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不等式への招待第３章

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0001１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:00:00

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

0264１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 18:51:59

指数法則はe^xが絶対収束することと二項定理から得られる
加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる

で、こんなの常識でしかないのだが

0265１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 19:16:06

> 加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる

それは複素変数の場合
一応大学１年のレベルなんだから、複素数を使わないで証明してもらいたいね

0266１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 23:45:00

何言ってるの？基地外？

0267１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 00:21:54

exp(x)と同じようにやればいいだけなのもわからんのか

0268１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 01:07:41

弧長とか使って厳密にsinとかcosとか定義するのも
それはそれで面倒だと思うけどな。

e^{x+y} = e^x e^y は実際にTaylor展開で証明してる本が
結構あると思うけど。三角函数もちょっと面倒になるだけで基本的には同じ。
（本質的には複素変数にしただけなんだから当然といえば当然）

0269１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 08:46:25

>>268
>>三角函数

か・・・漢字が読めねぇ・・・orz

0270１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 10:12:25

歴史的名著は大抵函数表記だった気がするが

0271１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 14:04:52

>>269
ゆとり世代乙

>>270
収束のことを収斂とか書いていたが、流石に今は直されているだろう
だけど、函数は時々見かける。
あと、個人的には線形代数という表記が気に入らない。
線型代数だろうよと，，，

0272１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 15:07:04

函はハコと読みます。

サンカクハコカズです。

0273１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 15:30:28

>>271
>>収斂

俺も読めない・・・orz

0274１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 15:32:59

>>269
北海道の函館（はこだて）って知らないのか？

0275１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 15:34:01

ゆとり・・・

0276１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 21:42:47

>>273
釣りかも知れんが「しゅうれん」だ。
覚えておけ！

0277１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 15:28:17

〔問題〕
絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して (a,b,c) を
　a = x+y+z
　b = x^2 +y^2 +z^2
　c = x^3 +y^3 +z^3
と定める。下記の不等式が成り立つことを示せ。(MASUDA)
　|a^3 +6a -3ab +2c| ＜ 3|a^2 -b+2|,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/350 ,359
東大入試作問者スレ１３

0278１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 15:43:06

>277
示すべき不等式を整理すると
　| (xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) | < 1,
を示せばよいことがわかる。
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。そこで
>>222 に習って x=tanhξ, y=tanhη, z=tanhζ とおこう。tanh の加法公式より
　(xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) = tanh(ξ+η+ζ),
　| tanh(……) | < 1,
よって、問題の不等式も示される。

0279１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 17:24:24

>278 の補足
　(coshθ)^2 - (sinhθ)^2 = {[e^θ + e^(-θ)]/2}^2 - {[e^θ - e^(-θ)]/2}^2 = 1,
より
　1 - (tanhθ)^2 = 1/(coshθ)^2 >0,
よって
　|tanhθ| < 1,

