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不等式への招待第３章

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0001１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:00:00

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

0246１３２人目の素数さん

2008/02/04(月) 12:22:50

>245
右側は　>244
左側も同様に
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - ……
　　　≧ -d -(1/2)d^2 -(1/2)d^3 -(1/2)d^4 - ……　(等比級数)
　　　= -d -(d^2)/(2(1-d))
　　　= -d(2-d)/(2(1-d)),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
　-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) > -(2n+1)/(n(2n+2)),
　n･log(1 +1/n) < (2n+1)/(2n+2) = 1 -1/(2n+2),
あとは exp( ) するだけ。

0247１３２人目の素数さん

2008/02/05(火) 11:50:54

〔235の拡張〕
nを自然数とするとき
　e/(2n+2) < e - (1+1/n)^n < e/(2n+1),
が成り立つことを示せ。

0248１３２人目の素数さん

2008/02/05(火) 12:20:13

>247
右側は >244
左側も同様に
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 -(1/5)d^5 - ……
　　　> -d -(1/2)d^2 -(1/3)(d^3 +d^4 +d^5 + …… )　　　(等比級数)
　　　= -d -(1/2)d^2 -(d^3)/(3(1-d)),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
　-log(1 +1/n) = log(1 -1/(n+1))
　　> -1/(n+1) -1/(2(n+1)^2) -1/(3n(n+1)^2),
　　= -(1/n){1 -1/(2(n+1)) -1/(6(n+1)^2)},
　n･log(1 +1/n) < 1 -1/(2n+2) -2/(3(2n+2)^2)
　　≦ 1 -1/(2n+2) -1/(2(2n+2)(2n+1))　　　　　　(← 3(2n+2) ≦ 4(2n+1) )
　　< 1 + log(1 -1/(2n+2)),　　　　　　　　　　　( >246 の公式に d=1/(2n+2) を代入)
あとは exp( ) するだけ。
　(1 +1/n)^n < e{1 -1/(2n+2)},

0249１３２人目の素数さん

2008/02/05(火) 18:15:11

>>245 >>247
同じ問題はいいよ。つまんねえ

0250１３２人目の素数さん

2008/02/06(水) 03:28:54

つまんなくて申し訳ねぇ…

nが大きいとき、マクローリン展開して
　n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +1/(3n^3) -1/(4n^4) + …}
　　= 1 -1/(2n) +1/(3n^2) -1/(4n^3) +1/(5n^4) - …,

　(1 +1/n)^n = e{1 -1/(2n) +11/(24n^2) -21/(48n^3) +2447/(5760n^4) - …},

　{e - (1 +1/n)^n}/e = 1/(2n) -11/(24n^2) +21/(48n^3) -2447/(5760n^4) + …,

　e/{e - (1+1/n)^n} -2n = 2n/{1 -11/(12n) + 21/(24n^2) -2447/(2880n^3) + …} -2n
　　　= 2n{1 +11/(12n) -5/(144n^2) +17/(1080n^3) -… } -2n
　　　= 11/6 -5/(72n) + 17/(540n^2) - … → 11/6,　(n→∞)

　e - (1+1/n)^n ≒ e/(2n +11/6).　　　(n>> 1)

0251１３２人目の素数さん

2008/02/06(水) 09:31:57

数学科の微積分での証明だったら、これらは全部不合格だよ。

まず、e の存在を証明して（有界単調数列は収束する）から物事が始まる。
指数関数の定義やその逆関数として log x を定め、さらに、それらが解析的
であること、つまりTaylor展開できることという順番だからな。

ここの「証明」は全部循環論法。
e の不等式の証明にTaylor展開を使うのは、数学科だとアウト。

0252１３２人目の素数さん

2008/02/06(水) 12:27:04

最初からTaylor展開でe^xを定義する事だってよくあるけど。
君が知らないだけで。定義も書かないで251みたいな事を書くのはナンセンス。

まあ>>249には大体同意。

0253１３２人目の素数さん

2008/02/06(水) 23:24:48

>>251
それ、数学科の微積分じゃなくて、高校の微積分って言った方が正しいと思うよｗ

0254１３２人目の素数さん

2008/02/08(金) 17:59:08

【問題】
f を開区間 (a,b) の C^2 級関数とするとき，次の不等式を示せ．
∫^b_a |f ' (x)|^2 dx ≦ 54 [ 1/(b-a)^2 ∫^b_a |f(x)|^2 dx + (b-a)^2 ∫^b_a |f ' ' (x)|^2 dx ]

