数学科の微積分での証明だったら、これらは全部不合格だよ。

まず、e の存在を証明して（有界単調数列は収束する）から物事が始まる。
指数関数の定義やその逆関数として log x を定め、さらに、それらが解析的
であること、つまりTaylor展開できることという順番だからな。

ここの「証明」は全部循環論法。
e の不等式の証明にTaylor展開を使うのは、数学科だとアウト。