0280１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 22:53:50

>>269-276
読めない漢字＠数学板

三角函数（さんかく・かんすう）→三角関数

収斂（しゅうれん）→数学の用語で収束のこと

帰謬法（きびゅうほう）→背理法ともいう

0281１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 23:01:39

数学板、誤変換

○確率
×確立

○置換
×痴漢

○偏微分
×変微分

○整式
×正式

○小数
×少数

○対数
×大数
（ただし『大学への数学』または"大数の法則"の意の場合も・・・）

○シミュレーション
×シュミレーション
（日本語にない発音のため。ただし方言には近い発音があるらしい）

○キチ（既知）
×ガイチ
（またちなみに、既出（きしゅつ）と読む。"がいしゅつ"ではない。）

既知の既の字に「木」へんが付くと
高木貞治の『解析概論』"かいせき・がいろん"の概の字になる。

0282パトリシア=マーティン（らき☆すた）

2008/02/11(月) 23:07:30

　　　　　　　､＿＿__,,　-―――- ､ヽ、
　　　　　　　_＞　　　　　　　　　　　ヽ} ）
　　　　　／　／　　 '　/　　　　　　　 ⌒ヽ
　　　　∠（　/　　^ﾒ､ //　　 }　　　　　 ',
　　　　　ヽ/　　　{　/ {{　　　ﾊ　　}　ヽ.　　|
.　　　　／　　 ,ﾉx=ﾐ从　　/ |⌒/　　Ｖ　|
　　　　∠ -ｧフ ,ｲ〃うﾊハ／ _ | ∧　　 {　ﾘ
　　　　　　厶‐'´! } V辷j　　　≠弌〉､　 ∨
　　　　　　　V{. ヽゝ　　 '＿_　　 /　＼　＼
　　　　　　　＼个　.　 V　_）　_厶　人ﾉ￣
　　　　　　　　　　＾ j人＞rー/＾}_ ,イﾉ´ 　　ニホンゴのカンジってムズカシイネ
　　　　　　　　　　xr＜了　（｀ヽ{　/｀ヽ
　　　　　　　　 / ｛.　 {YY´￣　}７　　 }
　　　　　　 /〃} 　 } 人_, 　 j　　 /
　　　　　　　　/　{{ { 　 {{　　ヽ.　＼　/

02831stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/11(月) 23:33:13

1stVirtue教では応用数学の習得もする。

0284１３２人目の素数さん

2008/02/12(火) 00:49:18

>>283
お前誰だ？　馬鹿じゃねーの？

02851stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/12(火) 07:26:02

Reply:>>284 日本人の心を持つことをお前様はわかるのだろうか。

0286１３２人目の素数さん

2008/02/12(火) 16:30:11

>>285 は気違いだから相手にするな。

「1stVirtue教」だとさｗｗｗ

02871stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/12(火) 16:56:38

Reply:>>286 不心得者は早く日本から去りてくださいませ。

02881stVirtue

2008/02/12(火) 19:01:31

>>287
お前が出て行け！偽者。

02891stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/12(火) 19:32:57

Reply:>>288 誰が本物であるかの議論をしなくてはならぬのか。

0290１３２人目の素数さん

2008/02/13(水) 21:21:30

>>289
当たり前だろ
それより俺の心を読むのをやめてくれないか

02911stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/13(水) 23:38:37

Reply:>>290 どうしろという。

0292１３２人目の素数さん

2008/02/14(木) 01:19:01

数学の命題にはそれ自体真か偽かが証明不可能な命題が存在する（ゲーデル）

0293１３２人目の素数さん

2008/02/14(木) 11:34:35

1stVirtue ◆.NHnubyYck

お前邪魔やからさっさと消えろや！

02941stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/14(木) 11:48:43

Reply:>>293 自分または自分の親戚がよそ者かどうか考えてみよ。

0295１３２人目の素数さん

2008/02/16(土) 22:15:57

>>277
示すべき不等式を整理すると
　| N | < D,
を示せばよいことがわかる。ここに N = xyz + (x+y+z),　D = (xy+yz+zx) +1,
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。よって
　D + N = (1+x)(1+y)(1+z) >0,
　D - N = (1-x)(1-y)(1-z) >0,
辺々掛けて
　D^2 - N^2 = (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) >0,
　| N | < D,

0296KBumDUXdQj

2008/02/28(木) 11:50:58

pUNSrO <a href="http://khiyeukbkpro.com/">khiyeukbkpro</a>, [url=http://tozwceqtvhzs.com/]tozwceqtvhzs[/url], [link=http://sisigqwdtxhd.com/]sisigqwdtxhd[/link], http://yllgcklstqui.com/

0297１３２人目の素数さん

2008/03/08(土) 20:45:38

自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。
a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2}
を示せ。

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/69

（補注）
n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。

0298１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 00:29:56

同スレからもう一題。

82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30
【補題】
x,y>0 のとき
　x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0,
　等号成立は x=y のとき。