0255１３２人目の素数さん

2008/02/08(金) 20:12:14

>251
小平の解析入門なんかでは
無限級数の極限で定義してる。
いろんな定義が可能なことを知らないなんて
数学科ではないなｗ

0256251

2008/02/09(土) 11:19:43

数学科の微積分をナメるなよ！！！！！！！！１１１１１

0257１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 11:40:03

ってか、king氏にも分からないことがあるんだと
かつ、このスレの優秀さを改めて見直した

0258１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 11:42:33

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,.-‐"':"￣~ﾞ'ヽ、　　　　　　　＿＿
　　　　　 _,---‐"￣＼　　　　　　　　／　　　　　　　　｀`ｰ‐-、　　ノ　　＼
　　　　／　　　　　　　ヽ　　　　　　;"　　　　　　　　　　　　　　）　/　　　　＼
　　　/　　　ぐ　わ　　　｜　　　/　　　　　　　　　　　　　　　　|ﾉ/　　　　　　＼
　　/　　　　ら　か　　　|　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　 )/.| 　・　　オ　　 |
　　|　　　　.い　ら　　　　| 　　　　|　　　　　　　　　 ,;';;,,　　　　/ﾉ | 　・　　レ　　|
　　|　　　　・　な　　　　|　　　　|::::.................:::::::::;;,'^;､::::::'''..,,_;､丿 | 　・　　に　　|
　　|　　　　・　い　　　　|　　　/:::::::::::::::::::::::::::;"ﾞ, /ﾞ~ﾞ`''::;'ﾞ; 　　 |　　・　　だ.　　|
　　|　　　　あ　こ　　　｜　　 `､;;::::::::::::::::;／　),;'　　　:.'.,、　　｜　・　　っ　　｜
　　|　　　　る　と　　　　|　 ,へﾉ　 `'''''"´　　.:;　　　　 .:::_ヽ　　｜　・　　て　　|
　　|　　　　・　　　　　　　Ｙ　　＼　　　　　　.::;　　　 ::::ゝ　　　.|　　・　　　　 |
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0259１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 18:24:21

>>255
ふ～ん
じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則
e^{x+y} = e^x e^y
や、三角関数の加法定理
sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
を証明してみせてよ。
数学科なんだからこのくらいは出来るよね。

0260１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 18:32:33

>>259
どの定義からも他の定義のものが得られることが知られている
その証明はいい練習になるだろうが、本質的でない
本質でないことに拘ることの意味が分からないのですが

0261１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 18:38:52

>>260
へ～、どの定義から始めるかは大事なことだと思うけどね。
それは個人のスタイルだから、義務ではないけど、その時々に都合良く定義
を変えることは、何も証明をしていないことだね。

どの定義から始めても同等であることの事実は非常に重要なことですけど。
それは、実数の完備性をどの公理を採用するかの問題と似ていますね。

0262１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 18:39:29

0263１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 18:42:47

e^xをどの定義で始めるかは一長一短がある。
お前はそれを知っていて、>>259のようなことを書きやがったな。
その通りだよ、この証明はベキ級数の収束の議論が入るから、非常に面倒だよ。
微分を使ってもいいけど、それには項別微分の可能性を示さなくてはならない。

0264１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 18:51:59

指数法則はe^xが絶対収束することと二項定理から得られる
加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる

で、こんなの常識でしかないのだが

0265１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 19:16:06

> 加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる

それは複素変数の場合
一応大学１年のレベルなんだから、複素数を使わないで証明してもらいたいね

0266１３２人目の素数さん

2008/02/09(土) 23:45:00

何言ってるの？基地外？

0267１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 00:21:54

exp(x)と同じようにやればいいだけなのもわからんのか

0268１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 01:07:41

弧長とか使って厳密にsinとかcosとか定義するのも
それはそれで面倒だと思うけどな。

e^{x+y} = e^x e^y は実際にTaylor展開で証明してる本が
結構あると思うけど。三角函数もちょっと面倒になるだけで基本的には同じ。
（本質的には複素変数にしただけなんだから当然といえば当然）

