弧長とか使って厳密にsinとかcosとか定義するのも
それはそれで面倒だと思うけどな。

e^{x+y} = e^x e^y は実際にTaylor展開で証明してる本が
結構あると思うけど。三角函数もちょっと面倒になるだけで基本的には同じ。
（本質的には複素変数にしただけなんだから当然といえば当然）