(略証)
　(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k,　より明らか。
　{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より}

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/82

-------------------------------------------------------

(別証)
　(左辺) = (x-y)S,
ここに
　S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k,
とおいた。
x>y>0 のとき S >0,
　(左辺) = (x-y)S >0.
y>x>0 のとき S <0,
　(左辺) = (x-y)S >0.　(終)

0299１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 04:31:35

入試レベルの不等式キボンヌ

0300１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 04:34:48

ヘルダーの不等式を証明汁

0301１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 08:50:42

>>300
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%d8%a5%eb%a5%c0%a1%bc%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

0302１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 22:15:52

同スレからもう一題。

【問題】(改作)
n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。
半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。
半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/162, 165

0303１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 22:23:59

>302
(略解)
各点の座標を
　O = (0,0,…,0),　　原点
　A_1 = ( r,0,…,0),　A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r),
　B_1 = (-r,0,…,0),　B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r),
　P = (x_1,x_2,…,x_n)
とおく。題意より
　OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'.
Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。
　(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
　　　　　　　　 * {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i)
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2,
i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。
　(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4,
等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。
題意より OP≦r', n≧2 だから、
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2),
とくに r'=r のとき
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n),

(例)
　n=2, r'=r のとき 2r^4,
　n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6.

0304１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 23:25:16

半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を
単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。
(距離の積の２乗)
=Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2}
≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗）
={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n
={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n
よって右辺はr=1で最大となるから
距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n)
のとき最大値(4-4/n)^(n/2)

0305１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 23:26:15

ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz

0306１３２人目の素数さん

2008/03/28(金) 01:59:51

同スレからもう一題…

〔問題244〕(改作)
三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。
　R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3,　等号成立は R√3 =a=b=c のとき。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/244

0307１３２人目の素数さん

2008/03/29(土) 00:24:53

>306
(略解)
　a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。
　a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2)
　　　= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) 　　　(←第2余弦定理)
　　　= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)}
　　　= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　(*)
　　　= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)
　　　≦(9R^2).

(*)　exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。

〔補題〕
　三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8,　等号成立は A=B=C=60ﾟのとき。
(略証)
　・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0,
　・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0,
　　相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3
　　　　= (1/2)^3 = 1/8,　　　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)　　　(終)

0308307

2008/03/29(土) 03:10:13

訂正。スマソ。
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3

0309１３２人目の素数さん

2008/03/30(日) 16:20:16

相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ

0310１３２人目の素数さん

2008/03/30(日) 23:25:44

>>309
君がしたまえ！

0311１３２人目の素数さん

2008/03/31(月) 23:11:01

>>306
[同スレ262]

既に解かれているが別解。

a ≦ b ≦ c として考えてよい。
R = abc/4S　　（S は三角形の面積）
　= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}　　（∵ヘロンの公式）
　= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3
∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

0 = 左辺 - 右辺
　= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2
　= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2)
　≧ 0　　（∵ a ≦ b ≦ c）
だから等号は成り立っていなければならない。
等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。
このとき R = a/√3。

0312１３２人目の素数さん

2008/05/05(月) 23:07:28

801

0313１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 00:59:34

age

0314１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 17:50:09

>>309

n個の正の数 {a,b,c,…} の相乗平均をGとする。
すべての要素がGに等しい場合を除いて、 a < G < b となるような要素a,bがある。ここで
　a' = G, b' = a･b/G,
と変更しても相乗平均はGのまま。一方、相加平均は
　(G + a･b/G)/2 - (a+b)/2= -(G-a)(b-G)/G <0
より減少する。
この変更操作を繰り返すと、(n-1)回以内にすべての要素がGに等しくなり、相加平均もGになる。
しかし相加平均は減り続けた筈だから、元々の相加平均Aは Gより大きかった。(終)

