２人目の素数さん

2008/07/13(日) 20:49:27

>376
シュワルツの不等式

0378１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 21:51:14

>>375
(ア)　[-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は
　a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。

(イ)　[-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！
　(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx
　　　= {(1/6)(3β-α)α^2 + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)}
　　　= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3　　　　　　　　　　　　(αβ≧0 のときは明らかに ≧2/3)
　　　= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2　(← 以下、α≦0≦β とした.)
　　　= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2
　　　≧ 1/2.
等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終)

いくら何でもマンドクセ？

0379１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 22:40:32

>>342
B.4097.
　(x,y) = (6,2), (50,10), (294,42).

>>377
　さようなら。
　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/

>>378　　　　(← 注釈無用)

0380379

2008/07/14(月) 22:44:37

〔問題〕は↓でつ･･･

B.4097.
Solve the following equation on the set of integers:
　　　2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1.

0381１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 23:29:34

>>380
そういや、まだ考えてなかった…

0382１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 13:27:24

Jensenの不等式で
f(t_1･x_1+…+t_n･x_n)<=t_1･f(x_1)+…+t_n･f(x_n)
が証明されて、特に
t_1=…=t_=1/n
とおけば
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
ですが、
t_1+…+t_n=1
の場合を示さないで、直接
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
を示すことは可能なんですかね？

0383１３２人目の素数さん

2008/07/16(水) 23:32:04

入試問題でも貼ろうか？

0384１３２人目の素数さん

2008/07/16(水) 23:36:21

不等式ならドンと来い

0385１３２人目の素数さん

2008/07/16(水) 23:59:00

2S|x^2+ax+b|>2S|(1+a)x^2+b|>2S|x^2+b|>2S|x^2|>2/3|x|>2/3>1/2

0386１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 01:05:11

>>380
x,yは整数でy≠0よりx≠0、さらに2^(x/y)は整数よりy|xかつｘ≧y≧1
あとはゴリ押しで、任意の正整数nに対して
x=(2/3)(2n+1)((2^n)-1)((2^n)+1)、y=(2/3)((2^n)-1)((2^n)+1)
が求める整数解となる

不等式とか関係ない気がするが

0387１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 02:16:55

ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０，ａ＋ｂ≧ｃのとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ
｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛ｂ／（１＋ｂ）｝≧ｃ／（１＋ｃ）
（５３群馬大，５９中部工大）

２数ａ，ｂがａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１を満たすとき，
｛ａ＋（１／ａ）｝＾２＋｛ｂ＋（１／ｂ）｝＾２≧２５／２
を証明せよ（５２茨城大）

３つの正数ｘ，ｙ，ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすとき，不等式
｛２＋（１／ｘ）｝｛２＋（１／ｙ）｝｛２＋（１＋ｚ）｝≧１２５
が成り立つことを示せ（５８東京女大・数理）

ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ＋ｎ）｝
の最大値を求めよ（５８東京理科大）

暇潰しにもならないと思うがどうぞ

0388１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 02:20:48

訂正
ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ／ｎ）｝
の最大値を求めよ（５８東京理科大）

0389１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 03:40:53

フハハハハ…、解ける、解けるぞ！

0390１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 07:02:42

(1-25/3n)^3
2*2.5^2=2*5^2/2>25/2
2(c/2+2/c)^2=(4+c^2)^2/2c^2>c/(c+1)

　2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1
2^(x/y-1)=1+(3/2)y=(2+3y)/2
2^(x/y)=2+3y
(x/y)log2=log(2+3y)
xlog2=ylog(2+3y)
x=ylog(2+3y)/log2

log(2+3y)=klog2
2+3y=2^k
y=(2^k-2)/3=2(2^(k-1)-1)/3
2^(k-1)-1=3m
k-1=log(3m+1)/log2
k=log(3m+1)/log2+1
y=(2^k-2)/3=2(2e^log(3m+1)-2)/3=2(2(3m+1)-2)/3=4m
x=ylog(2+3y)/log2=4mlog(2+12m)/log2

0391１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 22:10:13

私にも解けますた…

>>387
(1)　a/(1+a) + b/(1+b) ≧ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) = (a+b)/(1+a+b) ≧ c/(1+c).　　　{← x/(1+x) は単調増加}
　　∵ (a+b)(1+c) - (1+a+b)c = (a+b) - c ≧ 0.