0269１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 08:46:25

>>268
>>三角函数

か・・・漢字が読めねぇ・・・orz

0270１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 10:12:25

歴史的名著は大抵函数表記だった気がするが

0271１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 14:04:52

>>269
ゆとり世代乙

>>270
収束のことを収斂とか書いていたが、流石に今は直されているだろう
だけど、函数は時々見かける。
あと、個人的には線形代数という表記が気に入らない。
線型代数だろうよと，，，

0272１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 15:07:04

函はハコと読みます。

サンカクハコカズです。

0273１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 15:30:28

>>271
>>収斂

俺も読めない・・・orz

0274１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 15:32:59

>>269
北海道の函館（はこだて）って知らないのか？

0275１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 15:34:01

ゆとり・・・

0276１３２人目の素数さん

2008/02/10(日) 21:42:47

>>273
釣りかも知れんが「しゅうれん」だ。
覚えておけ！

0277１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 15:28:17

〔問題〕
絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して (a,b,c) を
　a = x+y+z
　b = x^2 +y^2 +z^2
　c = x^3 +y^3 +z^3
と定める。下記の不等式が成り立つことを示せ。(MASUDA)
　|a^3 +6a -3ab +2c| ＜ 3|a^2 -b+2|,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/350 ,359
東大入試作問者スレ１３

0278１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 15:43:06

>277
示すべき不等式を整理すると
　| (xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) | < 1,
を示せばよいことがわかる。
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。そこで
>>222 に習って x=tanhξ, y=tanhη, z=tanhζ とおこう。tanh の加法公式より
　(xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) = tanh(ξ+η+ζ),
　| tanh(……) | < 1,
よって、問題の不等式も示される。

0279１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 17:24:24

>278 の補足
　(coshθ)^2 - (sinhθ)^2 = {[e^θ + e^(-θ)]/2}^2 - {[e^θ - e^(-θ)]/2}^2 = 1,
より
　1 - (tanhθ)^2 = 1/(coshθ)^2 >0,
よって
　|tanhθ| < 1,

0280１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 22:53:50

>>269-276
読めない漢字＠数学板

三角函数（さんかく・かんすう）→三角関数

収斂（しゅうれん）→数学の用語で収束のこと

帰謬法（きびゅうほう）→背理法ともいう

0281１３２人目の素数さん

2008/02/11(月) 23:01:39

数学板、誤変換

○確率
×確立

○置換
×痴漢

○偏微分
×変微分

○整式
×正式

○小数
×少数

○対数
×大数
（ただし『大学への数学』または"大数の法則"の意の場合も・・・）

○シミュレーション
×シュミレーション
（日本語にない発音のため。ただし方言には近い発音があるらしい）

○キチ（既知）
×ガイチ
（またちなみに、既出（きしゅつ）と読む。"がいしゅつ"ではない。）

既知の既の字に「木」へんが付くと
高木貞治の『解析概論』"かいせき・がいろん"の概の字になる。

0282パトリシア=マーティン（らき☆すた）

2008/02/11(月) 23:07:30

　　　　　　　､＿＿__,,　-―――- ､ヽ、
　　　　　　　_＞　　　　　　　　　　　ヽ} ）
　　　　　／　／　　 '　/　　　　　　　 ⌒ヽ
　　　　∠（　/　　^ﾒ､ //　　 }　　　　　 ',
　　　　　ヽ/　　　{　/ {{　　　ﾊ　　}　ヽ.　　|
.　　　　／　　 ,ﾉx=ﾐ从　　/ |⌒/　　Ｖ　|
　　　　∠ -ｧフ ,ｲ〃うﾊハ／ _ | ∧　　 {　ﾘ
　　　　　　厶‐'´! } V辷j　　　≠弌〉､　 ∨
　　　　　　　V{. ヽゝ　　 '＿_　　 /　＼　＼
　　　　　　　＼个　.　 V　_）　_厶　人ﾉ￣
　　　　　　　　　　＾ j人＞rー/＾}_ ,イﾉ´ 　　ニホンゴのカンジってムズカシイネ
　　　　　　　　　　xr＜了　（｀ヽ{　/｀ヽ
　　　　　　　　 / ｛.　 {YY´￣　}７　　 }
　　　　　　 /〃} 　 } 人_, 　 j　　 /
　　　　　　　　/　{{ { 　 {{　　ヽ.　＼　/