参考文献[3] の p.71-72

0315１３２人目の素数さん

2008/05/07(水) 00:27:35

0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1の範囲で
{(x+y+z)/3}+√{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)}
のとりえる値の最大値を求めよ。

0316１３２人目の素数さん

2008/05/08(木) 09:06:26

半径rの球面上を4点A，B，C，Dが動く．このとき，
　　AB↑･AC↑+AC↑･AD↑+AD↑･AB↑
の最小値をrで表せ．

0317１３２人目の素数さん

2008/05/08(木) 11:22:51

>>316
0

0318１３２人目の素数さん

2008/05/10(土) 19:26:12

>>315
(x+y+z)/3 =A の断面で考える。　Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積より
　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A),
よって
　(与式) ≦ A + √[3A(1-A)]
　= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] }
　= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2,
等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。

>>316
球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。
　(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ)
　　= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ)
　　= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ)　　　(← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ)
　　= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)　　　(← 平方完成)
　　≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2)
　　= -(1/2)r^2,
等号成立はＳ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａのとき。
　(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).)

0319１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:01:17

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0320１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:01:34

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0321１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:01:49

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0322１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:02:03

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0323１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:46:36

ん？タン虫は４連で終わり？
つまらん！

１０００までやりゃいいのに

0324１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 21:44:03

宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。

不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。
っていう問題です。

3≦2a-1/3＜4　を満たす　a　
を求めればよい。となっていますが、
5/3≦a＜13/6 となり
a＝２　と答はなりますが。。

解き方として

2a-1/3＜4　は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが
2a-1/3≧3　がどうして３がでてくるのか分かりません。

機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は
　　　整数値をBとした場合
　　　　B-1≦式＜B 　と機械式に覚えるのでしょうか。

また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は
　　　　整数値をCとした場合
　　　　C＜式≦C+1　　と機械式に覚えるのでしょうか。

　　　　

0325１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 22:20:06

>>324
2a-1/3＜4　は成り立つが
2a-1/3＜3　は成立たない。（← 4は最小値）

0326１３２人目の素数さん

2008/05/20(火) 20:20:39

a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式
　(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1])
　≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}
　　+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
が成立することを証明せよ.
（出典；数学セミナー）

0327１３２人目の素数さん

2008/05/21(水) 00:48:10

ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`)

0328１３２人目の素数さん

2008/05/23(金) 15:21:27

>>327
低脳は書き込まないように。

0329１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 00:15:18

>>328

0330１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 14:15:32

>>328

0331１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 14:16:56

>>328

0332１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 21:01:37

>>314
蛇足だが…

その変更操作によって調和平均は
　2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-⊿) > 2ab/(a+b),
により増加する。
　……
しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終)

0333１３２人目の素数さん

2008/05/28(水) 17:29:13

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/79
から転載

nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ
ただしnPkは順列の個数を意味する

0334１３２人目の素数さん

2008/05/31(土) 20:35:13

>>333

nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n,
　 C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。
∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]),

〔補題〕
　C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2),
　等号成立は n=2 のとき。
(略証)
nについての帰納法による。
n=1,2 のとき成立。
nが偶数のとき、n=2m,
　C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1),
　C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。
　C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2),
nが奇数のとき、
　C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2),　　　(終)

※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。

0335１３２人目の素数さん

2008/06/04(水) 02:51:52

>>334 の補足

　C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),

　(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)},
(略証)
　2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0,

0336１３２人目の素数さん

2008/06/08(日) 22:07:04

〔問題83〕(改作)
a,b,c>0 とする.
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3),
を示せ。

東大入試作問者スレ１５
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/83

---------------------------------------------------------

(略証)
左端
　(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2,
　巡回的にたす。
中央左
　(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc,
　巡回的にたす。
中央右
　(1/2)(b+c) ≧ √(bc),
　巡回的にたす。
右端
　√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3),