(2)　a+b=s, b-a=d とおくと
　(左辺) = {a+(1/a)}^2 + {b+(1/b)}^2
　　= (a^2 + b^2) + {(1/a)^2 + (1/b)^2} + 4
　　= (a^2 + b^2){1 + (1/ab)^2} + 4
　　= (1/2)(s^2 + d^2){1 + 16/(s^2 - d^2)^2} + 4
これは d^2 について単調増加。d=0 のとき最小値
　(1/2)(s^2){1 + (2/s)^4} + 4 = 2{(s/2)+(2/s)}^2.
　(別法)　f(x) = {x + (1/x)}^2 = x^2 + 2 + 1/(x^2)　は下に凸だから
　　f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2) = 2f(s/2) = 2{(s/2)+(2/s)}^2.

(3)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
　(xy+yz+zx)/(xyz) = t/u ≧ 3*(3/s),
　(x+y+z)/(xyz) = s/u ≧ 3*(3/s)^2,
　1/(xyz) = 1/u ≧ (3/s)^3,
　(左辺) = {2+(1/x)}{2+(1/y)}{2+(1/z)} = {8xyz + 4(xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1}/(xyz)
　　= 8 + 4(xy+yz+zx)/(xyz) + 2(x+y+z)/(xyz) + 1/(xyz)
　　≧8 + 12*(3/s) + 6*(3/s)^2 + (3/s)^3
　　= {2 + (3/s)}^3

>>388
(4) 相乗相加平均より
　(与式) ≦ {1 - (x+y+z)/(3n)}^3 = {1 - s/(3n)}^3.

0392１３２人目の素数さん

2008/07/18(金) 19:46:07

とりあえずIMO

'08 2
(1)x,y,z∈R-{1}, xyz=1のとき, x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1を示せ。
(2)(1)で、等号が成立する有理数の組(x,y,z)が無限に存在することを示せ。

0393１３２人目の素数さん

2008/07/19(土) 00:09:16

>>392
(1)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
　{x(y-1)(z-1)}^2 + {(x-1)y(z-1)}^2 + {(x-1)(y-1)z}^2 - {(x-1)(y-1)(z-1)}^2
　= 3u^2 -4tu +2t^2 -2(st-3u) + (s^2 -2t) - (u-t+s-1)^2
= (t-3)^2 + 2(u-1)(u-t-s+5),
　= (t-3)^2　　　　　　　　　　 (← 題意より u=1)
　≧ 0,
これを {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 >0 で割る。

(2)　等号条件は t=3, u=1. なので･･･

0394１３２人目の素数さん

2008/07/20(日) 08:47:38

とりあえず、>>373-374が解ければA.435が解けることが分かった。

0395１３２人目の素数さん

2008/07/20(日) 15:21:54

そろそろ、３文字の対称式に対する不等式に対して一般的解法をここへ載せてもいい時期ではないか？
表立って現れて来ない条件は３文字が実数を現すって事だけで、後は問題の条件が付け加われば
もう、解法に使える条件式は本質的にはないのだから、後はその式が少々煩雑で
一般的にはそれほどよく目にしないってだけの話なんだから、、、。
そうして、文字の次数をあげれば、それはそれで一般的な理論への道が開けている。

そうして、事はそれほどには単純明快にはならないだろうが、、、。
ここらへんから先には幾何や代数もからんで来て数学を学んで視野や地平線を広げていくのには
格好の話題になると思う。

別に不等式だけからでも、数学の全分野に近い範囲を見渡す事だってできると思うし、
そいつは結構おもしろい旅路だと思うよ。

0396１３２人目の素数さん

2008/07/21(月) 00:10:03

>>395
さあ！

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不等式への招待 第３章

不等式への招待第３章