02831stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/11(月) 23:33:13

1stVirtue教では応用数学の習得もする。

0284１３２人目の素数さん

2008/02/12(火) 00:49:18

>>283
お前誰だ？　馬鹿じゃねーの？

02851stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/12(火) 07:26:02

Reply:>>284 日本人の心を持つことをお前様はわかるのだろうか。

0286１３２人目の素数さん

2008/02/12(火) 16:30:11

>>285 は気違いだから相手にするな。

「1stVirtue教」だとさｗｗｗ

02871stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/12(火) 16:56:38

Reply:>>286 不心得者は早く日本から去りてくださいませ。

02881stVirtue

2008/02/12(火) 19:01:31

>>287
お前が出て行け！偽者。

02891stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/12(火) 19:32:57

Reply:>>288 誰が本物であるかの議論をしなくてはならぬのか。

0290１３２人目の素数さん

2008/02/13(水) 21:21:30

>>289
当たり前だろ
それより俺の心を読むのをやめてくれないか

02911stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/13(水) 23:38:37

Reply:>>290 どうしろという。

0292１３２人目の素数さん

2008/02/14(木) 01:19:01

数学の命題にはそれ自体真か偽かが証明不可能な命題が存在する（ゲーデル）

0293１３２人目の素数さん

2008/02/14(木) 11:34:35

1stVirtue ◆.NHnubyYck

お前邪魔やからさっさと消えろや！

02941stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/02/14(木) 11:48:43

Reply:>>293 自分または自分の親戚がよそ者かどうか考えてみよ。

0295１３２人目の素数さん

2008/02/16(土) 22:15:57

>>277
示すべき不等式を整理すると
　| N | < D,
を示せばよいことがわかる。ここに N = xyz + (x+y+z),　D = (xy+yz+zx) +1,
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。よって
　D + N = (1+x)(1+y)(1+z) >0,
　D - N = (1-x)(1-y)(1-z) >0,
辺々掛けて
　D^2 - N^2 = (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) >0,
　| N | < D,

0296KBumDUXdQj

2008/02/28(木) 11:50:58

pUNSrO <a href="http://khiyeukbkpro.com/">khiyeukbkpro</a>, [url=http://tozwceqtvhzs.com/]tozwceqtvhzs[/url], [link=http://sisigqwdtxhd.com/]sisigqwdtxhd[/link], http://yllgcklstqui.com/

0297１３２人目の素数さん

2008/03/08(土) 20:45:38

自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。
a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2}
を示せ。

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/69

（補注）
n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。

0298１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 00:29:56

同スレからもう一題。

82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30
【補題】
x,y>0 のとき
　x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0,
　等号成立は x=y のとき。

(略証)
　(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k,　より明らか。
　{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より}

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/82

-------------------------------------------------------

(別証)
　(左辺) = (x-y)S,
ここに
　S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k,
とおいた。
x>y>0 のとき S >0,
　(左辺) = (x-y)S >0.
y>x>0 のとき S <0,
　(左辺) = (x-y)S >0.　(終)

0299１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 04:31:35

入試レベルの不等式キボンヌ

0300１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 04:34:48

ヘルダーの不等式を証明汁

0301１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 08:50:42

>>300
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%d8%a5%eb%a5%c0%a1%bc%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

0302１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 22:15:52

同スレからもう一題。

【問題】(改作)
n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。
半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。
半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/162, 165

0303１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 22:23:59

>302
(略解)
各点の座標を
　O = (0,0,…,0),　　原点
　A_1 = ( r,0,…,0),　A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r),
　B_1 = (-r,0,…,0),　B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r),
　P = (x_1,x_2,…,x_n)
とおく。題意より
　OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'.
Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。
　(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
　　　　　　　　 * {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i)
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2,
i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。
　(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4,
等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。
題意より OP≦r', n≧2 だから、
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2),
とくに r'=r のとき
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n),

(例)
　n=2, r'=r のとき 2r^4,
　n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6.