0337１３２人目の素数さん

2008/06/08(日) 23:13:45

ﾊｧﾊｧ…

0338１３２人目の素数さん

2008/06/14(土) 19:02:42

>>326

a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。
　(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1)
ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から
　　≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1)
　　= Σ_{k=1,n} b[k]
　　= (左辺).
ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。
ぬるぽ

http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html

0339１３２人目の素数さん

2008/06/23(月) 23:58:44

a,b,c を実数，ｎを自然数としたとき，次の不等式を示せ．

|a+b+c|^{2n/n+1} ≦ 3^{2n/n+1} { |a|^{2n/n+1} + |b|^{2n/n+1} + |c|^{2n/n+1} }

0340１３２人目の素数さん

2008/06/24(火) 01:01:32

>>339　|a+b+c|≦3*max{|a|, |b|, |c|}　から明らか。

0341１３２人目の素数さん

2008/06/26(木) 05:30:00

0342１３２人目の素数さん

2008/06/26(木) 05:31:02

【f(x)】
A.450
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200803&t=mat&l=en
B.4060
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200801&t=mat&l=en

【nCr】
B.4091
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200804&t=mat&l=en

【other】
B.4046
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en
B.4035
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en
B.4031
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en
B.4097
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en

雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ

0343１３２人目の素数さん

2008/06/28(土) 14:55:09

【問題148】(改作)
　sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/148

---------------------------------------------------
(略解)
・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より
　|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ),
・cosθ ≦0 のとき
　-1 ≦ cosθ ≦0,
　sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ),

0344１３２人目の素数さん

2008/06/28(土) 21:48:06

>>341
A.435ムズイな…

0345１３２人目の素数さん

2008/06/28(土) 21:58:18

>>341
やさしいのは･･･

B.4019.
　　1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)),
　より
　　(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4.
　なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･

B.4035. 積和公式
　2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x),
を使うと
　(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2),
　x=(2/11)nπ, 　　(nは整数, 但し11の倍数を除く.)

B.4043.
　(a,b,c,d) = (1,3,5,11)　(1,2,8,17)

B.4046.
　(a,b) = (169/9, 196/9)　　順不同
　|a-b|=3,

0346345

2008/06/28(土) 22:07:34

〔問題〕は↓でつ･･･

B.4019. Prove that
　　　1/(3^2) + 1/(5^2) + ･･･ + 1/(2n+1)^2 < 1/4,
　for every positive integer n.

B.4035. Solve the following equation:
　　　2cos(5x) + 2cos(4x) + 2cos(3x) + 2cos(2x) + 2cos(x) + 1 = 0.

B.4043. For what pairwise-different positive integers is the value of
　　　a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) + d/(d+1) = 3, or
　　　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1 ?

B.4046. Solve the following simultaneous equations:
　　　a√a + b√b = 183,
　　　a√b + b√a = 182,

0347１３２人目の素数さん

2008/06/29(日) 00:50:11

私のコレクションの中にも無いなぁ…

0348１３２人目の素数さん

2008/06/30(月) 22:51:51

A436とか微妙におもしろいね。不等式ならでは。解析ならでは。

0349１３２人目の素数さん

2008/07/02(水) 01:21:20

中心がＯで半径１の円に内接する△ＡＢＣがある。
↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃ
とするとき

↑ａ・↑ｂ＋↑ｂ・↑ｃ＋↑ｃ・↑ａ

の取りうる値の範囲を求めよ。

0350１３２人目の素数さん

2008/07/02(水) 20:57:26

>>341

B.4040.
　a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2)　　　　(0<A,B,C<π)
とおく。附帯条件から
　cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0,
　A+B+C = π,
　ABCは三角形をなす。

(1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき
　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3)　　(← 上に凸)
　　　　= 3cos(π/3) = 3/2.
(2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。
　　　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C)　(← 上に凸)
　　　　= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2
　　　　= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2　　(← sin(C/2) > 1/√2)

0351350

2008/07/02(水) 21:18:08

〔問題〕は↓でつ･･･

B.4040.
　a,b,c are positive real numbers, and ab+bc+ca=1. Prove that
　(1-a^2)/(1+a^2) + (1-b^2)/(1+b^2) + (1-c^2)/(1+c^2) ≦ 3/2.

0352１３２人目の素数さん

2008/07/03(木) 01:31:20

>>351
ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、
　 1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4
を示せばよい。

s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、
　（右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0
等号成立条件は a=b=c．

なぜならばっ！なぜならばっ！
　 s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係）

蛇足、t=1 より
　 s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0
　 s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0

　　　　　　　　　　＿＿＿　　
　　　　|┃三　.／　　≧　＼
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　久々の出番だね！
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

0353350-351

2008/07/03(木) 23:28:16

>>352
　成る程。 >>350 は牛刀だったか･･･orz.

>>349
　(与式) = ↑a･↑b + ↑b･↑c + ↑c･↑a = {|↑a + ↑b + ↑c|^2 - |a↑|^2 - |b↑|^2 - |c↑|^2 }/2
　= {|↑a + ↑b + ↑c|^2 -3}/2,
ここに
　0 ≦ |↑a + ↑b + ↑c| ≦ 3,
　-3/2 ≦ (与式) ≦ 3,
等号成立は (左側 :ABCが正三角形のとき,　右側 : A=B=C のとき）
ハｧハｧ

>>350

0354１３２人目の素数さん

2008/07/03(木) 23:58:49

>>353
牛刀も大歓迎です！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
なぜならばっ！なぜならばっ！
不等式ヲタだからです！
別解が多いほど興奮するからです！

0355１３２人目の素数さん

2008/07/04(金) 23:51:52

B.4101.
Assume xyz=8. Prove that
1/√(1+x^2) + 1/√(1+y^2) + 1/√(1+z^2) ≧ 1,

不等式スレッド　143-157

IMO-2001 (USA) Problem 2 の類題らしいよ。
http://imo.wolfram.com/problemset/index.html

0356１３２人目の素数さん

2008/07/05(土) 04:38:10

>>355
解けたけど芋のもんだいよりは簡単だった。

0357１３２人目の素数さん

2008/07/06(日) 10:42:24

>>341 , >>355 念のため･･･

B.4101.
　a=k／(x^(3/2)), b=k／(y^(3/2)), c=k／(z^(3/2)),　(k>0) とおくと
x^2 = 4bc/a^2, y^2 = 4ca/b^2, z^2 = 4ab/c^2,
　(左辺) = a/√(a^2 + 4bc) + b/√(b^2 + 4ca) + c/√(c^2 + 4ab)
　　　≧ a/√{a^2 +(b+c)^2} + b/√{b^2 +(c+a)^2} + c/√{c^2 +(a+b)^2} (← 相乗相加平均)
　　　> a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c)
　　　= 1.

0358357

2008/07/06(日) 10:49:06

>357 の訂正、ｽﾏｿ

　a=k／(x^(2/3)), b=k／(y^(2/3)), c=k／(z^(2/3)),　(k>0) とおくと

0359１３２人目の素数さん

2008/07/09(水) 17:25:53

誰かA.435解いて～

0360１３２人目の素数さん

2008/07/09(水) 17:27:45

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/231

nは自然数とする
{Σ[k=0→2n](C[2n,k])}/{Σ[k=0→n](C[n,k])^2}≦2√n
を示せ

0361１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 00:11:21

バーゼル不等式を自力で見つけた俺は普通より上

0362１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:42:46

A435
s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc
S1*S2/S3≧6{a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)}

0363１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:45:10

a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)={a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)}/{(s1-a)(s1-b)(s1-c)}

0364１３２人目の素数さん

2008/07/10(木) 21:50:42

a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1-3abc
=S1^3-S1*S2-3*S3

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不等式への招待 第３章

不等式への招待第３章