0304１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 23:25:16

半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を
単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。
(距離の積の２乗)
=Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2}
≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗）
={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n
={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n
よって右辺はr=1で最大となるから
距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n)
のとき最大値(4-4/n)^(n/2)

0305１３２人目の素数さん

2008/03/16(日) 23:26:15

ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz

0306１３２人目の素数さん

2008/03/28(金) 01:59:51

同スレからもう一題…

〔問題244〕(改作)
三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。
　R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3,　等号成立は R√3 =a=b=c のとき。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/244

0307１３２人目の素数さん

2008/03/29(土) 00:24:53

>306
(略解)
　a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。
　a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2)
　　　= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) 　　　(←第2余弦定理)
　　　= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)}
　　　= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　(*)
　　　= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)
　　　≦(9R^2).

(*)　exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。

〔補題〕
　三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8,　等号成立は A=B=C=60ﾟのとき。
(略証)
　・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0,
　・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0,
　　相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3
　　　　= (1/2)^3 = 1/8,　　　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)　　　(終)

0308307

2008/03/29(土) 03:10:13

訂正。スマソ。
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3

0309１３２人目の素数さん

2008/03/30(日) 16:20:16

相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ

0310１３２人目の素数さん

2008/03/30(日) 23:25:44

>>309
君がしたまえ！

0311１３２人目の素数さん

2008/03/31(月) 23:11:01

>>306
[同スレ262]

既に解かれているが別解。

a ≦ b ≦ c として考えてよい。
R = abc/4S　　（S は三角形の面積）
　= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}　　（∵ヘロンの公式）
　= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3
∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

0 = 左辺 - 右辺
　= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2
　= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2)
　≧ 0　　（∵ a ≦ b ≦ c）
だから等号は成り立っていなければならない。
等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。
このとき R = a/√3。

0312１３２人目の素数さん

2008/05/05(月) 23:07:28

801

0313１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 00:59:34

age

0314１３２人目の素数さん

2008/05/06(火) 17:50:09

>>309

n個の正の数 {a,b,c,…} の相乗平均をGとする。
すべての要素がGに等しい場合を除いて、 a < G < b となるような要素a,bがある。ここで
　a' = G, b' = a･b/G,
と変更しても相乗平均はGのまま。一方、相加平均は
　(G + a･b/G)/2 - (a+b)/2= -(G-a)(b-G)/G <0
より減少する。
この変更操作を繰り返すと、(n-1)回以内にすべての要素がGに等しくなり、相加平均もGになる。
しかし相加平均は減り続けた筈だから、元々の相加平均Aは Gより大きかった。(終)

参考文献[3] の p.71-72

0315１３２人目の素数さん

2008/05/07(水) 00:27:35

0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1の範囲で
{(x+y+z)/3}+√{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)}
のとりえる値の最大値を求めよ。

0316１３２人目の素数さん

2008/05/08(木) 09:06:26

半径rの球面上を4点A，B，C，Dが動く．このとき，
　　AB↑･AC↑+AC↑･AD↑+AD↑･AB↑
の最小値をrで表せ．

0317１３２人目の素数さん

2008/05/08(木) 11:22:51

>>316
0

0318１３２人目の素数さん

2008/05/10(土) 19:26:12

>>315
(x+y+z)/3 =A の断面で考える。　Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積より
　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A),
よって
　(与式) ≦ A + √[3A(1-A)]
　= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] }
　= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2,
等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。

>>316
球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。
　(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ)
　　= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ)
　　= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ)　　　(← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ)
　　= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)　　　(← 平方完成)
　　≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2)
　　= -(1/2)r^2,
等号成立はＳ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａのとき。
　(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).)

0319１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:01:17

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0320１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:01:34

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0321１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:01:49

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0322１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:02:03

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰﾍﾟｯ!!

0323１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 03:46:36

ん？タン虫は４連で終わり？
つまらん！

１０００までやりゃいいのに

0324１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 21:44:03

宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。

不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。
っていう問題です。

3≦2a-1/3＜4　を満たす　a　
を求めればよい。となっていますが、
5/3≦a＜13/6 となり
a＝２　と答はなりますが。。

解き方として

2a-1/3＜4　は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが
2a-1/3≧3　がどうして３がでてくるのか分かりません。

機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は
　　　整数値をBとした場合
　　　　B-1≦式＜B 　と機械式に覚えるのでしょうか。

また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は
　　　　整数値をCとした場合
　　　　C＜式≦C+1　　と機械式に覚えるのでしょうか。

　　　　

0325１３２人目の素数さん

2008/05/14(水) 22:20:06

>>324
2a-1/3＜4　は成り立つが
2a-1/3＜3　は成立たない。（← 4は最小値）

0326１３２人目の素数さん

2008/05/20(火) 20:20:39

a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式
　(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1])
　≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}
　　+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
が成立することを証明せよ.
（出典；数学セミナー）

0327１３２人目の素数さん

2008/05/21(水) 00:48:10

ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`)

0328１３２人目の素数さん

2008/05/23(金) 15:21:27

>>327
低脳は書き込まないように。

0329１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 00:15:18

>>328

0330１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 14:15:32

>>328

0331１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 14:16:56

>>328

0332１３２人目の素数さん

2008/05/24(土) 21:01:37

>>314
蛇足だが…

その変更操作によって調和平均は
　2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-⊿) > 2ab/(a+b),
により増加する。
　……
しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終)

0333１３２人目の素数さん

2008/05/28(水) 17:29:13

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/79
から転載

nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ
ただしnPkは順列の個数を意味する

0334１３２人目の素数さん

2008/05/31(土) 20:35:13

>>333

nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n,
　 C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。
∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]),

〔補題〕
　C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2),
　等号成立は n=2 のとき。
(略証)
nについての帰納法による。
n=1,2 のとき成立。
nが偶数のとき、n=2m,
　C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1),
　C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。
　C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2),
nが奇数のとき、
　C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2),　　　(終)

※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。

0335１３２人目の素数さん

2008/06/04(水) 02:51:52

>>334 の補足

　C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),

　(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)},
(略証)
　2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0,

0336１３２人目の素数さん

2008/06/08(日) 22:07:04

〔問題83〕(改作)
a,b,c>0 とする.
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3),
を示せ。

東大入試作問者スレ１５
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/83

---------------------------------------------------------

(略証)
左端
　(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2,
　巡回的にたす。
中央左
　(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc,
　巡回的にたす。
中央右
　(1/2)(b+c) ≧ √(bc),
　巡回的にたす。
右端
　√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3),

0337１３２人目の素数さん

2008/06/08(日) 23:13:45

ﾊｧﾊｧ…

0338１３２人目の素数さん

2008/06/14(土) 19:02:42

>>326

a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。
　(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1)
ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から
　　≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1)
　　= Σ_{k=1,n} b[k]
　　= (左辺).
ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。
ぬるぽ

http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html

0339１３２人目の素数さん

2008/06/23(月) 23:58:44

a,b,c を実数，ｎを自然数としたとき，次の不等式を示せ．

|a+b+c|^{2n/n+1} ≦ 3^{2n/n+1} { |a|^{2n/n+1} + |b|^{2n/n+1} + |c|^{2n/n+1} }

0340１３２人目の素数さん

2008/06/24(火) 01:01:32

>>339　|a+b+c|≦3*max{|a|, |b|, |c|}　から明らか。

0341１３２人目の素数さん

2008/06/26(木) 05:30:00

0342１３２人目の素数さん

2008/06/26(木) 05:31:02

【f(x)】
A.450
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200803&t=mat&l=en
B.4060
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200801&t=mat&l=en

【nCr】
B.4091
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200804&t=mat&l=en

【other】
B.4046
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en
B.4035
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en
B.4031
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en
B.4097
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en

雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ

0343１３２人目の素数さん

2008/06/28(土) 14:55:09

【問題148】(改作)
　sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/148

---------------------------------------------------
(略解)
・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より
　|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ),
・cosθ ≦0 のとき
　-1 ≦ cosθ ≦0,
　sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ),

0344１３２人目の素数さん

2008/06/28(土) 21:48:06

>>341
A.435ムズイな…

0345１３２人目の素数さん

2008/06/28(土) 21:58:18

>>341
やさしいのは･･･

B.4019.
　　1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)),
　より
　　(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4.
　なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･

B.4035. 積和公式
　2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x),
を使うと
　(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2),
　x=(2/11)nπ, 　　(nは整数, 但し11の倍数を除く.)

B.4043.
　(a,b,c,d) = (1,3,5,11)　(1,2,8,17)

B.4046.
　(a,b) = (169/9, 196/9)　　順不同
　|a-b|=3,

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不等式への招待 第３章

不等式への招待第３章